第二章

1. 第二章 控制系统数学模型

2. 本章提纲 • 第一节 导论 • 第二节 控制系统的微分方程 • 第三节 控制系统的传递函数 • 第四节 控制系统结构图与信号流图 • 第五节 应用MATLAB控制系统仿真 • 小结

3. 本章提要 • 描述系统各变量之间关系的数学表达式，叫做系统的数学模型。实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等）。 • 控制系统的数学模型关系到对系统性能的分析结果，所以建立合理的数学模型是控制系统分析中最重要的事情。本章将对系统和元件数学模型的建立、传递函数的概念、结构图和信号流图的建立及简化等内容加以论述。

4. 第一节 导论 数学模型有动态模型与静态模型之分。控制系统的动态模型，即线性定常微分方程，分析系统的动态特性。 建立系统数学模型时，必须： (1) 全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模型简化。 (2) 根据所应用的系统分析方法，建立相应形式的数学模型，有时还要考虑便于计算机求解。 建立系统的数学模型主要有两条途径：第一种途径是采用演绎的方法建立数学模型。第二种途径是根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。

5. 第二节 控制系统的微分方程 控制系统的运动状态和动态性能可由微分方程式描述，微分方程式就是系统的一种数学模型。建立系统微分方程式的一般步骤如下： (1) 在条件许可下适当简化，忽略一些次要因素。 (2) 根据物理或化学定律，列出元件的原始方程式。 (3) 列出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式。这种关系式可能是数学方程式，或是曲线图。 (4) 将上述关系式代入原始方程式，消去中间变量，就得元件的输入输出关系方程式。 (5) 求出其它元件的方程式。 (6) 从所有元件的方程式中消去中间变量，最后得系统的输入输出微分方程式。

6. 一、微分方程式的建立 （一）弹簧—质量—阻尼器系统 图2-1表示一个弹簧—质量—阻尼器系统。当外力f (t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式。f (t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下： （1）运动部件质量用M表示. （2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有： 图2-1 弹簧—质量—阻尼器系统

7. (2.1) 式中f1(t)——阻尼器阻力； f2(t)——弹簧力。 • （3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有： (2.2) 式中B——阻尼系数。 设弹簧为线性弹簧，则有： f2 (t) = Ky(t) (2.3) 式中K——弹性系数。

8. (2.4) （4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分方程式: 式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。 式(2.4)还可写成: (2.4a) 令 则有(2.4b)

9. TB和TM是图2-1所示系统的时间常数。1/K为该系统TB和TM是图2-1所示系统的时间常数。1/K为该系统 的传递系数，它的意义是：静止时系统的输出与输入 之比。 列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在 方程式左端，输入项列写在右端。由于一般物理系统 均有质量、惯性或储能元件，左端的导数阶次总比右端 的高。

10. （二）R-L-C电路 图2-2所示R-L-C电路中，R、L、C均为常值， ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，输出端开路。要求列出uc(t)与ur(t)的方程关系式。 （1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式： 图2-2 R-L-C电路 (2.5)

11. （2）式中i是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系：（2）式中i是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系： (2.6) （3）消去式(2.5)、式(2.6)的中间变量i后，便得输入输 出微分方程式： (2.7） 或 (2.8) 式中T1=L/R，T2=RC为电路的两个时间常数。当t的单位 为秒时，它们的单位也为秒。图2-2电路的传递系数为1。 式(2.7)或式(2.8)是线性定常系统二阶微分方程式，式中 左端导数项最高阶次为2。

12. （(三）直流电动机 1.1.电枢控制的直流电动机 (a)线路原理图(b)结构图 图2-3 电枢电压控制的直流电动机 磁场固定不变（激磁电流If =常数），用电枢电压来控 制的直流电动机。控制输入为电枢电压ua ，输出轴角位移 q或角速度w 为输出，负载转矩ML变化为主要扰动。求输 入与输出关系微分方程式。

13. （1）不计电枢反应、涡流效应和磁滞影响；当If为常值时，磁场不变，电机绕组温度在瞬变过程中不变。（1）不计电枢反应、涡流效应和磁滞影响；当If为常值时，磁场不变，电机绕组温度在瞬变过程中不变。 （2）列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下： (2.9) 式中La——电枢回路总电感（亨）； Ra——电枢回路总电阻（欧）； Ke——电势系数（伏/弧度/秒）； w ——电动机角速度（弧度/秒），； ua——电枢电压（伏）； ia ——电枢电流（安)。

14. (2.10) 又根据刚体旋转定律，可写运动方程式 式中J——转动部分转动惯量（公斤·米2）； ML——电动机轴上负载转矩（牛顿·米）； Md——电动机转矩（牛顿·米）。 （3）Md和ia是中间变量。电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的乘积成正比，磁通恒定，有: (2.11) 式中Km——电动机转矩系数（牛顿·米/安）。 （4）将式(2.11)代入式(2.10)，并与式(2.9)联立求解， 整理后得：

15. (2.12) 或 (2.13) 式中Tm——机电时间常数， （秒）； Ta——电动机电枢回路时间常数，一般要比Tm小， （秒）。 式(2.13)是电枢电压控制的直流电动机微分方程式。 其输入为电枢电压ua，输出为角速度w，负载转矩ML扰 动输入。ML变化会使w随之变化，对电动机的正常工 作产生影响。

16. 若输出为电动机的转角q ，则按式(2.13)有: 式(2.14)是一个3阶线性定常微分方程。 （2.14）

17. 二、非线性方程的线性化 几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，就可以应用迭加原理。 研究非线性系统在某一工作点（平衡点）附近的性能，（如图2-10，x0为平衡点，受到扰动后，x(t)偏离x 0，产生Δx(t)，Δx(t)的变化过程，表征系统在x0附近的性能），可用下述的线性化方法得到的线性模型代替非线性模型来描述系统： 图2-10小偏差过程

18. 磁场控制的直流电动机。电枢电压ua为常值，输出为w ，控制输入为uf。研究它的小偏差过程，例如控制输入uf改变一个微量Δuf引起的变化过程。以下是如何求出电动机输出输入偏量的线性化微分方程式。 （1）对激磁电路有： （2）找出中间变量j与其它变量的关系，同时线性化。 小偏差过程可用以下办法使之线性化。 设在平衡点的邻域内，j 对if的各阶导数（直至n+1） 是存在的，它可展成泰勒级数： (2.38) (2.39)

19. 式中 为余项， 和 为原平衡点的磁链和激磁电 … …为原平衡点处的一阶、二阶、…导数， 流， Δif =if -if 0(2.40) 为激磁电流的偏量。 式(2.39)右端第三项及其 以后的各项均可忽略不计， 式(2.39)变为： 原平衡点是已知的，故 (2.41) 可由电动机的饱和曲线求得， 如图2-11。 图2-11 的求取

20. (2.42) 称为动态电感，它为常值，在不同平衡点有不同的值。 因此式(2.41)可写为： (2.43) 或 在平衡点附近，经过线性化处理（忽略偏量的高次项）后，激磁回路偏量间具有线性关系了。偏差愈小，这个关系愈准确。

21. （3）求以偏量表示的微分方程式，即线性化方程式。（3）求以偏量表示的微分方程式，即线性化方程式。 将uf = u f 0+Δu f ，j =j0+L′fΔif ，if = if 0+Δif 代入式 (2.38)，则得： (2.44) 在平衡点，式(2.38)成为： (2.45) 式(2.44)与式(2.45)相减，得激磁回路偏量微分方程式： (2.46) 式(2.46)通常可直接对式(2.38)两边取增量求得，从而简 化推导过程。

22. 若令 ，它为激磁回路动态时间常数，则有： (2.47) 式(2.47)把原来非线性数学模型，转化成以偏量表示的 常系数线性数学模型。在线性化过程中，只考虑泰勒级 数中的一次偏量，故式(2.47)又称为一次线性化方程式。 总结：要建立整个系统的线性化微分方程式，首先确 定系统处于平衡状态时，各元件的工作点；然后列出各 元件在工作点附近的偏量方程式，消去中间变量；最后 得到整个系统以偏量表示的线性化方程式。