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第五章 : 等值演算与推理

第五章 : 等值演算与推理. 本章的主要内容 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式 本章与其他各章的关系 本章的先行基础是前四章 本章是集合论各章的先行基础. 第一节：等值式与置换规则. 5.1 等值式与置换规则. 等值式：公式 A ， B 的等价式 A ↔ B 为永真式 符号： A  B ，也称 A 逻辑恒等于 B. 5.1 等值式与置换规则. 第一类等值式：命题逻辑的重言式的代换实例 理由 ：重言式的代换实例都是永真式 例  x F(x)     x F(x)

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第五章 : 等值演算与推理

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  1. 第五章: 等值演算与推理 • 本章的主要内容 • 一阶逻辑等值式与基本的等值式 • 置换规则、换名规则、代替规则 • 前束范式 • 本章与其他各章的关系 • 本章的先行基础是前四章 • 本章是集合论各章的先行基础

  2. 第一节：等值式与置换规则

  3. 5.1 等值式与置换规则 • 等值式：公式A，B的等价式A↔B为永真式 • 符号：AB，也称A逻辑恒等于B

  4. 5.1 等值式与置换规则 • 第一类等值式：命题逻辑的重言式的代换实例 • 理由：重言式的代换实例都是永真式 • 例 • x F(x)    x F(x) • F(x)  G(x)   F(x)  G(x) ¬¬AA A B ¬ AB

  5. 5.1 等值式与置换规则 • 第二类等值式： • 消去量词等值式 给定有限个体域 D={a1,a2,…,an} 2. 量词否定等值式 x在公式A(x)中自由出现 xA(x)  A(a1)  A(a2) …  A(an) x A(x)  A(a1) A(a2) …  A(an) xA(x)  x A(x) x A(x)  x A(x)

  6. 5.1 等值式与置换规则 • 例：设个体域为D＝{a, b, c}，将下面公式的量词消去 • x F(x)  y G(y) • (x F(x)  y G(y))  (F(a)  F(b)  F(c))  (G(a)  G(b)  G(c)) •  x  F(x)  y  G(y) • ( F(a)   F(b)   F(c))  ( G(a)   G(b)  G(c))

  7. 5.1 等值式与置换规则 • 第二类等值式： • 量词辖域收缩与扩张等值式 x在公式A(x)中自由出现，但不在B中自由出现 (1a) x (A(x)  B)  xA(x)  B (1b) x (A(x)  B)  xA(x)  B (1c) x (A(x)  B)  xA(x)  B (1d) x (BA(x))  B  xA(x) (2a) x (A(x)  B)  xA(x)  B (2b) x (A(x)  B)  xA(x)  B (2c) x (A(x)  B)  xA(x)  B (2d) x (BA(x))  B  xA(x)

  8. 5.1 等值式与置换规则 • 第二类等值式： 4. 量词分配等值式 x在公式A(x)和B(x)中自由出现 (1) x (A(x)  B(x))  xA(x)  xB(x) (2) x (A(x)  B(x))  xA(x)  xB(x) (3) x (A(x)  B(x))  x A(x) x B(x)

  9. 5.1 等值式与置换规则 下列等值式不成立！ x在公式A(x)和B(x)中自由出现 (1) x (A(x)  B(x))  xA(x)  xB(x) 提示：任意实数，或者是有理数或者是无理数 或者任意实数是有理数，或者任意实数是无理数 (2) x (A(x)  B(x))  xA(x)  xB(x) 提示：存在实数，既是有理数又是无理数 存在实数是有理数，并且存在实数是无理数

  10. 5.1 等值式与置换规则 • 置换规则：给定φ(A) • 若 A  B ，则φ(A) φ(B) • 换名规则： • xA(x)  x’ A(x’)，x’不在A中出现 • x A(x)  x’ A(x’)，x’不在A中出现 • 代替规则 • A(x)  A(x’)，x’不在A中出现

  11. 5.1 等值式与置换规则 • 例：消去既是约束出现又是自由出现的变项 • x F(x,y,z)  y G(x,y,z) • x (F(x,y)  y G(x,y,z))  t F(t,y,z)  y G(x,y,z)  t F(t,y,z)  w G(x,w,z)  x (F(x,t)  y G(x,y,z))  x (F(x,y)  t G(x,t,z))

  12. 5.1 等值式与置换规则 • 给定D={a,b,c},消去下列公式的量词 • x (F(x)  y G(y))  x F(x)  y G(y)  (F(a)  F(b)  F(c))  (G(a)  G(b)  G(c)) • x y F(x,y)  y(F(a,y)  F(b,y)  F(c,y))  (F(a,a)  F(b,a)  F(c,a))  (F(a,b)  F(b,b)  F(c,b))  (F(a,c)  F(b,c)  F(c,c))

  13. 5.1 等值式与置换规则 • 给定解释I如下： • D={2, 3} • a* = 2 • f*(2) = 3, f*(3) = 2 • F*(2) = F, F*(3) = T • G*(2,2)=G*(2,3)=G*(3,2)=T, G*(3,3)=F • L*(2,2)=L*(3,3)=T, L*(2,3)=L*(3,2)=F • 求下列各式在I下的真值： • x (F(f(x))  G(x, f(x))) • xyL(x,y) • yxL(x,y)

  14. 5.1 等值式与置换规则 • 求下列各式在I下的真值： • x (F(f(x))  G(x, f(x))) • (F(f(2))  G(2, f(2)))  (F(f(3))  G(3, f(3))) • (F(3)  G(2, 3))  (F(2)  G(3, 2)) • (T  T)  (F  T) • T • xyL(x,y) • T • yxL(x,y) • F

  15. 第五章: 等值演算与推理 第二节：前束范式

  16. 5.2 前束范式 • 前束范式：一阶逻辑公式满足 • 量词都出现在公式最前面 • 量词的辖域一直延伸到公式末 • 形如Q1x1Q2x2…QkxkB • Q为或，B不含量词 • 例：下列哪个为前束范式？ • x y (F(x)  G(y)  ¬ H(x,y)) • x (F(x) y (G(y)  ¬ H(x,y)))

  17. 5.1 等值式与置换规则 • 前束范式存在定理：一阶逻辑任何公式都存在等值的前束范式 • 将公式中的联接词、换为、、 • 利用量词否定等值式把深入到原子公式前 • 利用换名规则或代替规则 • 利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最前面

  18. 5.1 等值式与置换规则 • 例：求下面公式的前束范式 • x F(x)   x G(x) • x F(x)   y G(y) • x F(x)  y  G(y) • xy (F(x)   G(y)) 或者 • x F(x)  x  G(x) • x (F(x)   G(x))

  19. 5.1 等值式与置换规则 • 例：求下面公式的前束范式 • x F(x)   x G(x) • x F(x)  x  G(x) • x F(x)  y  G(y) • xy (F(x)   G(y))

  20. 5.1 等值式与置换规则 • 例：求下面公式的前束范式 xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) 使用换名规则: xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) zF(z)y(G(x,y)H(x,y)) z(F(z)y(G(x,y)H(x,y)) zy(F(z)(G(x,y)H(x,y)))

  21. 5.1 等值式与置换规则 • 使用代替规则: xF(x)y(G(x,y)H(x,y)) xF(x)y(G(z,y)H(z,y)) x(F(x)y(G(z,y)H(z,y)) xy(F(x)(G(z,y)H(z,y)))

  22. 作业 • 5 • 12 • 13

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