De afgeleide

1. dydx De afgeleide • is • de snelheid waarmee y verandert voor x = xA • de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek • van f in het punt A • de helling van de grafiek van f in het punt A. • Werkschema: het algebraïsch berekenen van maxima en minima • Bereken de afgeleide • Los de vergelijking = 0 algebraïsch op. • Schets de grafiek van y en kijk in de schets of je met een maximum • of met een minimum te maken hebt. • Vul de gevonden x-waarde in de formule van y in. • Je weet dan ymax of ymin. dy dx dy dx 16.1

2. E(n) = 0,48n – 0,006n2 geeft E’(n) = 0,48 – 0,012n E’(40) = 0,48 – 0,012 · 40 = 0 Uit de schets volgt dat de effectiviteit maximaal is bij n = 40. E(n) = 0,48n – an2 geeft E’(n) = 0,48 – 2an E’(16) = 0 geeft 0,48 – 2a · 16 = 0 0,48 – 32a = 0 –32a = –0,48 a = 0,015 opgave 8 a b

3. E’(n) = 0,48 – 2an E’(nmax) = 0 geeft 0,48 – 2anmax = 0 –2anmax = –0,48 nmax = opgave 8 c

4. Minimale snelheid waarmee K verandert • In het punt B waar de grafiek van K van afnemend stijgend overgaat • in toenemend stijgend, is de snelheid waarmee K verandert minimaal. • De bijbehorende q-waarde volgt uit 16.1

5. en opgave 10 a geeft dN dt Uit de grafiek hiernaast volgt dat voor t = 2 maximaal is. Na 2 uur is de snelheid maximaal.

6. = –3 · 02 + 12 · 0 + 15 = 15 Los op –3t2 + 12t + 15 = 15 –3t2 + 12t = 0 –3t(t – 4) = 0 t = 0 ⋁ t = 4 Dus na 4 uur mag een werknemer pauzeren. opgave 10 b

7. dydx Het verband tussen de grafieken van y en dy dx • Ligt de grafiek van boven de x-as, dan is y stijgend. • Ligt de grafiek van onder de x-as en is de grafiek van • bovendien afnemend stijgend, dan is de grafiek van y dalend, • waarbij de daling minder snel verloopt naarmate x toeneemt. • Hieronder zie je nog een voorbeeld van het verband tussen • de grafieken van en y. dy dx dy dx dy dx 16.1

8. t = 63 geeft N = 97,63 • · 290 ≈ 143 miljoen was man. • = 0,000135t2 – 0,2295 • Uit de schets hiernaast van volgt: • de grafiek van ligt eerst onder de t-as, • dus de grafiek van N is eerst dalend • de grafiek van snijdt dan de t-as en ligt daarna boven de t-as, • dus de grafiek van N gaat van dalend over in stijgend en • heeft dus een minimum. opgave 16 a 97,63 197,63 dN dt b dN dt dN dt dN dt

9. dN dt = 0 geeft 0,000135t2 – 0,2295 = 0 0,000135t2 = 0,2295 t2 = 1700 t≈ 41,2 Uit de schets van de grafiek van N volgt dat N voor t = 41,2 minimaal is. Nmin = 94,5 Het percentage mannen in 1981 is × 100% ≈ 48,6%. opgave 16 c 94,5 194,5

10. Regels voor het differentiëren • f(x) = axn geeft • f’(x) = n ·axn – 1 • g(x) = a· f(x) geeft • g’(x) = a · f’(x) • s(x) = f(x) + g(x) geeft • s’(x) = f’(x) + g’(x) somregel • p(x) = f(x) · g(x) geeft • p’(x) = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x) productregel • geeft • quotiëntregel • kettingregel 16.2

11. y = (x + 3)(2x – 5)2 = [(x + 3)]’· (2x – 5)2 + (x + 3) · [(2x – 5)]’ Apart de afgeleide van y = (2x – 5)2 = u2 met u = 2x – 5. = · = 2u · 2 = 4(2x – 5) = 1 · (2x – 5)2 + (x + 3) · 4(2x – 5) = (2x – 5)2 + 4(x + 3)(2x – 5) opgave 19 a dy dx dy du dy dx du dx dy dx dy dx dy dx dy dx

12. opgave 24 a Apart de afgeleide van met u = 3 + 2x

13. 3 + 3x = 0 3x = –3 x = –1 Uit de schets volgt dat f minimaal is voor x = –1 f(–1) = –1 Dus het minimum van f is –1 k: y = ax + b met a = f’(3) = k: y = 4x + b yA = f(3) = dus A(3, 9) Dus k: y = 4x – 3 opgave 24 b c 4 · 3 + b = 9 b = –3

14. P(4,5) ≈ 140,91 • P(6,5) ≈ 143,33 • De procentuele toename is • Uit de schets hiernaast van volgt: • de grafiek van ligt boven de x-as, • dus de grafiek van P is stijgend. • de grafiek van is bovendien dalend, • dus de grafiek van P is afnemend stijgend. opgave 29 a dP dx b dP dx dP dx dP dx

15. dP dx opgave 29 c < 0,8 geeft < 0,8 Voer in y1 = en y2 = 0,8. De optie intersect geeft x≈ 6,9 Uit de schets volgt dat < 0,8 voor x > 6,9 dP dx 0,8 dP dx x O 6,9

16. dy dx opgave 35 a dy dx = 0 geeft • Uit de schets volgt • y is maximaal voor x = 0 en ymax = y(0) = 0 • y is minimaal voor x = 4 en ymin = y(4) = 8. 16.3

17. y = ax + b met a = y = –3x + b yA = = 9, dus A(3, 9) Dus y = –3x + 18. opgave 35 b –3 · 3 + b = 9 –9 + b = 9 b =18 16.3

18. a t = 0 geeft V≈ 54,9 Dus de verkoop was ongeveer 55 stuks per maand. 3,9 > 0 dus op t = 0 stijgt de verkoop nog. dV dt b

19. dV dt = 0 geeft opgave 38 c Uit de schets volgt dat V maximaal is voor t = 2, dus na 2 maanden gaat de omzet dalen. V(10 000) ≈ 8,10 V(50 000) ≈ 8,02 V(100 000) ≈ 8,01 Dus op den duur is de verkoop 8 stuks per maand. d

20. In ΔAEP is Voor de kosten K geldt

21. Apart de afgeleide van met u = x2 + 40 000. Uit de schets volgt dat de aanlegkosten minimaal zijn voor x = 241 Dus in het geval AP≈ 241 meter. opgave 47 b dy du dy dx du dx = · dK dx