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函数(三). 例 1 已知函数 ( a > 0 且 a ≠1) 在其定义域 [ - 1, 1] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ___________. 六、幂函数、指数函数与对数函数. 【 讲解 】 由 a > 0 且 a ≠1 知 t = 3 - ax 是减函数,从而 l g (3 - ax ) 也是减函数,故只有 a > 1 时, f ( x ) 才是减函数; 另外, x [ - 1 , 1] 时 , 要保证 3 - ax > 0 ,为此只须考虑最小值:
E N D
例1 已知函数 (a >0 且a ≠1) 在其定义域 [-1, 1] 上是减函数,则实数 a的取值范围是___________. 六、幂函数、指数函数与对数函数
【讲解】由a>0且a≠1知t=3-ax是减函数,从而lg(3-ax) 也是减函数,故只有a>1时,f (x)才是减函数; 另外, x [-1 ,1] 时, 要保证 3-ax>0,为此只须考虑最小值: x=1时, tmin=3-a,要3-a>0, 则a<3,综上知1<a<3.
例2 如果不等式 x2- <0 在区间 上恒成立,那么实数a 的取值范围是___________.
【讲解】 设y=x2 ① y= ② 当a>1时,函数②在 上取负值, 因此 不可能有x2< 成立. 在 上函数①的最大值是 , 在 上,当0<a<1时,②的最小 值是 ,
在 上,x2< 恒成立 当0<a<1时,由 , 得 ∴
例3.化简 (1) (2) (3) 略解:(1)x的指数是0,所以原式=1 (2)x的指数是=0所以原式=1
例4.若 ,求 解:因为 所以f(x)+f(1-x)=1
解:令121995=a>0则 所以 ¸
例6.已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1,x∈R+)若 x1,x2∈R+,试比较 与 的大小 例7.已知y1= ,y2= 当x为何值时 (1)y1=y2(2)y1>y2(3)y1<y2
例8.对于自然数a,b,c (a≤b≤c)和实数x,y,z,w若 (1)ax=by=cz=70w (2) 求证:a+b=c
例9.已知A=6lgp+lgq,其中p,q为素数,且满足 q-p=29,求证:3<A<4 证明:由于p、q为素数,其差q-p=29为奇数,∴p=2,q=31 A=6lg2+lg31=lg(64×31)=lg1984 1000<1984<10000 故3<A<4
例10.设f(x)=logax (a>0,a≠1)且 (θ为锐角),求证:1<a<15 证明:∵θ是锐角,∴ 从而a>1又f(15)= =sinθ+cosθ 故a<15 综合得:1<a<15
例11.已知0<a<1,x2+y=0,求证: 证:因为0<a<1,所以ax>0,ay>0由平均值不等式 故
例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根,求a+b及log2a+2b例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根,求a+b及log2a+2b 解:在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象,再作直线y=x和y= -x+3,由于y=2x和y=log2x互为反函数,故它们的图象关于直线y=x对称,方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标,方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标 设y= -x+3与y=x的交点为M,则点M的横坐标为(1.5,1.5),所以a+b=2xM=3log2a+2b=2yM=3
例13已知函数 f (x)=|2x -1 -1|, a<b<c 且 f (a)>f (c)>f (b) ,则必有 (A) a<b,b<1,c<1 (B) a<1,b≥1,c>1 (C) 2-a< 2c (D) 2a+2c<4.
【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x-1,再下移1个单位得y = 2x-1-1,再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x-1-1|,图像如下图
由于在 上,f (x) 是减函数,所 以 a, b,c 不能同时在 上;同理,a,b,c 也不能同时在 上.
故必有a<1且c>1. 从而2a-1<1,2c-1>1 ∴ f (a)=1-2a-1,f (c)=2c-1-1 ∵ f (a) >f (c) ∴ 1-2a-1>2c-1-1 ∴ 2a+2c<4. 故选(D).
例14设 mR,关于x 的方程 (a>0且a≠1) 有几个实根?证明你的结论.
【解】设y=ax,则y>0,且 (y + m)(y2+my+1) = 0 ∴ y =-m ① 或y2+my+1=0 ② 令 , 则m≤-2
(1) 当m<-2 时, ① 有正实根,②有两个不等正实根. ∴ 原方程有三个实根; (2) 当m=-2 时, ① 有正实根,②有一个正实根. ∴ 原方程有两个实根; (3) 当-2<m<0 时, ① 有正实根,②无实根. ∴ 原方程有一个实根;
(4) 当m≥0 时, ① 只有负根,而②无实根或实根为负. ∴ 原方程无实根. 综上所述,知
例15.解方程 (1)x+log2(2x-31)=5 (2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0 例16.设a>0且a≠1,求证:方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内 解:设t=ax,则原方程化为:t2-2at+1=0(1) 由Δ=4a2-4>0得a2>1,即a>1 令f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0 下略
例16.解方程:lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数) 解:由[x]的定义知,[x]≤x, 故原方程可变为不等式: lg2x-lgx-2≤0即-1≤lgx≤2 当-1≤lgx<0时,[lgx]= -1,于是原方程为lg2x=1
当0≤lgx<1时,[lgx]=0,原方程为 lg2x=2, 均不符合[lgx]=0 当1≤lgx<2时,[lgx]=1,原方程为 lg2x=3,所以 当lgx=2时,x=100 所以原方程的解为
例18.当a为何值时,不等式 有且只有一解 解:易知:a>0且a≠1, 设u=x2+ax+5,原不等式可化为
(1)当0<a<1时,原不等式为 (1) 由于当u>0时, 均为单调增函数,所以它们的乘积 也是单增函数 因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1 所以(1)等价于u>4,即x2+ax+5>4 此不等式有无穷多解
(2)当a>1时,不等式化为 (2) 由f(4)=1知,(2)等价于0≤u≤4, 即0≤x2+ax+5≤4 从上式可知,只有当x2+ax+5=4有唯一解 即Δ=a2-4=0,a=2时, 不等式0≤x2+ax+5≤4有唯一解x= -1 综上所述,当a=2时原不等式有且只有一个解
例19.已知a>0且a≠1,试求使方程 有解的k的取值范围 解:原方程即 即
分别解关于 的不等式、方程得: (k≠0时) 所以 解得k< -1或0<k<1 又当k=0时,代入原式可推出a=0与已知矛盾, 故k的取值范围为(-∞,-1)U(0,1)
例20.设f(x)=min(3+ , ),其中min(p,q)表 示p、q中的较小者,求f(x)的最大值 解:易知f(x)的定义域为(0,+∞) ∵y1=3+ 在(0,+∞)上是减函数, y2=log2x在(0,+∞)上是增函数, 而当y1=y2,即 七.函数的最值与函数的值域
3+=log2x时,x=4, 故当x=4时,得f(x)的最大值是2 另解:f(x)=3+ =3- (1) f(x)=log2x(2) (1)×2+(2)消去log2x, 得3f(x)=6,f(x)=2 又f(4)=2,故f(x)的最大值为2
例21.求函数 的最小值 解:由1-3x>0得,x<0,所以函数的定义域为(-∞,0) 令3x=t,则t∈(0,1),于是 故当x= -1时,得y的最小值-2+2log23
例22已知函数f (x) 和g(x)都是奇函数,且 F(x) =a · f (x)+b · g(x)+2 ,若在 (0, +∞)上F(x)有最大值8, 则在(-∞, 0)上F(x) 有 (A) 最小值-8 (B) 最小值-4 (C) 最小值-6 (D) 最大值-8
【解】设x<0,则-x>0, 依题意F(-x)=af (-x)+bg(-x)+2≤8 ∵ f (x) 和g(x)是奇函数 ∴-af (x)-bg (x)+2≤8 ∴ a · f (x)+bg (x)≥-6 ∴ F (x)=af (x)+bg (x)+2≥-4. 故F (x)在(-∞,0)上有最小值-4. 应选(B).
例23求函数 的值域. 【讲解】 和 这两项的平方和是常数,而平方之积是二次三项式. 据这个特点可以演变出下面多种解法.
【解法1】易知定义域为 0≤x≤1, 0≤x≤1 -x2+x 的值域是 [0, ] 的值域是 [0, ] ∴ 的值域是[1, ].
∵ ≤1+x-x+1 =2 ∴ 且 时, 等号成立. 【解法2】
又由0≤x≤1知x2≤x , ∴ , ∴ 且x=1或0 时等号成立. 综合以上结果知, 的值域是 [1, ].
【解法3】设 ,t[0,1] 则 整理,得2t 2-2yt + y 2 -1=0 由于该方程有非负实根, 所以
解之,得 . 当y=1时x=1或0, 时, 故两个等号皆成立,故值域为
【解法4】 ∵ 且 ∴ 设 , 则 . ∵ ∴ ∴ ∴值域为[1, ].
例24已知函数 , 定义域为 , 且a<b,求函数的最小值.
【讲解】若把定义域扩大为 ,那么用平均值不等式知,x=b时,y 有最小值2b, 而当 时, ,于是猜想,在 上函数递减,当然在 上也是减函数.于是有下面的解法1和2.
【解法1】 ∵ 0<x≤a<b ∴ a · x-b2<0 且 x-a<0 ∴ .且 x=a时, 等号成立.故y 的最小值为 .
【解法2】 令0<x1<x2≤a<b, 则x1-x2<0 且x1 · x2<b2, f (x1)-f (x2)=(x1-x2) ∴ f (x1) > f (x2) 即 f (x) 在 上是减函数, ∴ x=a 时,y 最小且 .