一元二次方程复习课

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把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一元二次方程的定义一般形式：ax²+bx+c=0（a0）一元二次方程直接开平方法：适应于形如（x-k）² =h（h>0）型配方法：适应于任何一个一元二次方程公式法：适应于任何一个一元二次方程因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程一元二次方程的解法一元二次方程的应用

一.一元二次方程的有关概念： 1、一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程（quadricequationwithoneunknown）。一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0) 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项； ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项。

例1、下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？例1、下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？（1）（2）（a为常数）（3）（4）（5）（6）

（1） （2）（3）（4）例2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。（关于x的一元二次方程）

例3、若关于x的一元二次方程 的一个根是－1，求p的值。根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解之得 2、利用方程解的定义：

例4、关于的一元二次方程 ，若有一个根为2，求另一个根和t的值。分析：此例已知方程的一个根，利用这个根，先确定t的值，再求另一个根。

例4、关于的一元二次方程 ，若有一个根为2， = + + = 2 x 2 2 2 t 2 0 把代入方程得：解：

练习一： 1、已知一元二次方程ax2+bx+c=0,a、b、c任取2、－4、0三个数中的任一个数，分别写出这些一元二次方程. 答案：2x2-4x=0， -4x2+2x=0， 2x2-4=0， -4x2+2=0

2、写出一个一元二次方程，使它满足以下条件：2、写出一个一元二次方程，使它满足以下条件：（1）关于x的一元二次方程；（2）有一个根为1。答案不唯一，例如： x 2=1 x(x-1)=0 x 2+x-2=0

3、已知：方程x2－5x＋5=0的一个根为m，求m＋ 的值. 解：∵m是x2-5x+5=0的根　 ∴m2-5m+5=0 m2+5=5m ∵m≠0 ∴m+ =5

学习一元二次方程要强调三点： 　①未知数的个数是一个，方程是整式方程；　②未知数的最高次项的次数是二次；　③若方程有实数根，则解的个数一定是两个．

分析：根据方程的解的定义, 如果m是方程 的根就有例5、若a是方程的根，求的值。

解：因为a是方程的根， 所以所求代数式的值为－1

直接开平方法 公式法因式分解法配方法提取公因式法平方差公式完全平方公式 …… 二.一元二次方程的解法基本解法

例6、解下列方程 （1）x2=0 （2）

（2） 解：（1）x1=x2=0

注意： 第（1）题容易解得x=0这一个解；第（2）题若方程两边都除以x－6，得：x=－2，则原方程少了一个解，原因是在除以。故此种做法不可取，应避免在方程两边都除以一个代数式。

甲同学是这样做的，你看对吗？ 方程两边同除以4，得x2= 直接开平方得x=± 所以原方程的解是x1= ，x2= 练习二： 4x2=x

乙同学是这样做的，也请你“诊断”一下： 将方法两边同除以x,得4x=1 即得方程的解为x= 正确答案 x1＝ 0， x2＝甲、乙两人均错误

（1） ——直接开平方法（2） ——配方法（3） ——公式法（4） ——因式分解法例7、用指定的方法解下列方程：

（1） ——直接开平方法 解：两边开平方

（2） ——配方法 - + = 2 x 3 x 0 解： 3 2

用配方法解一元二次方程要注意两点： 　　①首先将二次项系数变为1；　　②方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解．

解：（3） ——公式法

（4） ——因式分解法 解：

运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等来分解因式。运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等来分解因式。

2、（x-2）(x-3)=12 练习三：解下列方程 x1=6，x2= - 1

例8、至少用两种方法解下列方程 解法一：（公式法）

移项得： 配方得：即两边开方：解法二：（配方法）

解法三：（因式分解法） 从这个题目我们发现：适当方法的选择也不是绝对的，它没有统一的模式和特征，不能死记硬背。

例9、选用适当方法解下列方程：

解：（1） （用直接开平方法）

（2） （用直接开平方法）解：

（3） （用因式分解法）解：

（4） （用配方法）解：

（1）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法来解（形如 的方程）。小结：通过对本例的分析及解题过程，可以得到：（2）在解方程时，应注意方程的特点，合理选择简捷的方法。（3）解一元二次方程常用因式分解法。（4）当因式分解有困难时，就用公式法。配方法一般不用。（如果把方程化为一般形式后，它的二次项系数为1，一次项系数是偶数，用配方法更好）

②∵ ≥0，∴ + ＞0 例10、我们知道：对于任何实数， ①∵x2≥0，∴x2+1＞0；模仿上述方法解答下面问题。

（1）对于任何实数x，均有： ＞0；（2）不论x为何实数，多项式的值总大于的值。求证：

（2）(3x2-5x-1) – (2x2-4x-7) = 3x2-5x-1– 2x2 + 4x+ 7 = x2-x+6 = ∵x不论为何实数，总是非负数 ∴ >0 解：（1）2x2+4x+3=2 (x+1)2+1 ∵x不论为何实数，(x+1)2总是非负数 ∴2x2+4x+3>0

2 y=3± 一元二次方程训练题 1、把方程（2x+1）（x-2）=5-3x整理成一般形式后，得，其中一次项系数为。 2、若(m+1) xm-3+5x-3=0是关于x的一元二次方程，则m＝。 3、ax2+bx+c=0 (a≠0) 的求根公式x=。 4、方程(y-3)2=2的解为，方程t (t-5)=0 的解为。 0 2x2-7=0 5 t1=0， t2=5

、 x- 5、配方： x2 -3x+ __= (x -__ )2 4x2-12x+15 = 4( )2＋6

6、若 （）（A）（B）（C）（D） B

x1＝103，x2＝-97 解关于x的方程 (1) (2) (3) 3y(y—1)＝2-2y (4) x2-6x-9991＝0

若最简二次根式 是被开方数相同的，则x的值为多少？ x2+4x=x+18 x2+3x-18=0 解之得 x1= - 6，x2=3 检验：当x= - 6时，x2+4x=12， ∵ 不是最简二次根式， ∴x= - 6 舍去解答以下各题答案：3

3、已知a、b是实数， ，解关于x的方程(a+2)x2+b2x+8=0 答案：x1= 4，x2= -2

阅读材料，解答问题 为了解方程（y²-1）² -3（y²-1）+2=0，我们将y²-1视为一个整体，解：设 y²-1=a，则（y²-1）²=a²， a² - 3a+2=0，（1） a1=1，a2=2。当a=1时，y² -1=1，y =± ，当a=2时，y²-1=2，y=± 所以y1= ，y2 =-y 3= y4= - 解答问题：1、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用了法达到了降次的目的，体现了的数学思想。 2、用上述方法解下列方程：

解：设较小的数为x，则另一个为x＋2 根据题意，得三.几个实际问题根据题意，列出方程（不必求解）引例 1、两个正数的差为2，它们的平方和为52，求这两个数。

小结：关于数的问题，要正确的把数表示出来。一般地，若大小两个数，则设小数为x；若连续奇（偶）数，则设为x，x＋2；若三个连续整数，则设为x－1，x，x＋1；若是一个三位数，则应表示为。

引例2、 某商店四月份电扇的销售量为500台，随着天气的变化，第二季度电扇的销售量为1820台，问五月份、六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少？

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