Kontextuálne vyučovanie matematiky a v prostredí počítačových technológií (otvorená hodina)

1. Kontextuálne vyučovanie matematiky a v prostredí počítačových technológií (otvorená hodina)

2. Kam smeruje edukácia v modernej informačnej spoločnosti V nadväznosti na výsledky a odporúčania výskumov (PISA) • Úsilie o zredukovanie obsahov učiva v jednotlivých predmetoch, menej encyklopedických vedomostí , • Dôraz na chápanie - porozumenie a aplikovania poznatkov v praxi, menej memorovať – viac aplikovať, • Úsilie prepojiť obsahy učiva jednotlivých vyučovacích predmetov, (nutnosť transferu vedomostí, získaných pri vyučovaní jedného prírodovedného predmetu do oblasti iného predmetu), • V oblasti vyučovania matematiky: naliehavosť ponúkať modernú, užitočnú a aplikovateľnú matematiku.

3. Didaktická formácia učiteľa musí mať na zreteli Čo nechceme: • Odovzdávať študentom nezáživným spôsobom sterilný súbor faktov, pojmov, vedomostí , informácií, nepoužiteľný v každodennej praxi Čo chceme: • Zvýšiť efektivitu vyučovacieho procesu - vyučovanie metódou „learning by doing“ - metódou tvorivej činnosti, aktívnym zmocňovaním sa poznatkov experimentovaním, • Klásť dôraz na percepciu podstaty pojmov a ich vzájomných korelácii, vrátane interdisciplinárnych prepojení, • Orientáciu na vedomosti a zručnosti potrebné pre dobré uplatnenie sa v modernej spoločnosti, akcentovanie relevantných vedomosti aplikovateľných pri riešení problémov v reálnom živote, • Formovanie študenta ako konštruktívneho, zainteresovaného a premýšľavého jedinca.

4. Matematika potrebuje ostatné vedné disciplíny a naopak • Ako učitelia matematiky sme často konfrontovaní otázkami študentov, ktorých zaujíma ako a kde môžu práve preberaný matematický poznatok využiť v praxi. Ak chceme v takejto chvíli vhodne a inšpiratívne reagovať, musíme upriamiť pozornosť do sveta biológie, ekonómie, ekológie, chémie či fyziky a ponúknuť študentom uspokojivé vysvetlenie, uviesť relevantný aplikačný príklad. • Pri vyučovaní matematiky učiteľ azda najviac pociťuje potrebu súčinnosti s inými vednými odbormi.

5. Oblasti matematiky, ktoré sú najviac použiteľné aj v iných vedných disciplínach • Matematické modelovanie • Štatistické metódy • Teória grafov • Teória hier • Optimalizačné metódy • Lineárne programovanie • Numerické metódy

6. Počítačové technológie a kontextuálne vyučovanie • V súčasnej dobe informačných technológií jasne vidíme, že všetky vedné disciplíny upriamujú svoju pozornosť predovšetkým na informatiku a matematiku. • Intenzívne vnímame, ako počítačové technológie prenikajú do všetkých oblastí vedy, eliminujú rutinné a  stereotypné činnosti, vytvárajú priestor pre kreatívne a komplexné vedecké skúmanie, posúvajú hranice poznania, umožňujú realizovať výskum na úplne inej úrovni, ako to bolo doposiaľ. • Na príklade matematického dynamického modelu a  počítačovej simulácie rastu populácie organizmov chceme demonštrovať aká inšpiratívna a podnetná môže byť vzájomná kooperácia a kolaborácia matematiky, biológie a informatiky.

7. Matematický model a počítačové simulácie • Modelovanie je účelové zobrazovanie vyšetrovaných vlastností originálu pomocou vhodne zvolených vlastností modelu. Jedná sa teda o reprodukciu vybraných vlastností sledovaného objektu na modely. Skúmanú skutočnosť nazývame originálom, či predmetom modelovania. • Matematické dynamické modely sa používajú pre vyjadrenie evolúcie opisovaného systému prebiehajúcej v čase na základe a priori definovaného pravidla. • Modely rastu a vzájomných vzťahov rôznych populácií sú dnes využívané v prírodných vedách a inžinierskych disciplínach, v biológii, chémii, ekológii,  ekonómii, ale aj v sociálnych vedách a slúžia tiež napríklad na: • určovanie maximálnej úrody v poľnohospodárstve, • na pochopenie dynamiky biologických invázií, • pre porozumenie dôsledkov pri ochrane životného prostredia, • pre prognózovanie šírenia parazitov, vírusov a ochorení , • pre prognózovanie rozširovania sociálnych sietí, etnických skupín

8. Spojité modely rastu verzus celulárne automaty • K najznámejším spojitým modelom rastu (využívajúcim jazyk matematickej analýzy a diferenciálnych rovníc) patrí Malthusova rovnica . • Problémom klasických (spojitých) dynamických modelov je, že pri ich konštruovaní sa prijímajú pomerne zjednodušené predpoklady. Populácia sa chápe globálne, „makroskopicky“, ako celok, pričom sa nereflektujú viaceré faktory, ako napríklad rozmnožovanie a smrť jedincov, priestorové rozloženie, či lokálne zmeny populácie - rozdiely sa jednoducho „spriemerujú“. Určite pri mnohých úlohách je to správna intuícia, ľahko však nájdeme príklady, kde takýto prístup vedie k nesprávnym záverom. (populácie s krátkou dobou života). • Najjednoduchším alternatívnym riešením je „mikroskopické“ modelovania rastu populácie, ktoré berie do úvahy ako priestorové rozloženie jedincov, tak podmienky zrodu, prežitia a  smrti subjektov. Takéto modelovanie rastu je možné realizovať prostredníctvom celulárnych automatov. • V tomto momente registrujeme zásadný vstup počítačových technológií do oblasti matematického modelovania biologických procesov a teda interdisciplinárne prepojenie matematiky, informatiky a biológie, (prípadne i  ďalších vedných disciplín, v ktorých je možné aplikovať spomínaný model rastu populácie).

9. Celulárne automaty • Počiatky sa spájajú s menami J.v. Neumann a S. Ulam a S. Wolfram (1959 - ) a jeho publikáciou A New Kind in Science (2002), v ktorej skladá hold tejto fascinujúcej štruktúre, a považuje ju za akýsi „základný princíp“ mnohých javov vo svete. • Celulárny automat (CA) (angl. cellularautomaton) je dynamický systém a matematický model, ktorý stvárňuje evolúciu živého systému. • Vo všeobecnosti ho môžeme charakterizovať pomocou troch základných parametrov: • štruktúrou siete, prostredníctvom ktorej simulujeme zvolené javy, • špecifikáciou subjektov, ktoré „žijú“ na tejto sieti, • množinou pravidiel, podľa ktorých sa riadi evolúcia subjektov siete.

10. Celulárny automat • je tvorený bunkami, • každá bunka môže nadobúdať najčastejšie dva stavy (binárny CA); • jeden stav označuje plné pole živá bunka (1) • druhý stavoznačuje prázdne pole mŕtva bunka (0) Bunky môžu buď usporiadané do rôznych tvarov • priamky – hovoríme o lineárnych jednorozmerných (označenie 1D CA), • pravidelnej mriežky (najčastejšie) – hovoríme o dvojrozmerných 2D CA, • trojrozmernej štruktúry (označenie 3D CA).

11. Živá bunka • Hodnoty stavov buniek sú určené prechodovou funkciou. Bunka mení svoj stav podľa zadefinovaného pravidla, • Každá bunka má informáciu o sebe samej, ako aj o svojom okolí (lokálne informácie) a na základe toho koná a rozhoduje sa, čo urobí v ďalšom kroku (cykle, generácii). Mŕtva bunka

12. Okolie bunky • Každá bunka má definované okolie, ktoré vplýva na jej rozhodovanie o zmene jej stavu. • pre  1D CA je okolie definované ako počet susedných buniek po oboch stranách bunky, • pre 2D CA existuje niekoľko typov okolí buniek. Najznámejšie sú Lineárne okolie bunky Moorovské okolie bunky Neumanovské okolie bunky Šesťuholníkové okolie bunky

13. The Game ofLife (Hra život) najznámejší celulárny automat • JohnHortonConway (1937 - ). • The Game ofLife je na jednej strane jednoduchým, no  súčasne úžasne flexibilným modelom zrodu, evolúcie a vymierania kolónií živých organizmov. • Conway dlho experimentoval, testoval rôzne pravidlá evolúcie buniek. Nakoniec určil princípy, ktoré zaručujú veľmi zaujímavý a súčasne nepredvídateľný rast kolónií organizmov. Posolstvo tejto hry je predovšetkým v nasledujúcom: • „ Aj jednoduché pravidlá môžu viesť k zložitým a komplexným riešeniam.“ Pravidlá hry špecifikujú, za akých podmienok: • baktérie prežívajú do ďalšej generácie, • na mieste mŕtvej sa rodí nová baktéria, • živá baktéria umiera.

14. The Game ofLife • Hra využíva Moorovské okolie bunky a  tieto postuláty: • pre živé bunky: ak má bunka okolo seba menej než 2 bunky, potom umiera na osamelosť, • pre živú bunku: ak má bunka okolo seba viac ako 3 živé bunky, potom umiera z „presýtenia“, „premnoženia“, • pre živú bunku: ak má okolo seba 2 alebo tri živé bunky, potom bunka prežije do nasledujúcej generácie, • pre mŕtvu bunku: ak má bunka v svojom okolí práve 3 živé bunky, potom príde k zrodu bunky (trojpohlavné rozmnožovanie), inak zostáva mŕtva.

15. Prvá generácia (krok, cyklus) sa realizuje pre začiatočnú konfiguráciu buniek podľa vyššie uvedených pravidiel, pričom pravidlá sa aplikujú súčasne na každú bunku. Ďalším aplikovaním pravidiel vznikajú ďalšie generácie buniek. Začiatočné obrazce, tvorené ľubovoľne zvoleným počtom živých buniek, smerujú po niekoľkých generáciách k jednej z nasledujúcich situácií: • štruktúra po X generáciách zanikne, • vzniká stabilná štruktúra, • vzniká cyklicky sa opakujúci obrazec. • Existuje mnoho voľne dostupných programov, ktoré simulujú Game of the Life na obrazovke počítača. K takým patrí aj program Conway, ktorý sme použili pri koncipovaní nášho článku. Pomocou neho môžeme pozorovať evolúciu nami zvolenej konfigurácie buniek na obrazovke počítača. Program tiež umožňuje určovať si vlastné podmienky (postuláty) pre rast populácie, vybrať vhodné okolie bunky (sieť) – čiže realizovať aj iné typy celulárnych automatov.

16. Periodické konfigurácie

17. Hlavné okno programu Conway

18. Lišta nástrojov Automatické generovanie ďalších generácií Nastavenia mriežky a prechodovej funkcie Nové pole Posun ďalšia generácia Zoom mriežky

19. Voľba okolia buniek v programe Conway

20. Ďalšie okolia buniek v programe Conway

21. Voľba okolia buniek a postulátov Hry na život v programe Conway

22. Príklad 1.Podmienky Hry na život aplikujeme na jednoduchú začiatočnú konfiguráciu na Moorovskom okolí buniek. Následne simulujeme jej evolúciu a registrujeme vznik obrazcov, predstavujúcich ďalšie generácie. Ako vidieť po jedenástich generáciách vzniká v tomto prípade stabilná oscilujúca štruktúra.

23. Príklad 2. Celulárny automat konštruovaný na šesťuholníkovom okolí buniek s nasledujúcimi postulátmi (môžeme ním simulovať rast kryštálov vody) • Pre živú bunku: ak má okolo seba práve jednu živú bunku, potom bunka prežije do nasledujúcej generácie, • Pre mŕtvu bunku: ak má bunka v svojom okolí práve jednu živú bunku, potom príde k zrodu novej bunky, inak zostáva mŕtva. Vývoj jednotlivých generácií môžeme simulujeme programom Conway

35. Možnosti využitia celulárnych automatov (CA sú aplikovateľné v temer každej oblasti vedy) Pomocou celulárnych automatov môžeme stvárňovať  také javy ako sú: • pohyb sypkých materiálov (takých ako kopa piesku), • priepustnosť kvapalín cez pórovitý materiál, • šírenie lesných požiarov, • tvorenie sa kolón na diaľnici, • rozširovanie sociálnych sietí, • vznik chemických zlúčenín, kryštalizácia, • rast nádorov a mnohé ďalšie, • simulácia chemických reakcií (Belousov-Zhabotinskyreaction), • fundamentálne modely fyziky (vesmír na princípeCA)

36. Pokúsili sme sa ukázať na príklade celulárnych automatov, aké inšpiratívne a podnetné môže byť pre študentov vyučovanie, ktoré spája poznatky z viacerých vedných disciplín. • Formovanie didaktických kompetencií budúcich učiteľov v oblasti kontextuálneho vyučovania je potenciálom, vďaka ktorému je možné posunúť hranice poznania, a ktorý výrazne prispieva k zefektívneniu a zatraktívneniu výchovnovzdelávacieho procesu. „Priemerný učiteľ memoruje. Dobrý učiteľ vysvetľuje. Výborný učiteľ poukazuje na vzájomné súvislosti. Najlepší učiteľ inšpiruje.“ W.A.Ward

37. Vďaka za Pozornosť