第二章流体静力学

第二章流体静力学 工程流体力学

第一节流体静压强及特性 当流体处于平衡或相对平衡状态时,作用在流体上的应力只有法向应力而没有切向应力,流体作用面上负的法向应力就是静压强流体静压强的两个特性 • 特性一：流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向

第一节流体静压强及特性 • 特性二：静压强与作用面在空间的方位无关，只是坐标点的连续可微函数边长δx、δy、δz 静压强Px、Py、Pz和Pn 密度ρ 单位质量力的分量 fx 、fy、 fz

第一节流体静压强及特性 力在x方向的平衡方程为由于忽略无穷小量 ※证明在静止流体内部,压强只是点的坐标的连续函数静压强可表示为

第二节欧拉平衡微分方程　等压面　在静止流体中取一微元平行六面体边长 δx、δy、δz 中心点坐标a(x,y,z) 中心点压强p 单位质量力的分量 fx 、fy、 fz 作用在x轴垂直的两个面中心点b、c上的流体静压强，可将a点的静压强按泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小项求得

◆流体的平衡微分方程式 x方向的平衡方程式化简得同除以（1）（2）同理得（3）

◆流体的平衡微分方程式 写成矢量流体平衡微分方程式又叫欧拉平衡微分方程式意义：在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡适用范围：可压缩、不可压缩流体静止、相对静止状态流体

◆等压面 上式中(1)×dx +(2)×dy +(3)×dz得压强差公式等压面　在流体中压强相等的点组成的面微分形式的等压面方程性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于经过该点的等压面写成矢量形式由矢量代数可知,这两个矢量必然垂直

◆有势力 流体平衡的条件单位质量力分量之间有下述关系力的势函数上式是质量力具有力的势函数的充分必要条件写成矢量上式表明,对于不可压缩流体,质量力存在势函数,此时,质量力为有势的力

第三节　重力场中流体的平衡 流体静力学基本方程式重力场中,取xoy为水平面,z轴垂直向上,在该坐标系中单位质量力的分量为对于不可压缩流体,积分得对1,2两点列方程 ※ 适用于不可压缩重力流体的平衡状态

◆流体静力学基本方程 物理意义单位重量流体的位势能之和为总势能单位重量流体的压强势能对图中a点和b点列静力学方程或 ※ 当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时,在流体中的任意点上,单位重量流体的总势能为常数

◆不可压缩流体中压强的变化 几何意义位置水头 A-A 静水头线 A－A′ 计示静水头线之和为静水头压强水头 ※不可压缩的重力流体处于平衡状态时,静水头线或者计示静水头线为平行于基准面的水平线

◆帕斯卡原理 对淹深为h的a点和压强为p0的自由液面上的点，列静力学基本方程上式表明:不可压缩的重力流体处于平衡状态时,流体内部的静压强由两部分构成 1　自由表面的压强 2 淹深为、密度为的流体柱产生的压强该式还表明:均质不可压缩的重力流体处于平衡状态时,自由液面上的压强对内部任意点上的影响是相同的,即施加与自由液面上的压强,将以同样的大小传递到液体内部任意点上—帕斯卡原理

◆可压缩流体中压强的变化 等温过程,气体的密度重力场中单位质量力分量为积分代入压差公式,得当得,积分常数时代入上式得或者去掉对数符号

◆可压缩流体中压强的变化 在大气层中,从高11000m到20100m的空间为大气恒温层,层内代入得大气恒温层的压强计算公式从海平面到11000m的空间,为标准大气的对流层,该层内温度随高度的变化规律为将重力场中单位质量力分量及温度表达式,代入压强差公式,得对流层中压强和高度的关系积分得去掉对数得海平面上代入得

◆绝对压强　计示压强　真空 绝对压强：以完全真空为基准计量的压强计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强用液柱高度表示各压强度量单位之间的换算１工程大气压＝１标准大气压＝１巴＝

◆流体静压强的测量和液柱式测压计 测压管结构最简单的液柱式测压计为了减小毛细现象的影响,玻璃管直径一般不小于10cm 分被测压强高于和低于大气压强两种情况

◆流体静压强的测量和液柱式测压计 U形管测压计也要考虑毛细现象的影响,管径的要求和测压管相同,压强量程比测压管大得多工作液体一般采用水或水银被测流体的密度 U形管中工作液体的密度重力场中流体的平衡

◆流体静压强的测量和液柱式测压计 测量压差 U形管测压计还可用来测量流体的压强差容器中A,B点的位置高度一样两个容器中流体的密度 U形管中工作液体的密度

例如图２-１所示，一倒置的Ｕ形管，其工作液体为油，　　　　　下部为水已知　　　　　　　，求两容器中的压强例如图２-１所示，一倒置的Ｕ形管，其工作液体为油，　　　　　下部为水已知　　　　　　　，求两容器中的压强解由等压面的关系知

解活塞重量使其底面产生的压强为列等压面方程由上式可解得

例２-4　如图所示，已知 求A B两点的压强差图中1-1,2-2和3-3均为等压面,根据流体静压强计算公式,可以逐个写出每一点的静压强,分别为解将上式逐个代入下一个式子整理后得A,B两点的压强差

解在F1,F2作用下,活塞底面产生的压强分别为图中a-a为等压面,题目中给出的第一个圆筒上部是计示压强,所以第二个圆筒上部的大气压强不必考虑，列等压面方程解上式得

第四节液体的相平衡 等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡静压强的分布规律代入压强差公式积分得坐标原点选在液面不变化的o点，z轴垂直向上，x轴沿罐车的运动方向

◆等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡 当时得静压强不仅与垂直坐标有关系，同时还和水平坐标有关系等压面方程积分得等压面为一簇倾斜平面平面和x轴的夹角为由公式可以看出,质量力的合力仍然垂直于等压面

◆等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡 自由液面得代入得 ※ 形式上和绝对平衡的流体静压强的分布规律完全相同，但实质上两者是有区别的。在绝对平衡状态下，淹深仅仅和垂直坐标有关，而上述的相对平衡状态下，淹深不仅和垂直坐标有关，还和水平坐标有关。

◆等角速旋转容器中液体的相对平衡 单位质量力分量分别为积分得代入压强差公式将坐标原点取在抛物面的顶点上，z轴垂直向上，xoy面水平

◆等角速旋转容器中液体的相对平衡 当时代入上式得等压面方程积分得等压面为旋转抛物面的等压面为自由液面自由液面方程代入得

◆等角速旋转容器中液体的相对平衡 特例一顶盖中心开口的旋转容器（离心式铸造机）中心处

◆等角速旋转容器中液体的相对平衡 特例二顶盖边缘开口的旋转容器（离心式水泵、离心式风机）时得

解当汽车在水平路面上作等加速直线运动时,U形管两支管的液面在同一斜面上,设该斜面和水平方向的夹角为 ,由题意知由上式可解出两支管液面差的高度

解等角速旋转容器中液体相对平衡时,流体静压强的通用公式为将顶盖上的边界条件时代入上式,可求得积分常数

代入上式得 作用在顶盖上的静水总压力为令 ,由上式可以解出

第五节静止流体作用在固体壁面上的总压力 静水奇象液体作用在平面上的总压力在静止液体中，有一和液面呈夹角α的任意形状的平面 z轴和平面垂直由流体静压强的特性知,各点的静压强均垂直于平面,构成了一个平行力系,因此,液体作用在平面上的总压力就是这一个平行力系的合力

◆液体作用在平面上的总压力 总压力的大小和方向微元面积上的压力（面积矩　静矩）积分得 ※液体作用在平面上的总压力等于一假想体积的液重，该体积是以平面形心的淹深为高、平面的面积为底的柱体。

◆液体作用在平面上的总压力 总压力的作用点（总压力的作用线和平面的交点　称压力中心）由合理矩定理总压力对轴的力矩等于各微元总压力对 ox ox 轴的力矩的代数和（惯性矩　二次矩）压力中心的y坐标

◆液体作用在平面上的总压力 根据平行移轴定理代入上式得压力中心的x坐标工程实际中的平面往往是对称图形,一般不必计算压力中心的x坐标

解对于闸门左侧根据公式

同理对于闸门的右侧可得 两侧压力的合力为合力F的方向向右,设合力F的作用点距左边液面的距离为yD,根据合力矩定理,对o点取距,则有显然合力作用点x坐标为

◆液体作用在曲面上的总压力 有一承受液体压强的二维曲面，坐标系的z轴垂直向下

◆液体作用在曲面上的总压力 总压力（1）水平分力曲面A在垂直于x轴的坐标平面内的投影面积对y的面积矩为投影面积的形心的淹深

◆液体作用在曲面上的总压力 （2）垂直分力为曲面a－b和自由液面或者其延长面所包容的体积，称为压力体（3）总压力的大小和作用点将上述总压力的两个分力合成，即得到液体作用在曲面上的总压力

◆液体作用在曲面上的总压力 压力体曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积实压力体压力体充满液体虚压力体压力体中没有液体这三个压力体的大小均为VOAB.所以,对于同一曲面,当液体深度不变,只是液体的相对位置不同时,压力体与曲面的相对位置不同,但压力体的大小并不改变,曲面所承受的垂直分力的大小也不变化,只是方向改变而已

对于底盖，由于在水平方向上压强分布对称，所以流体静压强作用在底盖上的总压力的水平分力为零。底盖上总压力的垂直分力对于底盖，由于在水平方向上压强分布对称，所以流体静压强作用在底盖上的总压力的水平分力为零。底盖上总压力的垂直分力解顶盖上的总压力的水平分力也为零，垂直分力为

侧盖上总压力的水平分力 侧盖上的压力体，应为半球的上半部分和下半部分的压力体的合成，合成后的压力体即为侧盖包容的半球体，所以侧盖上总压力的垂直分力根据上述水平分力和垂直分力可求得总压力的大小和作用线的方向角由于总压力的作用线与球面垂直，所以作用线一定通过球心

解取z轴铅直向上，xoy水平面，坐标原点选在测压管的自由液面上，由于顶盖上和液面上均有大气压的作用，所以压强以计示压强表示较为简单，由前述的等角速旋转容器中流体静压强的分布公式知，顶盖上液体压强的分布规律为在顶盖的下表面上有z=-h，其压强分布规律为将上式在顶盖上积分，就可以求出液体对顶盖的作用力，进而求出螺栓组1受到的拉力

螺栓组2的拉力为 该题目还可以用压力体的概念求解，解法如下由等角速旋转容器中液体自由液面的方程知此时筒壁处自由液面的理论高度为因此，顶盖上压力体的体积为所以螺栓组1上受到的拉力应为螺栓组2的拉力为所得结果与前面积分法求得的结果相同

复杂曲面的压力体，可以采用分段叠加的方法画出复杂曲面的压力体，可以采用分段叠加的方法画出

第六节液体作用在浮体和潜体上的总压力 流体力学中将部分沉浸在液体中的物体称为浮体，全部沉浸在液体中的物体称为潜体，沉入液体底部固体表面上的物体称为沉体总压力的垂直分力为阿基米德定律 ※负值说明其方向向上即液体作用在潜体上的总的作用力

解所以因为代入上式又因为所以

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