第五节线性方程组有解判别定理

一、线性方程组的向量表示形式 二、线性方程组有解判别定理三、一般线性方程组的解法四、线性方程组的求解步骤第五节线性方程组有解判别定理

一、线性方程组的向量表示形式 在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程组有解的判别条件. 设线性方程组为

引入向量 于是线性方程组 (1) 可以改写成向量方程 x11 + x22 + … + xnn=  . (3) 显然，线性方程组 (1) 有解的充分必要条件为向量 可以表示成向量组1 , 2 , …, n的线性组用秩的概念，这个条件可以叙述如下：合.

二、线性方程组有解判别定理 定理 7线性方程组 (1) 有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵

有相同的秩. 证明先证必要性. 设线性方程组 (1) 有解, 就是说， 可以经向量组 1 , 2 , …, n线性表出. 由此立即推出，向量组1 , 2 , …, n与1 , 2 , …, 这两个向量组分别 n ,  等价，因而有相同的秩.

是矩阵 A与 的列向量组. 因此，矩阵 A与有相同的秩设矩阵 A 与 A A A 有相同的秩. ，就再证充分性. 是说，它们的列向量组1 , 2 , …, n与1 , 2 , …, 1 , 2 , …, n n ,  有相同的秩，令它们的秩为 r . 中的极大线性无关组是由 r个向量组成，无妨设显然 1 , 2 , …, r 是它的一个级大线性无关组.

1 , 2 , …, r 也是 1 , 2 , …, r ,  的一个级大线性无关组，因此向量 可以经 1 , 2 , …, r 线性表出，它当然可以经1 , 2 , …, n线性表出. 因此，方程组 (1) 有解. 证毕

A A 的秩都设线性方程组 (1) 有解，矩阵 A 与 (当然它也是的一个不为零的子式)，为了方便三、一般线性方程组的解法根据克拉默法则，可以得到一般线性方程组的这个解法有时在理论上是有用的. 一个解法. 等于 r，而 D是矩阵 A的一个不为零的 r级子式起见，不妨设 D位于 A的左上角.

显然，在这种情况下， 的前 r行就是一个极 A 大线性无关组，第 r + 1 , … , s行都可以经它们线因此，方程组 (1) 与性表出. 同解. 当r = n时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一解，也就是方程组 (1) 有唯一解.

当 r < n时，将方程组 (4) 改写为 方程组 (5) 作为以 x1 , x2 … , xr为变量的一个方程由克拉默法则，对于组，它的系数行列式 D 0. xr+1 , … , xn的任意一组值，方程组 (5)，也就是方 xr+1 , … , xn就是方程组(1) 程组 (1) ，都有唯一解.

的一组自由未知量. 对 (5) 用克拉默法则，可以解出 x1 , x2 … , xr： (6) 就是方程组 (1) 的一般解. 上述一般线性方程组的求解方法，可归纳成以下步骤：

例 1解线性方程 解把方首先我们来判别方程组是否有解. 程组的增广矩阵化为行阶梯形

初等行变换 因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2 ，所以方它的一个同解方程组是程组有解.

把 x1 , x5取作非自由未知量，x2 , x3 , x4当作自由未知量，并把方程组变形成解之得方程组的一般解为

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