Regresszió és korreláció

1. Regresszió és korreláció 2013. 03. 09 .

2. Lineáris regresszió • Regressziós vizsgálatok • Korrelációs együttható • Korreláció és függetlenség

3. Bizonyos esetekben tudjuk/gyanítjuk, hogy az adatok ingadozásáért egy másik, ugyancsak változó tényező a felelős • Pl.: • RR különböző életkorokban más értékek • Laboratóriumi mérést helyiség hőmérséklete befolyásol, növeli a szórást

4. Kézenfekvő lenne ennek a külső változónak az ingadozását megszüntetni, értékét azonos szinten tartani – nem mindig lehetséges • Másik megoldás, hogy a zavaró változó hatását igyekszünk felderíteni, és számítással kiküszöbölni.

5. Bizonyos esetekben ennek a hatásnak a természete jobban érdekel minket, mint magának a szórásnak a csökkentése • Pl.: Hogyan változik (és változik-e egyáltalán) • a korral a vérnyomás • a koncentrációval a törésmutató • Eredeti változónkat tehát mintegy a másik függvényében vizsgáljuk – regressziós vizsgálatok

7. Adrenalin hatására vizsgáljuk az izomrángást • Adrenalin dózis növekedésével a rángásidőt vizsgáljuk • Próbáljuk egyenessel megközelíteni a hatás jellemzését

9. x változó vizsgált értékeit mi választjuk ki, • yi adatok eltérését az egyenestől rögzített xi értéknél (tehát a függőlegesen vizsgáljuk) • Célunk, hogy a függőleges egyenesekből számolt szórás a lehető legkisebb legyen • y=a+bx ahol b a meredekség, a tengelymetszet

12. Regressziós vizsgálatok • A regressziós összefügéseket nem mindig egyenes ábrázolja a legjobban • Sokszor görbe jellemzi: parabola, hiperbola vagy exponenciális görbe • Előfordul, hogy a dózis logaritmusa áll lineáris kapcsolatban a hatással

13. Valóságos regressziós egyenlet: 1., x és y tengelyen ábrázolt adatokra rátekintve mondhatjuk meg, hogy milyen görbe jellemzi 2., Megmérjük az összefüggés szorosságát, ezt a célt szolgálja a korrelációs együttható

14. Kovariancia (sxy): az együttes ingadozás mértékszáma • Korelációs együttható (r): a kovariancia a szórások szorzatával osztva

15. Pozitív hajlásszögű egyenes: b>0, a korrelációs együttható (r) is pozitív lesz, ezt pozitív korrelációnak nevezzük. • Negatív hajlásszögű egyenes: a korrelációs együttható is negatív, negatív korrelációról beszélünk • r=0 korrelálatlanságról beszélünk, ilyenkor regressziós egyenes vízszintes (b=0) (ilyenkor y átlagos értéke ugyanaz marad, akárhogyan is változik x)

16. A korrelációs együttható csak -1 és +1 közti értékeket vehet fel • A együttható abszolút értéke jellemzi a kapcsolat szorosságát (mennél jobban tömörülnek a pontok az egyenes körül annál nagyobb r abszolút értéke) • +1 vagy -1 értéket akkor és csak akkor éri el az együttható, ha a pontok valamennyien rajta fekszenek az egyenesen

17. Két változó együttváltozása lehet, hogy csak egy harmadik változó hatásának eredménye: mindkettejük alakulását az szabályozza, maguk a vizsgált változók azonban semmiféle befolyással nincsenek egymásra • Pl.: gyulladásos folyamat lázat és fvs szám növekedést okoz. De sem a láztól a fvs, sem a fvs növekedéstől a testhőmérséklet nem változik

18. Még ha ok-okozati összefüggés áll is fenn a két vizsgált változó között, pusztán korrelációs együttható segítségével akkor sem tudjuk eldönteni hogy melyik befolyásolja a másikat • Az ok megkeresése biológiai probléma nem pedig biometriai

19. A korreláció hiánya, a korrelálatlanság (r=0) hasonlóképpen hibás következtetésekre indíthat – mivel a változók közötti kapcsolat hiánya miatt könnyen értelmezhetjük úgy, hogy az adatok függetlenek egymástól • Pl.: az életkor függvényében vizsgált összefüggések

21. Erre a legjobban közelítő egyenes a vízszintes lesz • Erre az eredményt azonban a legjobban nem az egyenes reprezentálja hanem egy görbe.

22. Nem minden görbevonalú kapcsolat esetén ennyire félrevezető az r együttható segítségével szerzett információ, de ajánlatos azzal mindig óvatosan bánnunk • A normális eloszlás fontos kivétel: elméletileg igazolható, hogy ilyenkor vagy lineáris kapcsolat van a változók között vagy semmilyen • Normális eloszlás esetén tehát a korrelálatlanság (lineáris kapcsolat hiánya) már biztosítja a függetlenséget.

23. Fordított irányú következtetés viszont mindig helyes: a változók függetlensége esetén a korrelációs együttható mindenképp nulla

24. Bizonyos esetekben az r becsaphat: korrelációt találhatunk ott is ahol valójában függetlenség van, máskor meg kétségkívül fennálló lineáris kapcsolatot „nem veszi észre” a mintából számított r együttható, a mintaelemek speciális elhelyezkedése miatt

25. A körben elhelyezkedő végtelen sok érték közül választunk ki néhányat – a változóból a mintát -, és ezekből határozzuk meg a korrelációs együtthatót. Mivel a kiválasztott pontok véletlenül egy egyenes mentén helyezkednek el, a korrelációs együttható értéke közel lesz az 1-hez . Emiatt arra a következtetésre jutunk, hogy a változók közt szoros kapcsolat van.

27. Más esetben a változók értékeit ábrázoló pontokból a köztük lévő lineáris összefüggés nyilvánvaló; a kiválasztott pontok – ismét csak véletlenül – azonban úgy helyezkednek el, hogy rajtuk vízszintes egyenest fektethetünk át. • Az így kapott r=0 alapján a változók korrelálatlanságára (sőt gyakran függetlenségére) következtethetünk

29. A fenti ellentmondásokat az eddigi módszerekkel már nem tudjuk feloldani. • Statisztikai következtetés módszereinek helyes alkalmazása megvéd az utóbbi kettő tévedéstől.

30. Az eloszlások paramétereire vonatkozó próbák • U próba • T (student) próba • F próba

31. u-próba • He egy ismert σ szórású (normális eloszlású) alapsokaságból vett n elemszámú minta átlagára vonatkozó nullhipotézisünket akarjuk ellenőrizni

32. Átlagsúly 1.985 kg • A súlyok szórása 0.060kg • Szignifikancia szint 5% (μp=0.05) • Ehhez tartozó kritikus érték: 1.96

33. t-(student) próba • T-próbával ellenőrizhetjük két ismeretlen minta középértékeire vonatkozó hipotézisünket, a két mintaátlag különbségének szignifikanciáját. • A két mintaátlag különbözősége önmagában nem bizonyítja a két várható érték eltérését, erre a t-próba ad felvilágosítást

34. t-(student) próba • A t-próba alkalmazásának előfeltétele, hogy a két valószínűségi változó követi a normális eloszlást, és szórása egyenlő

36. F-próba • Mind az u-próbánál, mind a t-próbánál feltéteteleztünk valamit a sokaság szórásáról: • Az u-próbánál azt, hogy ismert, t-próbánál pedig azt, hogy az összehasonlított sokaságok szórása azonos. A szórással kapcsolatos ezen hipotéziseink ellenőrzésére alkalmas az F-próba

37. F-próba A nullhipotézis itt azt jelenti, hogy két normális eloszlású ismeretlen várható értékű sokaság szórása azonos (σ1=σ2) A két sokaságból vett minta szórásnégyzeteinek hányadosa F-eloszlást követ

38. KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!