11 клас. Математика.

1. 11 клас. Математика. Тема уроку: «Найбільше та найменше значення функції на відрізку». Погиба Т.Б., вчитель математики Козелецької ЗОШ І-ІІІ ступенів № 3

2. «Щоб дійти до мети треба перш за все йти» Оноре де Бальзак

3. Історія виникнення похідної До відкриттяпохідноїнезалежно один від одного прийшли два відомихучених – І.Ньютон і Г. Лейбніцнаприкінці ХVII століття. Проте,щезадовго до цьогоАрхімедрозв’язав задачу на побудовудотичної до кривої та знайшов максимум функції Архімед ҐотфрідЛейбніц Ісаак Ньютон

4. І.Ньютон сформулював і розв’язав основну проблему математичного аналізу: «За даною довжиною шляху в будь-який момент часу знайти швидкість руху у вказаний час». І якщо він виходив із задач механіки, то Г. Лейбніц – із геометричних задач. Ісаак Ньютон У Лейбніца первісним поняттям для похідної була дотична, а у І.Ньютона – швидкість.

5. Позначення похідної ввів французький математик Жозеф-Луї Лагранж. Жозеф-Луї Лагранж

6. Теоретичне повторення Запитання • Що називають похідною функції? • Що називається диференціюванням? • Чому дорівнюють похідні: а) б) в) г) ґ) д) е) є) ж) • Які точки називаються критичними? • За якої умови функція зростає на деякому проміжку? • За якої умови функція спадає на деякому проміжку? • Що таке точки максимуму функції? • Що таке точки мінімуму функції? • Що таке точки екстремуму? • Що означає дослідити функцію?

7. Встановити відповідність між функцією та її похідною • А) • Б) • В) • Г) • Д) • Е)

8. Відповідь: 1→Е, 2→В, 3→А, 4→Д, 5→Г, 6→Б

9. Теорема Вейєрштрасса Якщо функція неперервна на відрізку, то на цьому відрізку вона набуває найменшого та найбільшого значення. Карл Вейєрштрасс

10. Найбільше та найменше значення функції на відрізку • Розглянемо рисунки, на якихзображенографікифункціїу = f(x)іу = g(x),заданих на відрізку [а; b]. Функціяу = f(x)зростає, а функціяу = g(x)спадає. На відрізку [а; b] найменшезначенняфункціїу = f(х) дорівнюєf(a),а найменшезначенняфункціїу = g(x)дорівнюєg(b).Відповіднонайбільшізначенняцихфункцій на даномувідрізкудорівнюютьf(b)та g(a).Отже, якщофункціянеперервнаізростає (спадає) на деякомувідрізку, то найбільшеінайменшезначенняфункціянабуває на кінцяхцьоговідрізка.

11. Найбільше та найменше значення функції на відрізку • Розглянемо рисунок, на якомузображенографікитрьохфункцій. Аналізцихграфіківсвідчить, щонайбільшеінайменшезначенняфункційнеперервнихідиференційованих на проміжку [а; b] досягаютьсяцимифункціямиабо на кінцяхвідрізка, або в стаціонарних точках. • Отже, неперервна і диференційованафункція на заданомувідрізкуприймаєнайбільше і найменшезначення в стаціонарних точках або на кінцяхвідрізка.

12. Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку • Таким чином, якщофункціяу = f(x)неперервна на відрізку [а;b] імаєпохідну в кожнійвнутрішнійточціцьоговідрізку, то для знаходженнянайбільшогоінайменшогозначеньфункції на відрізку [а;b] треба: • знайтизначенняфункції на кінцяхпроміжку, тобто числа f(a) іf(b); • знайтизначенняфункції в тих стаціонарних точках, які на­лежать інтервалу (а;b); • іззнайденихзначеньвибратинайбільшеінайменше.

13. № 388. Знайти найбільше та найменше значення функції f(x) = x2 – 4x на проміжку [ -3; 3 ]

14. Розв′язання Знайдемо значення функції на кінцях відрізка: • f(-3) = (-3)2 – 4(-3) = 9+12 = 21 • f(3) = 32 - 4×3 = 9 – 12 = -3 • Знаходимо критичні точки: • f′(x) = 2x – 4 • 2x – 4 = 02x = 4 x=2

15. x=2 входить до проміжку [ -3; 3 ], то f(2) = 22 - 4×2 = 4 – 8 = -4 Отже, max f(x) = 21, min f(x) = -4 [ -3; 3 ][ -3; 3 ] Відповідь: max f(x) = 21, min f(x) = -4 [ -3; 3 ][ -3; 3 ]

16. В – І • Знайти область визначення функції: • f(x) = • Обчислити похідну функції: y= sin (3x + 5) • Знайти найбільше та найменше значення функції y= x4 – 8x2 ̶ 3на проміжку • Число 20 подати у вигляді суми двох додатних доданків так, щоб їх добуток був найбільшим.

17. В – ІІ • Знайти область визначення функції: • f(x) = • Обчислити похідну функції: y= • Знайти найбільше та найменше значення функції y=1 ̶ 3x2̶x на проміжку • Число 36 подати у вигляді суми двох додатних доданків так, щоб їх добуток був найбільшим.

18. Завдання у форматі ЗНО. Тестування 2013 року. Завдання 18. Знайдіть похідну функції : y=e-2x

19. Домашнє завдання • Вивчити § 11, повторити §9,10 • (Підручник Г.П. Бевз, В.Г. Бевз) • Виконати вправи : • Рівні А № 390 Б № 394 В № 399 • На повторення № 408.