第六节空间曲线及其方程

z S1 S2 C o y x 第六节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为: S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0 S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此 (1) 即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.

例1: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2的交线是一个圆, 它的一般方程是 x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2

例2: 方程组 表示怎样的曲线? z O x y 解: 方程表示球心在原点O, 半径为a的上半球面. 方程表示母线平行于z 轴的圆柱面. 它的准线xOy面上的圆, 圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数. x = x (t) y = y (t) (2) z = z (t) 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.

z O M t h A M y x 例3: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).

z O M t A M y x (1) 动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM =  t.从而 x = |OM | ·cosAOM = acos t y = |OM | ·sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而 z = MM = vt 得螺旋线的参数方程 x = acos t y = asin t z = vt 注:还可以用其它变量作参数.

z O M h t A M y x 例如: 令 =  t. 为参数; 螺旋线的参数方程为: x = acos  y = asin  z = b 当从0变到0 + 是, z由b0变到 b0+ b , 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比. 特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, 在工程上称 h = 2 b为螺距.

三、空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 (3) 由方程组(3)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (4) 方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.

以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影. 所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影. H (x, y) = 0 z = 0 注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.

例4: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程. 解: 联立两个方程消去 z ,得这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为

例5: 设一个立体由上半球面和锥面 所围成, 求它在xoy面上的投影. z O y x2 + y2  1 x 解: 半球面与锥面的交线为由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z = 0 这是xoy面上的一个圆. 所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2  1

四、二次曲面 1. 定义: 由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz +fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j为常数. 研究方法是采用平面截痕法.

z O o y x 2. 几种常见二次曲面. (1) 椭球面 1 用平面z = 0去截割, 得椭圆 2 用平面z = k去截割(要求 |k |  c), 得椭圆当 |k |  c时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.

3 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆: 特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原点o, 半径为a的球面.

z y o x (2) 椭圆抛物面: 1 平面 z = k ,(k  0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆. k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大. 2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线

3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.

第七节平面及其方程 一、平面的点法式方程 1. 法向量: 若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为平面 的法向量. 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.

对于平面上任一点M(x,y, z), 向量M0M与n垂直. z n M0 n M0 M = 0 M 而M0 M ={x  x0, y  y0, z  z0}, O y x 2. 平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0,y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}. 得: A(x  x0) +B( y  y0) +C( z  z0) = 0 (1) 称方程(1) 为平面的点法式方程.

例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = {1, 2, 3}为法向量的平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1  (x  2)  2  (y + 3) + 3  (z  0) = 0 即: x  2y + 3z  8 = 0

n M1 M3 由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. M2 而M1M2={3, 4, 6} M1M3={2, 3, 1} 可取n = M1M2  M1M3 例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程. 解: 先找出该平面的法向量n. = 14i + 9j k 所以, 所求平面的方程为: 14(x  2) + 9(y + 3)  (z  4) = 0 即: 14x + 9y  z  15 = 0

1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 二、平面的一般方程证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为它表示过定点 , 且法向量为 n = {A, B, C}的平面. 注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2) 称为平面的一般方程.

例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程. 解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n ={2 3, 4} 2(x +1)  3(y 2) + 4(z  3) = 0 即: 2x  3y + 4z 4 = 0

2. 平面方程的几种特殊情形 (1) 过原点的平面方程由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0

(2) 平行于坐标轴的方程 考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以 n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0 于是: 平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特别: D = 0时, 平面过坐标轴.

(3) 平行于坐标面的平面方程 平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; 平行于xOz 面的平面方程是By + D = 0; 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.

例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程. 解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程是 By + Cz = 0 又点(4, 3, 1)在平面上, 所以 3B  C = 0 C =  3B 所求平面方程为 By  3Bz = 0 即: y  3z = 0

z R o y Q P x 例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程. 解: 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是 aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0 解得:

所求平面的方程为: 即: (3)

n1 n2  2  1 三、两平面的夹角 1. 定义: 两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. 若已知两平面方程是: 1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 法向量 n1= {A1, B1, C1} 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 法向量 n2= {A2, B2, C2}

所以

2. 平面1与2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 平面1与2 相互平行 规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的分子也为0.

所以: n  M1M2且n  n1 而 M1M2 = {1, 0, 2} 例6: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程. 解: 设所求平面的一个法向量 n ={A, B, C} 已知平面x+y+z = 0的法向量 n1={1, 1, 1} 于是: A (1) + B 0 + C  (2) = 0 A 1 + B 1 + C  1 = 0

B=C A= 2C 解得: 取C = 1, 得平面的一个法向量 n = {2, 1, 1} 所以, 所求平面方程是 2  (x 1) + 1  (y 1) + 1  (z 1) = 0 即: 2x  y  z = 0

则 P1P0 ={x0 x1, y0 y1, z0 z1} 例: 设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求P0到这平面的距离d. n P0 解: 在平面上任取一点P1(x1, y1, z1) P1 过P0点作一法向量 n ={A, B, C} N 于是:

又 A(x0  x1) + B(y0  y1) + C(z0  z1) = Ax0 + By0 + Cz0 + D(Ax1 + By1 + Cz1 + D) = Ax0 + By0 + Cz0 + D 所以, 得点P0到平面Ax+ By+ Cz+ D = 0的距离: (4)

例如: 求点A(1, 2, 1)到平面: x + 2y+ 2z 10 = 0的距离

第六节 空间曲线及其方程