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数学建模培训 —— 优化问题

数学建模培训 —— 优化问题. 上海第二工业大学 范 静. 优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。. 商品经营者制定价格使得销售利润最高. 生产计划要在满足工艺流程需求的条件下 , 降低成本使总利润最高. 运输方案的安排问题中要使运输成本最小且收益最大. 结构设计要在满足强度要求等条件下 , 使所用材料的总重量最轻. 一 简单的优化模型 二 数学规划模型 三 求解优化问题的数学软件 四 离散优化模型简介. 一 简单的优化模型. 本节考虑较简单的优化模型，将其归结为函数极值问题，可以直接用微分法求解。 存贮模型（不允许缺货）.

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数学建模培训 —— 优化问题

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  1. 数学建模培训——优化问题 上海第二工业大学 范 静

  2. 优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。 • 商品经营者制定价格使得销售利润最高 • 生产计划要在满足工艺流程需求的条件下,降低成本使总利润最高 • 运输方案的安排问题中要使运输成本最小且收益最大 • 结构设计要在满足强度要求等条件下,使所用材料的总重量最轻

  3. 一 简单的优化模型 二 数学规划模型 三 求解优化问题的数学软件 四 离散优化模型简介

  4. 一 简单的优化模型 • 本节考虑较简单的优化模型，将其归结为函数极值问题，可以直接用微分法求解。 • 存贮模型（不允许缺货）

  5. 存贮模型（不允许缺货） • 工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； • 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； • 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；

  6. 思考 • 存贮量多少合适？ • 存贮量过大，存贮费用太高； • 存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。

  7. 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一产品的产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一产品的产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 • 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 要求 建立生产周期、产量、需求量、准备费、贮存费之间的关系。

  8. 问题分析 日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。 • 每天生产一次，每次100件： 准备费5000元，无贮存费。每天费用5000元。 • 10天生产一次，每次1000件： 准备费5000元，贮存费900＋800＋…+100=4500，总计 9500元。每天费用950元。 • 50天生产一次，每次5000件： 准备费5000元，贮存费4900＋4800＋…+100=122500元， 总计127500元。每天费用2550元。 10天生产一次平均每天费用最小吗？

  9. 问题分析 • 周期短，产量小 贮存费少，准备费多 • 周期长，产量大 准备费少，贮存费多 • 这是一个优化问题，关键是建立目标函数。 • 不能用一个周期的总费用作为目标函数。 • 目标函数——每天总费用的平均值

  10. 模型假设 • 产品每天的需求量为常数 r ； • 每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2 ； • T天生产一次（周期），每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； • 时间和产量都作为连续量处理

  11. 建模目的 • 设r, c1, c2已知，求T, Q使每天总费用的平均值最小。

  12. 模型建立 • 总费用与变量的关系 • 总费用＝生产准备费＋存贮费 ＋缺货损失费 • 存贮费＝存贮单价×存贮量 • 存贮量＝？

  13. 存贮量的计算 • 设t 时刻的存贮量为q(t),t=0时生产Q件, 存贮量q(0)=Q, q(t) 以需求速率r 线性递减，直至q(T)=0： q • q(t) = Q – r t Q r • Q = rT A=QT/2 • 一个周期内存贮量 T 0 t （A的面积）

  14. 费用 • 一个周期的总费用 • 每天的费用（目标函数）

  15. 模型求解 • 求T使得 最小 • 用微分法： • 解得： • 每天的最小费用： • 经济订货批量公式（EOQ公式）。

  16. 结果解释 • 准备费c1增加，生产周期和产量变大； • 存贮费c2增加，生产周期和产量变小； • 当日需求费r 增加，生产周期变小而产量变大。 • 这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。

  17. 在本例中 • c1=5000, c2=1, r=100, • 由 得: T=10, C=1000. • 这里得到的费用C与前面计算得950元有微小差别，你能解释吗？

  18. 数学规划 二 数学规划模型 • 线性规划 • 非线性规划 • 整数规划 • 0－1规划 • 混合整数规划 • 奶制品的生产与销售

  19. 数学规划的一般模型 • min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)>=0, p=1, …, t • f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t)均是定义在En上的实函数。 • x=(x1, …, xn)T: 决策变量 • f (x): 目标函数 • hi(x), gp(x): 约束函数

  20. (MP) • min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)>=0, p=1, …, t • 若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t)均为线性函数，则问题(MP)就被称为线性规划问题。 • 线性规划问题：求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值。

  21. min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)>=0, p=1, …, t (MP) • 若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t)中至少有一个是非线性函数，问题(MP)就被称为非线性规划问题。

  22. 若要求变量 x取整数值时，则称之为整数规划； • 若变量只取0或1时，则称之为0-1规划； • 若只要求部分变量取整数值，则称之为混合整数规划。

  23. 奶制品的生产和销售 甲：12小时 3公斤A1 获利24元/公斤 1桶牛奶 • 每天有50桶牛奶供应 获利16元/公斤 4公斤A2 乙：8小时 • 每天正式工人总的劳动时间为480小时 • 设备甲每天至多能加工100公斤A1 • 设备乙的加工能力没有限制 试制订生产计划，使每天获利最大

  24. 甲：12小时 3公斤A1 获利24元/公斤 1桶牛奶 获利16元/公斤 4公斤A2 乙：8小时 • 决策变量： x1桶牛奶生产A1, x2桶牛奶生产A2 获利24×3x1 获利16×4 x2 • 目标函数： Max z=72x1+64x2 线性规划模型(LP) x1+x2<=50 • 约束条件： 12x1+8x2<=480 3x1<=100 x1,x2>=0

  25. 线性规划问题求解 • 满足约束条件的解称为可行解 • 所有可行解构成的集合称为可行域 • 满足目标式的可行解称为最优解 • 可行域的几何特征： 线性规划问题的可行域是一个凸多边形； 线性规划问题如果存在最优解，则最优解必在可行域的顶点处达到。 • 可行域的顶点称为基本可行解。

  26. 模型求解 • 单纯形算法 • 椭球算法、Karmarkar算法 • 利用计算机软件 LINDO, LINGO, MATLAB

  27. 三 软件简介 • LINDO, LINGO是美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包。 • MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境 • 其它计算机程序语言

  28. LINDO和LINGO软件能求解的优化模型 优化模型 整数规划(IP) 连续优化 LINGO LINDO 线性规划 (LP) 二次规划 (QP) 非线性规划 (NLP)

  29. Max z=72x1+64x2 max 72x1+64x2 st x1+x2<50 12x1+8x2<480 3x1<100 end x1+x2<=50 12x1+8x2<=480 LINDO 3x1<=100 x1,x2>=0 max=72*x1+64*x2; x1+x2<50; 12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; LINGO 然后点击工具条上的按钮 即可。

  30. 注意：若没有不等式： 存在，则令A=[ ]，b=[ ]. MATLAB求解线性规划问题 • 对于线性规划问题 • 可用函数x = linprog( c, A, b, Aeq，beq，xLB, xUB, x0, nEq)，其中x0为算法的初始点，可任取一个点。 若没有等式约束: , 则令Aeq=[ ], beq=[ ].

  31. Max z=72x1+64x2 改写为： min z=(-72 -64)X 编写M文件liti.m如下: f = [-72 -64]; A = [1 1; 12 8; 3 0]; b = [50; 480; 100]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[]; [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) x1+x2<=50 12x1+8x2<=480 3x1<=100 x1,x2>=0 >> liti Optimization terminated. x = 20.0000 30.0000 fval = -3.3600e+003

  32. 离散优化模型 常用技巧 • 计算复杂性分析 • 算法设计 精确算法 近似算法 • 算法计算量估计、算法优劣比较

  33. （算法1） 取出a1, a2,…, an中的最小者，令其为b1。从a1, a2,…, an中去除b1，在余下的n—1个数中选出最小者，令其为b2，…，直至得到b1, b2,…, bn。 容易看出，为了排出b1, b2,…, bn，算法工作了 次比较。 比较算法的好坏，从不同的角度出发，有各种不同的标准。在这里，我们仅就算法的计算速度作一个十分粗略的比较。 例1（整理问题）给定n个实数a1, a2,…, an，要求将它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的顺序：b1, b2,…, bn，b1≤ b2≤…≤ bn。 （算法2） 步0 b1←a1 步1 设已有b1,…,bk (1≤k<n)，将按两分法比较的方式把ak+1排入其中：若b1≤…≤bi≤ak+1≤bi+1≤…≤bk，令（b1, b2,…,bk , bk+1）←（b1,…, bi, ak+1, bi+1, …, bk）。若k+1<n，令k ← k+1，返回步1。

  34. 排出b1不必作比较，排出b2只需作一次比较，…，一般，在排ak+1时，设2r－1≤k＜2r，则只需作r次比较即可将ak+1安排在它应排的位置上。例如在排a8时，k=7，先和b4比，若a8>b4，可再和b6比（若a8<b4则和b2比），易见，只要比3次即可排入a8，由于r≤log2k+1，算法的总经较次数不超过排出b1不必作比较，排出b2只需作一次比较，…，一般，在排ak+1时，设2r－1≤k＜2r，则只需作r次比较即可将ak+1安排在它应排的位置上。例如在排a8时，k=7，先和b4比，若a8>b4，可再和b6比（若a8<b4则和b2比），易见，只要比3次即可排入a8，由于r≤log2k+1，算法的总经较次数不超过 令 ， ，设计算机每秒可作C次比较，则算法1与算法2整理a1, a2,…, an所用的时间分别为 若n=100万，C=100万次/秒，则t1≈5.8天，而t2≈20秒。可见在较大规模的整理问题时，算法2明显优于算法1。 我们来分析一下算法2的计算量：

  35. 使零件尽早完工？ • 使零件尽量在交货日期内完工？ • 使零件的完工时间和尽可能小？

  36. 1 个 设n个工件需要在同类型设备A或B上加工，问应如何安排个工件的加工顺序，使得所有工件的完工时间尽可能早？（所有工件的完工时间之和尽量小？）

  37. 方法一——采取近似算法： 优点：节省时间 缺点：不是最优解 方法二——采取精确算法： 动态规划 优点：是最优解 缺点：时间消耗很多

  38. 谢 谢 2013.04

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