逻辑学导论

逻辑学导论 主讲人：熊明辉教授

目录 • 量词符号化 • 直言命题符号化 • 论证有效性证明 • 直言命题论证有效性证明 • 归谬法的其它应用 • 一般量化理论 • 第一章引论 • 第二章论证 • 第三章直言命题逻辑 • 第四章真值函项逻辑 • 第五章量化逻辑 • 第六章归纳逻辑 • 第七章论证评价与谬误 • 主要参考文献 • 关键术语与人名中英文对照共118页

目录 • 内容提要：量化逻辑，又称谓词逻辑，与命题演算一样，也是作为现代逻辑基础的两大演算之一。我们这里所讲的量化逻辑包括两个部分：一是一元量化理论或一元量化逻辑；二是一般量化理论或一般量化逻辑，又称为关系量化理论。其中，第1-6节讨论的是一元量化逻辑，并用一元量化逻辑来为直言命题逻辑进行辩护，第6节讨论的是一般量化逻辑。 • 第一章引论 • 第二章论证 • 第三章直言命题逻辑 • 第四章真值函项逻辑 • 第五章量化逻辑 • 第六章归纳逻辑 • 第七章论证评价与谬误 • 主要参考文献 • 关键术语与人名中英文对照共118页

第一节量词符号化 • 逻辑学的现代进展导致了一种包含量词“所有”和“有些”的命题进行符号化的更准确方法。 • 这类命题的符号化主要就是第三章所讲的直言命题A、E、I、O四种命题的符号化。 • 涉及某个具体类“所有”的命题是借助于全称量化来符号化的；而涉及某个具体类“有些”的命题是借助于存在量化来符号化的。共118页

第一节量词符号化 一、存在量化 • 让我们首先来考虑这样一个命题：有些律师是诚实的人。 • 根据量化逻辑，这个命题可以被读作：至少存在一个东西x，使得x是一个律师且x是一个诚实人。 • 其中变元“x”通常应当用小写字母斜体的Times New Roman英文字体。共118页

第一节量词符号化 在使用“x”时，我们对至少一个非特定具体个体保留一个开放空间。在这个意义上，这个“x”是一个变元。它给像律师张建中（曾为成克杰、远华案的代理人）或张成茂（曾为佘祥林案的代理）之类的个体留下了开放空间。一、存在量化 • 我们在说“有些”时，我们是在小心地说“至少存在一个”东西。 • 当我们说“有些S是P”时，只要S类中有存在一个成员，而且这个成员也属于P类，那么这个命题就是真的。 • 从理论上讲，“至少有一个”可以多到“全部”。例如，“有些我们班同学是外国人”这个命题为真时，有可能“我们班所有同学都是外国人”。 • 从第三章所讲的对当关系来看，当I命题为真，A命题可以为真可以为假。某个 + 单数 some 有 + 复数某些共118页

第一节量词符号化 一、存在量化 • 为了把这个命题符号化，逻辑学家们引入了符号“(x)”来表示: “至少存在一个东西x使得……”(there exists at lest one thing x such that…)。 • 这个符号被称为“存在量词”(existential quantifier)，它管辖了这个命题的其余部分，即: “（x是一个律师且x是一个诚实人）”。共118页

第一节量词符号化 一、存在量化 • 我们说这个量词“管辖”命题的其余部分，意思是说，变元x的任意出现受量词的“约束”。也就是说，它们落到了这个量词的“辖域”，而且像代词一样可以回指到量词。如果要完全表示这个命题，那么“有些律师是诚实人”这个命题应当被符号化为： ( x)(x是一个律师且x是一个诚实人)。 • 它可以读作“至少存在一个人x使得x是一个律师且x是一个诚实人”。共118页

第一节量词符号化 一、存在量化 • 下面这些命题本质上与“有些律师是诚实人”是相同的，而且可以符号化为相同形式。 • 存在一个东西使得它是一个律师而且是诚实人。 • 某个东西是律师且是诚实人。 • 有诚实律师。 • 存在诚实律师。 ( x)(x是一个律师x是一个诚实人)。共118页

第一节量词符号化 x LogicA 一、存在量化共118页

第一节量词符号化 x Inline MathType 一、存在量化共118页

第一节量词符号化 一、存在量化 • 思考题 • 将下列命题翻译成存在量化的符号形式。 • 有佛教徒是共产党员。 • 存在没有拿到博士学位的博士生。 • 有肆无忌惮的高级干部。共118页

第一节量词符号化 二、全称量化 • 请考虑命题： “所有东西或者是政治家或者不是政治家”。 • 用量化逻辑，这个命题可以读作： “每一个东西x使得或者x是政治家或者x不是政治家”。 • 在我们说“所有东西”（all things）时，我们的意思是 “每个东西”(everything/each thing)或“任何一个东西”(any thing)。这就是我们为什么可以把给定命题翻译成短语“每一个东西x使得……”(each thing is such that …)的原因。共118页

第一节量词符号化 x 全称量词（universal quantifier）二、全称量化 • 如果要想完全表示这个命题，那么命题“所有东西或者是政治家或者不是政治家”就可被符号化: “(x)(x是政治家x不是政治家)” • 读作: “每个东西x使得或者x是政治家或者x不是政治家”。 • 下列命题基本上说的是相同的东西，而且可以被符号化为相同形式。 • 每个东西或者是政治家或者不是政治家。 • 任何东西或者是政治家或者不是政治家。共118页

第一节量词符号化 二、全称量化 • 注意： • 在具体量化命题中，使用“东西”(thing)这个术语看起来是奇怪的。但是，在量化逻辑中，我们假定了“论域”（即所谈及的东西, (the universe of discourse）从字面涉及到“任何东西”。 • 然而，我们常常可以通过规定我们正谈及的“领域”（universe）是什么来“限制”论域。因而，将我们的话语限制到“人”、“国家”等等是可能的。在有些例子中，我们规定我们的论域会被限制到什么，而且这种做法大大简化了翻译和演绎的任务。共118页

第一节量词符号化 二、全称量化 • 思考题 • 在不限制论域的情况下，将下列命题翻译成全称量化的符号形式。 • 所有东西或者是共产党员或者不是共产党员。 • 任何东西或者是九三学社成员或者不是九三学社成员。 • 每个东西或者是投票者或者不是投票者。共118页

第一节量词符号化 三、等值命题 • 如果我们既考虑到存在量化(existential quantification)，又考虑到全称量化(universal quantification)，并且利用否定符号，那么下列四个等值命题成立。 • “有些东西是致公党员”等值于“并非所有东西都不是致公党员”。 (x)(x是致公党员) (x)(x是致公党员)。 • “每个东西是民盟党员”等值于“并非至少存在一个东西，它不是民盟党员”。 (x)(x是民盟党员) (x)(x是民盟党员)。共118页

第一节量词符号化 三、等值命题 • 如果我们既考虑到存在量化(existential quantification)，又考虑到全称量化(universal quantification)，并且利用否定符号，那么下列四个等值命题成立。 • “并非每个东西都是农工党员”等值于“至少存在一个东西，它不是农工党员”。 (x)(x是农工党员)  (x)(x是农工党员)。 • “并非至少存在一个东西，它是方的圆”等值于“每个东西都不是方的圆”。 (x)(x是方的圆) (x)(x是方的圆)。共118页

第一节量词符号化 三、等值命题反对关系 SAP SEP  蕴涵关系蕴涵关系矛盾关系矛盾关系 SIP SOP 下反对关系共118页

第一节量词符号化 三、等值命题 • 在量化理论中有等值命题，故这些量化等值可以用来“取代”一个包含量词的真值函项复合命题的一部分或全部。 • 例子 • “如果某东西是国民党员，那么，并非所有东西都是共产党员”，即:“(y)(y是国民党员)(x)(x是共产党员)”可以被下列命题取代： • “如果某东西是国民党员，那么至少存在一个东西，它不是共产党员”，即：“(y)(y是国民党员)(x)(x是共产党员)”。 • 分析共118页

第一节量词符号化 三、等值命题 • 思考题 • 首先，将下列命题翻译成量化符号形式，然后，写出其等值式。（不限定论域） • 有些东西是数学家。 • 并非任何东西都是数学家。 • 每个东西都不是数学家。 • 每个东西都是数学家。共118页

第二节直言命题符号化 有了量化符号形式作为工具，要对构成逻辑方阵的直言命题进行更复杂翻译便成为可能。在即将进行的A、E、I、O命题的符号化工作中，我们用类词项“四川人”和“攀枝花人”分别作为主项和谓项，并把论域限制到人。共118页

第二节直言命题符号化 一、A命题量化 • A命题即“所有S都是P”这种形式的命题。 • 现在，我可以把“所有四川人都是攀枝花人”读作： “每个人x，使得如果x是四川人，那么他就是攀枝花人”。 • 一个全称肯定命题现在可以读作“条件全称量化”，其正确的符号化形式是： (x)(SxPx) • 注其中，“S”和“P”作为谓词，都是用大写斜体Times New Roman字体表示。共118页

第二节直言命题符号化 二、E命题量化 • E命题即是指“所有S都不是P”这种形式的命题。 • 现在，我们可以把“所有四川人都不是攀枝花人”读作： “每一个人x，使得如果x是四川人，那么x就不是攀枝花人”。 • 一个全称否定命题可以被读作一个条件命题的全称量化，其中后件被否定。其正确的符号化形式是： (x)(SxPx) 共118页

第二节直言命题符号化 三、I命题量化 • I命题即是指“有些S是P”这种形式的命题。 • 现在，我们可以把“有些四川人是攀枝花人”读作: 至少存在一个人x，使得x既是四川人又是攀枝花人。 • 换句话说，一个特称肯定命题可以被读作一个合取命题的存在量化。其正确的符号化形式是： (x)(SxPx) 共118页

第二节直言命题符号化 四、O命题量化 • O命题即是指“有些S不是P”这种形式的命题。 • 现在，我们可以把“有些四川人不是攀枝花人”读作：至少存在一个人x，使得x是四川人但不是攀枝花人。 • 换句话说，一个特称否定命题可以被读作一个合取命题的存在量化，其中，谓项被否定。其正确的符号化形式是： (x)(SxPx) 共118页

第二节直言命题符号化 • 总结： • 当我们把论域限制到人时，用“S”表示“是四川人”，“P”表示“是攀枝花人”，我们针对逻辑方阵中的四个直言命题的量化翻译总结如下：所有四川人都是攀枝花人。 (x)(SxPx) A (x)(SxPx) E 所有四川人都不是攀枝花人。 I (x)(SxPx) 有些四川人是攀枝花人。 O (x)(SxPx) 有些四川人不是攀枝花人。共118页

第二节直言命题符号化 • 思考题 • 将下列命题翻译成量化符号形式。（令“Cx”代表“x是共产党员”，“Kx”代表“x是国民党员”，并且论域被限制到人） • 有些共产党员是国民党员。 • 所有共产党员都不是国民党员。 • 有些共产党员不是国民党员。 • 所有共产党员都是国民党员。共118页

第三节论证有效性证明 我们可以把使用量化的论证证明来区分为涉及“一元量化”的证明和涉及“多元量化”的证明。前者是指大写字母后只跟随一个变元的证明，如“Dx”、“Ey”、“Sz”等形式。后者是其大写字母后跟随多个变元的证明，如“ Dxy”、“E(x,y,z) ”等形式，这类命题将在第6节讨论。共118页

第三节论证有效性证明 一、归谬法 • 我们本着从演绎有效性原则即“前提真结论假是不可能的”出发，所给出的量化证明都是归谬法（Reductio ad Asbsurdum），其任务是要导出形式“pp”的矛盾式。 • 我们的策略: • 首先是列出所有前提的清单； • 再将结论的否定命题添加到前提清单之中； • 再根据这个命题集推导出矛盾式“pp”。共118页

第三节论证有效性证明 一、归谬法 • 我们本着从演绎有效性原则即“前提真结论假是不可能的”出发，所给出的量化证明都是归谬法（Reductio ad Asbsurdum），其任务是要导出形式“pp”的矛盾式。 • 除了第四章所讲的真值函项规则外，还要添加三条规则： • 全称例示规则(Universal Instantiation，简称UI)。 • 存在例示规则(Existential Instantiation, 简称EI)。 • 量化等值规则(Quantificational Equivalence，简称QE)。共118页

第三节论证有效性证明 二、全称例示 • 全称例示规则（UI，即Universal Instantiation）允许我们从某东西的所有情形推导出特殊情形。 • 因此，如果所有律师都是诚实人，我们就能推导出张建中是诚实人。 • 这里的活动是从一个全称命题到它的“事例”(instance)。除了量词被移去，而且用名称如“a”、“b”、“c”之类的小写正体Times New Roman字母来代替变元的出现之外，一个事例正像一个量化命题。 • 这条规则又被某些逻辑学家称为“量词消去”规则。共118页

第三节论证有效性证明 二、全称例示 • 因此，根据全称命题“每个东西都是诚实人”，我们可以推导出“a是诚实人”。 • 用符号术语就是：“(x)Hx”能够推出“Ha”。 • 全称例示规则（UI）：根据任何全称量化命题，我们可以有效地推导出其任何事例。 (x)Hx，∴Ha (x)HxHa (x)HxHa (x)HxHa 名称（name） Times New Roman正体个体（individual ）共118页

第三节论证有效性证明 二、全称例示下面这些是全称例示的正确或不正确例子：  Fa  Fy  FaGa  Fy Ga 1.(x)Fx 2.(y)(FyGy) Fb  Fb  FbGb   FaGy  Fc  Fc  FcGc  FbGy 只能推导个体，不能推导出变元个体必须替代落入全称量词辖域内的变元的所有出现共118页

第三节论证有效性证明 二、全称例示下面这些是全称例示的正确或不正确例子： 3. (x)(Fx(y)Gy) 因为命题“p”在量化之外，推论不能继续。只有当全称量词出现在开头并且这个命题的其它所有部分都在辖域之内时全称例示才能允许我们导出结论。  Fb(y)Gy (x)Fxp  Fa p (x)(Fxp)  Fa p 共118页

第三节论证有效性证明 二、全称例示 • 思考题 • 给出从下列量化命题所推导出来的全称例示，建议选择名称时用“a”、“b”、“c”等。 • (x)(AxCx) • (y)Dy • (z)(Gz(y)Hy) 共118页

第三节论证有效性证明 三、存在例示 • 存在例示规则（EI，即Existential Instantiation，又称存在消规则）允许我们从一个存在量化命题推导出其至少一个具体事例。 • 例如，如果“有些律师是诚实人”为真，那就一定存在某个人“a”,他是个律师且是诚实人。 • 可是，这项活动只有我们推导出一个单个特定个体才是安全的，而在全称例示中可以选择任意个体。因此，我们能够从“(x)Fx”推导出“Fa”，但在论证中只有那个个体在之前没有使用过才可以。共118页

第三节论证有效性证明 三、存在例示 • 存在例示规则（EI）假如被引进事例的名称对于论证来说是新的，那么根据任意存在量化命题我们可以有效推导出其任何事例。 (x)Hx，∴Ha (x)HxHa (x)HxHa (x)HxHa 个体或名称在论证中之前未出现过。共118页

第三节论证有效性证明 三、存在例示 • 思考题 • 给下列这些存在量化命题的事例。 • (x)(AxBx) • (x)(FaJx) • (y)(GyHb) 共118页

第三节论证有效性证明 四、量化等值 • 这里，我们将介绍四个量化等值命题： • 一个形式为“(x)……”的否定全称量词可以用一个形式为“(x)……”的存在量词来取代，反之亦然。例如： • 思考题 • 用其量化等值命题来取代下列命题。 • (x)(AxCx) • (x)Bx  (x)(FxGx) (x)(FxGx) 共118页

第三节论证有效性证明 四、量化等值 • 这里，我们将介绍四个量化等值命题： • 一个形式为“(x)……”的否定全称量词可以用一个形式为“(x)……”的存在量词来取代，反之亦然。例如： • 思考题 • 用其量化等值命题来取代下列命题。 • (x)Cx • (x)(AxLx)  (x)(FxGx) (x)(FxGx) 共118页

第三节论证有效性证明 四、量化等值 • 这里，我们将介绍四个量化等值命题： • 任何一个包括全称命题的析取式都可以用一个全称量词管辖整个析取命题来取代。例如： (x)((AxAx)(y)By) (x)(AxAx)(y)By  (y)(x)((AxAx)By) 共118页

第三节论证有效性证明 二、全称例示下面这些是全称例示的正确或不正确例子： 3. (x)(Fx(y)Gy) 因为命题“p”在量化之外，推论不能继续。只有当全称量词出现在开头并且这个命题的其它所有部分都在辖域之内时全称例示才能允许我们导出结论。  Fb(y)Gy (x)Fxp  Fa p (x)(Fxp)  Fa p 共118页

第三节论证有效性证明 四、量化等值 • 这里，我们将介绍四个量化等值命题： • 任何一个包括全称命题的析取式都可以用一个全称量词管辖整个析取的命题来取代。例如： • 思考题 • 用其量化等值命题来取代下列命题。 • (x)Cx(y)Dy • (x)(HxGx)(x)Lx (x)((AxAx)(y)By) (x)(AxAx)(y)By  共118页

第三节论证有效性证明 四、量化等值 • 这里，我们将介绍四个量化等值命题： • 任何一个包括存在量化命题的析取命题可以用一个存在量词管辖了整个析取命题的命题来取代。例如： • 思考题 • 用其量化等值命题来取代下列命题。 • (x)(GxFx)(y)(HyLy) • (y)Hx(x)(ExEy) (x)(Ax(y)(CyCy)  (y)(((x)(AxCyCy)) 共118页

第三节论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 • 涉及量化的证明需要利用第四章所讲的“真值函项规则”，以及本章所讲的量化规则、量化等值规则和归谬法。 • 下面这些就是使用一元量化的形式演绎例子。所有例子都假定论域被限制到人。共118页

第三节论证有效性证明 五、证明论证的一般策略 • 例1 所有人都必死。苏格拉底是人。因此，苏格拉底必死。 • 分析 • (x)(HxPx) p. • Ha p. • Pa p. • HaPa 1 UI All men are mortal. Socrates is a man. So Socrates is mortal. (x)(HxPx) Ha ∴ Pa 凡人皆有死, 苏格拉底是人，因此，苏格拉底有死。 5. Pa 4,2 MP 6. PaPa 5,3 CI 前世今生共118页

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