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§2.2 初等函数

§2.2 初等函数. 2.2.0 整幂函数. 2.2.1 指数函数. 2.2.2 三角函数. 2.2.3 双曲函数. 2.2.4 小结与思考. 2.2.0 ( 整 ) 幂函数. 为幂函数. Def ：称. 性质. (1). z=x  R 时 , z n = x n. (2). 令 z=re i  =r (cos  + i sin  ), z n = r n e in  =r n (cos( n ) + i sin( n ) ). 2.2.1 指数函数. 这里的 e x 是实指数函数. 1. 指数函数的定义 :.

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  1. §2.2初等函数 2.2.0 整幂函数 2.2.1 指数函数 2.2.2 三角函数 2.2.3 双曲函数 2.2.4 小结与思考

  2. 2.2.0 (整)幂函数 为幂函数 Def：称 性质 (1). z=xR时,zn=xn (2). 令z=rei=r(cos +isin ), zn=rnein=rn(cos(n) +isin(n) )

  3. 2.2.1指数函数 这里的ex是实指数函数 1.指数函数的定义: 定义2.4 对于任何复数z=x+iy,规定 实的正 余弦函数

  4. 2 指数函数的性质 复指数函数与实指数函数保持一致. (4). 加法定理 (5) ez是以2 i为基本周期的周期函数

  5. 几点说明： (1) 证明加法定理 加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明 证

  6. 因为：当z沿实轴趋于+∞时ez∞; 当z沿实轴趋于-∞时, ez0. 2 i是ez的周期 2 i是ez的基本周期

  7. 例1 解

  8. 求出下列复数的辐角主值: 例2 解

  9. 例3 解

  10. 2.2.3 三角函数 1. 三角正弦与余弦函数 将两式相加与相减, 得 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.

  11. 定义2.5 对任意的复数z,规定z的 性质: (2) 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.

  12. 遵循通常的三角恒等式，如

  13. 例9 解

  14. sinz,cosz在复数域内均是无界函数 sinz的零点(i.e. sinz=0的根)为z=n (5) cosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(n+1/2) n=0,1, 2,···,n,··· (6) (注意：这是与实变函数完全不同的)

  15. 2. 其他复变数三角函数的定义 1.都是相应实函数的推广 2.定义域：tanz,secz的定义域为z(k+1/2) cotz,cscz的定义域为zk 3.它们都在自己的定义域内解析。 (tanz)=sec2z,(cotz)=-csc2z(secz)=tanzsecz (cscz)=-cotzcscz 4. tanzcotz的周期是 secz cscz的周期是2 5 secz是偶函数 tanzcotz, cscz是奇函数

  16. 例10 解

  17. 例11 解

  18. 例12 解

  19. 2.2.4 双曲函数 1. 双曲函数的定义 2. 双曲函数的性质

  20. 它们都是以 为周期的周期函数, 参见课本 P87-88 16-19题 它们的导数分别为 并有如下公式:

  21. 例13 解

  22. 2.2.5 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 2. 三角正弦与余弦不再具有有界性 3. 双曲正弦与余弦都是周期函数

  23. 思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?

  24. 思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中, 放映结束，按Esc退出.

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