Тема урока: « Правила и формулы дифференцирования»

1. Тема урока: «Правила и формулы дифференцирования»

2. Цели и задачи: научиться находить производные элементарных функций, используя правила и формулы дифференцирования

3. В поисках истины!

4. Статистика-вещь серьезная. С ней-не поспоришь! Мы решили проанализировать важность изучения производной в рамкахшкольной программы!

5. Математики о производной. Слова «производная» и «произошло» имеют похожие части слова, да и смысл похож: производная происходит от исходной функции (переложив на отношения человека: исходная функция- «мама», её производная - «дочь»). Производная- часть математической науки, одно из её звеньев.Нет этого звена– прерваны связи между многими понятиями.

6. Физики о производной. С производной в курсе физики мы встречаемся в 10-11 классах. В теме «Кинематика»: скорость - есть первая производная от перемещения. В теме «Механические и электромагнитные колебания» применяется производная от функции у = sinx и у = cosx. Наш совет Лучше изучайте математику, чтобы легче изучать другие науки.

7. Нам стало интересно… Как часто в школьной программе используется производная при решении различных математических задач? Перелистайте и перечитайте школьные учебники, экзаменационные сборники, тесты ЕГЭ. И что же получится?

8. Производная используется при решении следующих заданий: Вычислить производную Вычислить производную в заданной точке Все задания на построение касательной к графику функции Нахождение промежутков возрастания и убывания функции Нахождение точек экстремума Нахождение скорости тела в момент времени Нахождение наименьшего или наибольшего значения функции Построение графиков с помощью производной Исследование функции Решение задач методом математического моделирования

9. Вывод. В школьной программе тема «Производная и её применение» является одной из важных, так как позволяет решать многие математические задачи более рациональным способом (например: исследование функции, нахождение точек максимума и минимума, решение задач на нахождение наибольшего или наименьшего значение величины).

10. История великих открытий.

11. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философуГотфриду Лейбницу.

12. О великом Ньютоне! Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон. А.Поуг. Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей дифференциального исчисления. Главный его труд- «Математические начала натуральной философии».-оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания. Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

13. О Лейбнице. «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,-ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд». Г.В.Лейбниц. (1646-1716) Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики матема- тического анализа. Лейбниц пришёл к понятию производной решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл .

14. Последователи учений Ньютона и Лейбница. В дальнейшем развили идеи анализа (а они очень быстро завоевали популярность и нашли многих последователей), в первую очередь ученики Лейбница – братья Бернулли, аЛопиталь (1661-1704) который учился у Бернулли, уже в 1696 году издал первый печатный курс дифференциального исчисления.Ряд крупных результатов получил Лагранж, его работы сыграли важную роль в осмыслении основ анализа.

15. Вывод: Ньютон и Лейбниц, решая практические задачи в механике и геометрии, пришли к одному понятию- производная, показав тем самым, что дифференциальное исчисление- это есть окружающая действительность, переложенная на математический язык.

16. Повторить: • Приращение функции и приращение аргумента. • Определение производной. • Алгоритм нахождения производной.

17. Приращение функции и аргумента х = х – хо– приращение аргумента f(х) = f(х) – f(хо) f(х) = f (хо + х ) – f(хо) приращение функции –

18. ∆f ∆x Определение производной f ′(xо) – число , Алгоритм: 1) ∆х, хо; 2) ∆f = f (хо + х ) – f(хо); 3) при ∆х → 0.

19. у = kх + в у(хо) = kхо + в, у(хо + ∆х) = k∙ (хо + ∆х) + в = k хо+ k∆х + в, ∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = k хо+ k∆х + + в – kхо – в = k∆х, k∆х ∆y = k. = ∆x ∆x Ответ: (kх + в)′ = k

20. у = х2 у(хо) = хо2, у(хо + ∆х) = (хо + ∆х)2= хо2 + 2 хо ∆х + (∆х)2, ∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = хо2 + 2 хо ∆х + + (∆х)2 – хо2 = 2 хо ∆х + (∆х)2 = ∆х(2хо + ∆х), ∆у ∆х (2хо + ∆х) → = = 2хо + ∆х 2хо ∆х ∆х при ∆х → 0 Ответ: (х2)′ = 2х

21. у = х3 хо3 у(хо) = у(хо + ∆х) = = ∆у = у(хо + ∆х) – у(хо) = = хо3 +зхо2 ∆х+ зхо(∆х)2 + (∆х)3 ∆х(зхо2 + зхо ∆х + (∆х)2) ∆у → зхо2 (х3)′ = 3х2 ∆х

22. Проблемный вопрос • Можно ли находить производные, не используя определение? • Существуют ли более удобные способы?

23. Вывод (kх + в)′ = k (х2)′ = 2х (xn)′ =nxn– 1 (х3)′ = 3х2 C′= 0

24. Правила дифференцирования

25. Формулы дифференцирования