第八章环和域

第八章环和域 • 8.1 环 • 8.2 子环与理想 • 8.3 环同态与环同构 • 8.4 域 • 8.5 有限域退出

8.1 环 • 定义8.1.1给定<R，+，·>，其中+和·都是二元运算，若①<R，+>是Abel群，②<R，·>是半群，③·对于+是可分配的，则称<R，+，·>是环。 • 为了方便，通常将+称为加法，将·称为乘法，把<R，+>称为加法群，<R，·>称为乘法半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。

环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以0示之。若a∈R，则其加法逆元以-a表之。环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以0示之。若a∈R，则其加法逆元以-a表之。 • 常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。

定义8.1.2给定环<R，+，·>，若<R，·>是可交换半群，则称<R，+，·>是可交换环；若<R，·>是独异点，则称<R，+，·>是含幺环；若<R，·>满足等幂律，则称<R，+，·>是布尔环。定义8.1.2给定环<R，+，·>，若<R，·>是可交换半群，则称<R，+，·>是可交换环；若<R，·>是独异点，则称<R，+，·>是含幺环；若<R，·>满足等幂律，则称<R，+，·>是布尔环。 • 通常用1表示<R，·>的幺元。在<R，·>中，若a∈R的逆元存在，则以a-1表示其乘法逆元。

定理8.1.1 <R,+,·>是环(a)(a∈R→a·0=0·a=0) • 下面讨论加法逆元的性质，为方便记，a+(-b)表成a-b。 • 定理8.1.2 <R，+，·>是环(a)(b)(a，b∈R→-(a·b)=a·(-b)=(-a)·b

同理 -(a·b)=(-a)·b • 推论1 (a)(b)(a，b∈R→(-a)·(-b)=a·b) • 推论2 (a)(b)(c)(a，b，c∈R→(a·(b-c)=a·b-a·c)∧((b-c)·a=b·a-c·a)) • 由定理8.1.1可知，环中任二元素相乘，若其中至少有一个为零元，则乘积必为零元。但反之未必真，这是因为在环中，两个非零元的乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。

定义8.1.3给定环<R，+，·>，则环<S，+，·>中有零因子:=(a)(b)(a，b∈R∧a≠0∧b≠0→a·b=0)定义8.1.3给定环<R，+，·>，则环<S，+，·>中有零因子:=(a)(b)(a，b∈R∧a≠0∧b≠0→a·b=0) • 并称该环为含零因子环，a和b是零因子。 • 注意，零因子其自身非零也。

定理8.1.3给定环<R，+，·>，则<R，+，·>为无零因子环<R，·>满足可约律。定理8.1.3给定环<R，+，·>，则<R，+，·>为无零因子环<R，·>满足可约律。 • 定义8.1.4给定可交换含幺环<R，+，·>，若<R，+，·>无零因子，则称<R，+，·>为整环。 • 由定义8.1.3知道，环中可约律与无零因子是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环或者说是满足可约律可交换含幺环。

下面再给出一个定理以结束本节。 • 定理8.1.4给定含幺环<R，+，·>且R≠{0}，则|R|≥2。

8.2 子环与理想 • 与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子环。 • 定义8.2.1给定环<R，+，·>和非空集合SR，若<S，+>是<R，+>的子群，<S，·>是<R，·>的子半群，则称<S，+，·>是<R，+，·>的子环。

这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。 • 由环的定义知道，若<S，+>为群<R，+>的子群，<S，+>是<R，·>的子半群，在R上乘法对于加法分配律成立，则<S，+，·>是<R，+，·>的子环。显然由于SR而分配律、结合律在R中成立。则在S中亦成立。于是，子环可定义如下：

若 (1)≠SR • (2)<S，+>是<R，+>的子群 • (3)S对·满足封闭性 • 则<S，+，·>为<R，+，·>的子环。 • 由此及上节定理7.6.3：<S，⊙>是<R，⊙>的子群的充要条件是对任意a，b∈S则a⊙b-1∈S，便可得到下面定理。

定理8.2.1给定环<R，+，·>及≠SR，则<S，+，·>是<R，+，·>的子环(a)(b)(a，b∈S→a-b∈S∧a·b∈S)定理8.2.1给定环<R，+，·>及≠SR，则<S，+，·>是<R，+，·>的子环(a)(b)(a，b∈S→a-b∈S∧a·b∈S) • 本定理表明<S，+，·>为<R，+，·>的子环的主要条件是S对减法运算封闭和S对乘法运算封闭。 • 由此看出，含幺环的子环未必也含幺元，因为<I,+,·>是含幺元1的环，其子环<E,+,·>不再含乘法幺元。

下面引进一种特殊的子环，称之为理想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。下面引进一种特殊的子环，称之为理想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。 • 定义8.2.2设<T，+，·>为<R，+，·>的子环，若对于T中任何元t和R中任何元a，有a·t∈T且t·a∈T，则称<T，+，·>为环<R，+，·>的理想。 • 显然，若<R，+，·>是可交换环，a·t∈S或t·a∈S只要其一即可。

由定义可知，若<T，+，·>为理想，则R中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T，则乘积必属于T。由定义可知，若<T，+，·>为理想，则R中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T，则乘积必属于T。 • 当<S，+，·>是环<R，+，·>的子环时，要求S对于乘法运算封闭；而当<T，+，·>是环<R，+，·>的理想时，要求更强的封闭性，即T对于乘上R中任一元素的运算封闭。

注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理： • 定理8.2.2给定环<R，+，·>及≠TR，则<T，+，·>为环<R，+，·>的理想(t)(t1)(a)(t，t1∈T∧a∈R→(t-t1)∈T∧ • t·a∈T∧a·t∈T)

定义8.2.3令<T，+，·>是环<R，+，·>之理想，若在T中存在元g，使得T=R·g，其中R·g={a·g|a∈R}，则称<T，+，·>为环<R，+，·>的主理想。并称g为<T，+，·>的生成元或说由g生成<T，+，·>，常常用(g)表示T。定义8.2.3令<T，+，·>是环<R，+，·>之理想，若在T中存在元g，使得T=R·g，其中R·g={a·g|a∈R}，则称<T，+，·>为环<R，+，·>的主理想。并称g为<T，+，·>的生成元或说由g生成<T，+，·>，常常用(g)表示T。 • 对于环<I，+，·>来说，它有个有趣的性质即它的所有理想均为主理想。因此有下面待证定理。

定理8.2.3设<L，+，·>为环<I，+，·>之理想，则存在i∈I+，使得L=(i)。即<I，+，·>的每个理想皆为主理想。定理8.2.3设<L，+，·>为环<I，+，·>之理想，则存在i∈I+，使得L=(i)。即<I，+，·>的每个理想皆为主理想。 • 对于任一环的理想，读者不难证明下面定理： • 定理8.2.4若<T1，+，·>与<T2，+，·>同为环<R，+，·>之理想，则<T1∩T2，+，·>亦为环<R，+，·>之理想。 • 定理8.2.5若<T，+，·>为含幺环<R，+，·>之任一真理想，则T中任一元素均无乘法逆元。

现在用R/T表示群<R，+>中T的所有不同陪集的簇。首先定义R/T中的加法如下：现在用R/T表示群<R，+>中T的所有不同陪集的簇。首先定义R/T中的加法如下： • (a+T)(b+T)=(a+b)+T • 则<R/T，>是Abel群。 • 其次定义R/T中的乘法⊙如下： • (a+T)⊙(b+T)=(a·b)+T • 则<R/T，⊙>是半群。

定理8.2.6若<T，+，·>是环<R，+，·>的理想，则<R/T，，⊙>是商环。定理8.2.6若<T，+，·>是环<R，+，·>的理想，则<R/T，，⊙>是商环。

８.３环同态与环同构 • 定义8.3.1给定环<R，+，·>与<S，，⊙>，则环<R，+，·>环<S，，⊙>:=(f)(f∈SR∧(a)(b)(a，b∈R→(f(a+b)=f(a)f(b)∧f(a·b)=f(a)⊙f(b)))称f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射。

又若f为双射，则环<R，+，·>环<S，，⊙>，此时称f为从<R，+，·>到<S，，⊙>的环同构映射。又若f为双射，则环<R，+，·>环<S，，⊙>，此时称f为从<R，+，·>到<S，，⊙>的环同构映射。 • 不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且f还能保持可分配性，即对任意a，b，c∈R，则 • f(a·(b+c))=f(a)⊙f(b+c) • =f(a)⊙(f(b)f(c)) • =(f(a)⊙f(b))(f(a)⊙f(c))

定义8.3.2若f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射，0S为环<S，，⊙>的零元，则集合Kf={k|f(k)=0S∧k∈R}，称为环同态映射f的核。定义8.3.2若f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射，0S为环<S，，⊙>的零元，则集合Kf={k|f(k)=0S∧k∈R}，称为环同态映射f的核。 • 关于环同态、环同构有群同态、群同构类似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。

定理8.3.1若f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射，且0R，0S，1R，1S分别为两个环的零元和幺元，则定理8.3.1若f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射，且0R，0S，1R，1S分别为两个环的零元和幺元，则 • (1) f(0R)=0S • (2) f(-a)=-f(a) • (3) <Kf，+，·>是<R，+，·>的子环 • (4) <f(R)，，⊙>是<S，，⊙>的子环 • (5) f为单射Kf={0R}

又若f为双射，即f为环同构映射，则 • (6) f(1R)=1S • (7) 若a∈R有乘法逆元a-1，f(a-1)=f(a)-1。 • 此外，由(2)可证环同态映射保持减法运算，因为对任意a，b∈R，f(a-b)=f(a+(-b))=f(a)f(-b)=f(a)(-f(b))=f(a)-f(b)

下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。 • 定理8.3.2若f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射，则<Kf，+，·>为<R，+，·>之理想。

8.4 域 • 对于环<R，+，·>施加进一步限制，即<R-{0}，·>是可交换群，便得到另外一个代数结构——域。 • 定义8.4.1给定可交换环<R，+，·>，若<R-{0}，·>为群，则称<R，+，·>为域。

下面定理证明了域中无零因子，因而域中可约律成立。下面定理证明了域中无零因子，因而域中可约律成立。 • 定理8.4.1 <F，+，·>为域(a)(b)(a，b∈F∧a·b=0→(a=0∨b=0)) • 定理8.4.2设<R，+，·>是无零因子环，若1<|R|<n，nN+，则<R，+，·>是域。 • 该定理说明了，元素大于1的有限无零因子环是域。

定理8.4.3设<K，+，·>是域，RK，且<R，+，·>是交换环，定理8.4.3设<K，+，·>是域，RK，且<R，+，·>是交换环， • F={ |a,bRb0}，则<F，+，·>是交换域，且RF。并称F是包含R的商域，简称F是R的商域。

由定理证明可得出：①只要R能够嵌入一域中，则R的商域F必存在，并且商域F的构造完全由R确定。因此，R的商域都同构，进而可知同构环的商域也是同构的。②任一域K若包含R，也就包含R的商域F，因此，F是包含R的最小域。如有理数域Q是整数环Z的商域，它包含Z的最小域。由定理证明可得出：①只要R能够嵌入一域中，则R的商域F必存在，并且商域F的构造完全由R确定。因此，R的商域都同构，进而可知同构环的商域也是同构的。②任一域K若包含R，也就包含R的商域F，因此，F是包含R的最小域。如有理数域Q是整数环Z的商域，它包含Z的最小域。

定理8.4.4给定环<Zn，+n，·n>，则<Zn，+n，·n>为域n为素数。定理8.4.4给定环<Zn，+n，·n>，则<Zn，+n，·n>为域n为素数。 • 域与其理想之间有着很有趣的关系。 • 定理8.4.5给定可交换含幺环<R，+，·>，则<R，+，·>为域<R，+，·>不具有真理想。

8.5 有限域 • 定义8.5.1给定域<F，+，·>，若|F|<n，nN+，则称<F，+，·>是有限域，或伽罗瓦(Galois)域。 • 根据8.4节中定理8.4.4可知，当p是素数时，<Zp,+p,·p>是有限域，并记为GF(p)。 • GF(p)表明了，若p是素数时，则F={0,1,2,···,p-1}在modp的意义下关于加法+和乘法·构成域。

定义8.5.2设<F，+，·>是域，EF。若对任意a,bE，有a-bE，且当b0时有a·b-1E，则称<E，+，·>是域<F，+，·>的子域，称<F，+，·>是域<E，+，·>的扩张。也简称E是F的子域，F是E的扩张。若<E∪{},+,·>是域，且F=E∪{}，则F是E的单扩张，并记为F=E()，称是F关于E的本原元素。定义8.5.2设<F，+，·>是域，EF。若对任意a,bE，有a-bE，且当b0时有a·b-1E，则称<E，+，·>是域<F，+，·>的子域，称<F，+，·>是域<E，+，·>的扩张。也简称E是F的子域，F是E的扩张。若<E∪{},+,·>是域，且F=E∪{}，则F是E的单扩张，并记为F=E()，称是F关于E的本原元素。

定义8.5.3若一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。定义8.5.3若一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。 • 例如，实数域R中的在理数域Q是素域，<Zp,+p,·p>是素域。 • 定理8.5.1任何域包含一个且仅一个素域

定义8.5.4设<F，+，·>是域，e是其单位元。若e的任意倍均异于0，则称该域的特征数是0；若e的某素数p倍是0，称该域特征数是p。定义8.5.4设<F，+，·>是域，e是其单位元。若e的任意倍均异于0，则称该域的特征数是0；若e的某素数p倍是0，称该域特征数是p。 • 从上面讨论可得出： • 定理8.5.2设素域<E，+，·>的特征数是p，则<E，+，·><Zp,+p,·p>；若特征数是0，则<E，+，·><Q，+，·>。 • 注意域与其子域的单位元是一致的，可见域与其子域的特征数是相同的。

定理8.5.3设<F，+，·>是域，n是整数，对任意非零元aF，若特征数是0，则na=oiffn=0；若特征数是p，则na=0 iffn0(mod p)。 • 由定理可知，特征数是单位元的性质，也是域中任意元的公共性质。 • 定理8.5.4设<F，+，·>是有限域，其素域<E，+，·>，|F|=q，则特征数p0，且q=pn，其中n是F关于E的底之元数。

定理8.5.5设<F，+，·>是域，|F|=q，则F的元是由多项式xq-x的根所组成。定理8.5.5设<F，+，·>是域，|F|=q，则F的元是由多项式xq-x的根所组成。 • 定理8.5.6元数相等的有限域是同构的。在同构意义下，只有唯一的元素是pn的有限域，其中p为素数。该有限域表为GF(pn)。

第八章 环 和 域