LU 분해법

1. LU 분해법 환경공학과 20021453 이승관

2. LU분해법 • LU분해법 이란? • 연립 1차 방정식 을 풀 때, 행렬 A를 L과 U로 • 하삼각행렬 L • 상삼각행렬 U • L과 U의 적 LU로 분해하여, 연립 1차 방정식을 로 변형한다. 여기에서

3. LU분해법 • 위 식으로부터, 먼저 y를 구하고, 다음에 y를 이용하여 Gauss의 소거법의 후진 대입과 같은 방법으로 해서 해를 구하는 방법을 LU분해법 또는 삼각분해법이라고 한다. • LU분해법의 분해 방법 • 의 조건으로 구하는 Doolittle법 • 의 조건으로 구하는 Crout법 • 두 가지 모두 계수 행렬 A가 정칙인 것이 조건

4. Doolittle법 의 조건의 경우 A의 임의의 요소 는 A=LU로부터 일 때, 행렬 U의 제 1 행과 행렬 L의 제 1 열 일 때, 행렬 U의 제 2 행과 행렬 L의 제 2 열

5. Doolittle법 여기에서 라고 한다면 아래와 같이 표현이 가능 이것을 되풀이하고, k단에서는 행렬 U의 제 k행과 행렬 L의 제 k열이

6. Doolittle법 k가 n이 될 때까지 계산하면 된다. 단, 의 경우는 계산 불능이 되므로, 제 k열의 요소 의 내에서 Pivot을 선택하는 것이 필요 Pivot을 선택한 경우는, 그것에 따라서 행렬 L의 행의 교환이 필요 행렬 U는 교환할 필요가 없다. 는 와 동일한 기억 장소로 하여도 된다.

7. Doolittle법 Doolittle법으로부터 구한 행렬 U는, Gauss의 소거법의 전진 소거가 종료된 단계의 식과 일치 분해법의 계산 횟수는 Gauss의 소거법과 거의 동일한 약 연립 방정식을 한 번에 풀 수 있다면, Gauss의 소거법으로 충분하지만, 분해된 L, U를 여러번 이용하는 경우는 효율이 좋다. Ex) 의 근사해 을 구한 경우, L, U를 정밀도가 좋게 구하고자 하면, 효율이 좋게 하고 계산의 정밀도를 높이는 것이 가능

8. [예제 4.4] 다음의 행렬을 분해하라. 단, Pivot의 선택은 하지 않는다고 한다. 제 1 단계(k=1) : U의 제 1 행과 L의 제 1 열 제 2 단계(k=2) : U의 제 2 행과 L의 제 2 열

9. [예제 4.4] 다음의 행렬을 분해하라. 단, Pivot의 선택은 하지 않는다고 한다. 제 3 단계( ) : U의 제 3 행과 L의 제 3 열 로 LU분해