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束缚态和散射态

束缚态和散射态. 量子力学的主要研究对象有两类：. 束缚态. 散射态. 束缚态：. 在势阱中 E < V 0 情况下， 束缚态能 量是分立的，是 束缚态边界条件 下求解定态波动方程的必然结果. 由前面的讨论可知，在一定的边 界条件下，只有某些本征值所对 应的解才是有物理意义的。. 散射态：. 是能量连续的态，此时能量间隔 趋于 0 ，态函数是 自由粒子平面 波的叠加 。. 对势垒散射问题和部分势阱问题， 一般要考虑散射态的存在. 在通常的教材中，束缚态问题和散射问题 一般是不同边界条件分别处理的。实际上 二者有极其密切的联系。下面将予以讨论。.

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束缚态和散射态

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  1. 束缚态和散射态 量子力学的主要研究对象有两类： 束缚态 散射态 束缚态： 在势阱中E<V0情况下，束缚态能 量是分立的，是束缚态边界条件 下求解定态波动方程的必然结果 由前面的讨论可知，在一定的边 界条件下，只有某些本征值所对 应的解才是有物理意义的。

  2. 散射态： 是能量连续的态，此时能量间隔 趋于 0，态函数是自由粒子平面 波的叠加。 对势垒散射问题和部分势阱问题， 一般要考虑散射态的存在 在通常的教材中，束缚态问题和散射问题 一般是不同边界条件分别处理的。实际上 二者有极其密切的联系。下面将予以讨论。

  3. 与δ势垒跃变条件比较： 其中

  4. (a)偶宇称态 现在根据跃变条件求解。

  5. 这是δ势阱中的唯一束缚态。 属于能量

  6. (b)奇宇称态

  7. ？ 利用 得

  8. 代入

  9. 由 得 ﹟

  10. 束缚能级与散射问题有着密切的关系。 下面以一维势阱为例进行分析。

  11. 其中

  12. 如解析延拓到E<0能阈（k为虚） 由 对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材 相关内容。 ﹟

  13. §3.5 一维谐振子 经典物理的谐振子模型： 分子的振动、晶格的振动、原子核表面 振动以及辐射场的振动等 量子物理的谐振子模型： 黑体辐射 场量子化 等， 把场中的粒子看作谐振子 一维谐振子的本征值问题是处理量子力学 问题的最基本的范例。

  14. 一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为： m 是粒子的质量 k是谐振子的劲度系数 是谐振子的角频率

  15. 二、薛定谔方程及解

  16. 上述方程可化为 这是个变系数常微分方程。 对方程 其解显然可以写为 因为

  17. （2）求实际解 为何这样写？

  18. 对方程 此时 n = 0, 1, 2, …

  19. 是一个实函数！

  20. 所以归一化波函数为

  21. 线性谐振子位置概率密度 线性谐振子波函数

  22. 线性谐振子 n=11 时的概率密度分布 虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短 粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。

  23. 讨论： ①微观一维谐振子能量量子化 能量特点： (1)量子化，等间距 (2)有零点能 符合不确定关系

  24. V(x) En n很大 E2 E1 E0 x 0 概率分布特点: E < V区有隧道效应

  25. ②基态的性质 基态位置概率分布 是个Gauss分布

  26. 量子： 在x = 0处概率最大 在其它范围也能找到粒子。

  27. 见右图。

  28. 如下图所示：

  29. 量子概率分布过渡到经典概率分布 符合玻尔对应原理

  30. ③跃迁有选择定则： • 跃迁只能逐级进行 各跃迁发出的谱频率 相同，只有一条谱线 ﹟

  31. 可以求得

  32. x只在阱内取值 ？ （注意：这里不能用δ函数来表示上述积分）

  33. 作业： P81-82 6, 8, 11,13

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