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§3.1 量纲分析与轮廓模型

§3.1 量纲分析与轮廓模型. 一 . 量与量纲. 1. 量及其度量 1 0 . 模型所涉及的主要是 量 不是 数 2 0 . 量（物理量）可以分为： 基本量：基础的，独立的量 长度、质量、时间、 … 导出量：由基本量通过自然规律导出的量 速度、加速度、力、 … 3 0 . 量的度量体系 — 单位制： 基本量及其度量单位. 4 0 . 国际单位（ SI ）制 基 本 量

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§3.1 量纲分析与轮廓模型

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  1. §3.1 量纲分析与轮廓模型

  2. 一. 量与量纲 1. 量及其度量 • 10. 模型所涉及的主要是量不是数 • 20. 量（物理量）可以分为： • 基本量：基础的，独立的量 • 长度、质量、时间、… • 导出量：由基本量通过自然规律导出的量 • 速度、加速度、力、… • 30. 量的度量体系 — 单位制： • 基本量及其度量单位

  3. 40. 国际单位（SI）制 基 本 量 名称 单位 符号 长度 L米 m 质量 M千克 kg 时间 T秒 s 电流强度I安培 A 温度 Θ开尔文 K 光强 J坎德拉 cd 物质的量 N摩尔 mol 导 出 量 名称 单 位 符 号 力 牛 顿 N（kgms-2） 能量 焦 耳 J（kgm2s-2） 功率 瓦 特 W（kgm2s-3） 频率 赫 兹 Hz（s-1） 压强 帕斯卡 Pa（kgm-1s-2）

  4. 2. 量纲： • 10. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式 • [Q]=LαM β T γ I δ Θ ε J ζ Nη • 为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。α, β, γ, δ, ε, ζ, η 称为量纲指数。 • 例. [长度]=L、[质量]=M、[时间]=T、 • [面积]=L2 [体积]=L3、 [速度]=LT-1, • [加速度]=LT-2、[力]=MLT-2, • [能量]=ML2T-2.

  5. 注 • 1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。 • 2. 对于某个物理量Q, 如果 • [Q]=Lα Mβ T γ I δ Θ ε J ζ Nη， • 有α=β=γ=δ=ε=ζ=η=0，则称之为无量纲量，记为[Q]=1 。它将不依赖于选定的基本量。 • 3. 无量纲量不一定是无单位的量。

  6. 20. 量纲齐次法则 一个规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。 例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2

  7. 二.量纲分析 量纲分析是在物理领域中建立数学 模型的方法，利用物理量的量纲提供的 信息，根据量纲齐次法则确定物理量之 间的关系。

  8. x l m 例 1 建模描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在长度 为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小 球稍稍偏离平衡位置后将在重 力的作用下做往复的周期运动。 分析小球摆动周期的规律。

  9. 假设： • 1. 忽略空气阻力； • 2. 忽略可能的磨擦力； • 3. 平面运动，忽略地球自转； • 4. 忽略摆线的质量和变形。

  10. 分析建模 • 10. 列出有关的物理量 • 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 θ. • 20. 写出量纲 • [t]=T，[l]=L，[m]=M，[g]=LT-2，[θ]=1. • 30. 写出规律 • F(t, l, m, g, θ)= 0. • 40. 写出规律中加项 π 的形式 • π=t α1 l α2 m α3 g α4 θ α5

  11. 50. 计算 π 的量纲 • [π] = Tα1Lα2Mα3( LT-2)α4 • = Tα1-2α4Lα2 + α4M α3 • 60. 应用量纲齐次原理 • 由[π] = 1, 可得关于αi (i ＝1, …, 5)的方程组 • α1 - 2α4 = 0 • α2 + α4 = 0 • α3 = 0 • 5任意

  12. 70. 解方程组 • 解空间的维数是二维。 • 对自由变量(4， 5)选取基底(1, 0)和(0, 1)。 • 关于 1, 2, 3求解方程组可得基础解系

  13. 80. 求π • 将方程的解代入加项 π的表达式，可得 • π1 = t2 l-1 g = t2 g / l ， π2 = θ . • 90. 建模 • 单摆运动的规律应为 f (π1, π2) = 0， • 解出 π1可得 • π1 = k1(π2) ，即 t2 g / l = k1(θ) ，

  14. 100.检验 • ① 周期与 质量 m • m=390g m=237g • l = 276cm 3.327s 3.350s • l = 226cm 3.058s 3.044s • ② 周期与振幅 θ (l=276cm, m=390g) • θ (0) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 • k(θ) 6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 • θ < 150时, k( θ )  2π。 k(θ) 与 θ有关。

  15. Buckingham 定理 • 物理量的函数关系 F(x1, ,xk) = 0当且仅当它可以表示为形式 f(1, , m) = 0时，它才是量纲齐次的，其中m < k, 且 • 为 xi的无量纲乘积 [i] = 1.

  16. 三. 量的比例关系与轮廓模型 • 1. 量的比例关系 • 10. 模型表达了不同量纲的量之间的转换规律. • 20. 由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。 • 30. 在同一模型中，若量 y1和 y2的量纲分别为 [y1] = X和 [y2] = X， • 则定有 y1=k y2 / 

  17. . 轮廓模型(profile models) • 直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。

  18. 模型举例 • 例 2.几何体中的长度、面积和体积 • 正立方体 • 棱长 l0=a，底面周长 l1 = 4a，底面对角线 长 对角线长 • 表面积 S1 = 6a2，底面面积 S2 = a2， 对角面面积 • 体积 V1 = a3，四棱锥体积 V2 = a3/3

  19. 结论 • 在简单的几何体中， • 相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比； • 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比； • 相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比； • Si = k1 Lj2，V i= k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。

  20. 长方体 I 有棱长 (a, b, c) • 总棱长L1=2(a+b+c), 底面周长 L2=2(a+b), • 对角线长 • 表面积 S1=2(ab+bc+ca), 底面面积 S2= ab, • 体积 V1=abc, 四棱锥体积 V2=1/3 abc.

  21. 若长方体 II 有棱长(a*, b*, c*), 且 • a*/a = b*/b = c*/c = m. • 则有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3; • S1*= m2S1, S2*= m2S2; • V1*= m3V1, V2*= m3V2. • 于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2; • Vi*/Lk*3=Vi/Lk3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2. • 即 S=k1L2, V=k2L3, V=k3S3/2.

  22. 结论 • 在相似的几何体中， • 相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比； • 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比； • 相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比； • Si = k1 Lj2，Vi = k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。

  23. 例3.生活中的长度、面积和体积。 • 10. 纽约黑鲈的体重W和体长L • W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49 • L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75 • L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592 • W/L3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088

  24. 20. 人的体重W和身高L • W(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75 • L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185 • L3(103cm3) 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332 • W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118

  25. 30蜥蜴的体长和体重 • 小蜥蜴体长15cm,体重为15g, 当它长到20cm长时体重为多少? (20g, 25g, 35g, 40g)

  26. 例4.商品的包装与成本 • 商 品 价格 含量 价格 含量 • 高露洁牙膏 15.7元/190g 5.8元/ 60g • 诗芬洗发液 35.9元/400ml 23.1元/200ml • 富丽饼干 8.8元/450g 3.0元 / 150g • 奇宝饼 5.9元/250g 4.3元 / 150g 单价 8.3元/100g 9元/100ml 1.9元/100g 2.3元/100g 单价 9.7元/100g 11.5元/100ml 2元/100g 2.87元/100g • 建模分析为什么小包装的商品比大包装的要贵一些?

  27. 假设: • 10. 不考虑利润及其他因素对商品价格的影响。 • 20.包装只计装包工时和包装材料。 • 30.不同规格的商品装包时工作效率相同。 • 40.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。.

  28. 参量与变量 • A: 每件商品中产品的成本, • W:每件商品中产品的含量, • B: 每件商品的包装成本, • B1: 装包工时投入, • B2: 包装材料成本 • S: 包装材料用量, • C(W): 总成本, • c(W): 单位商品平均成本.

  29. 模型 • C(W) = A + B1 + B2 • A = a1W, B1 = a2W, • B2 = a3S = a4w2/3. • C(W)= k1W + k2W2/3 • c(W) = k1 + k2W-1/3

  30. 应用: • 1. 价格预测 康尔乃奶粉 • 32.4元 400g; 67.1元 900g. • 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 • 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1 • 解得: k1 = 5.3791, k2 = 4.3192 • 模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3. • 预测: W=1800, C(W) = 126.49. • W=2500, C(W) = 154.36 • 检验 • 实际: W=1800, C(W)=115.9 • W=2500, C(W)=146.85

  31. 可赛矿泉水 • 1.70元 0.6升； 2.20元 1.0升 • 0.6 k1+ 0.62/3k2 = 1.7 • 1.0 k1+1.02/3 k2 = 2.2 • 解得： k1 = -1.21， k2 = 3.41 • 预测：W=1.5，C(W)= 2.65 • 检验 • 实际: W=1.5, C(W)= 3.45

  32. 分析 • 10. 不宜于预报新商品的价格(?) • 20. 成本的降低率 • r(W)=|dc/dw| = 1/3 k2W-4/3. • 是商品量的减函数. • 30. 支出的节省率 • S(W) = W r(W) = 1/3 k2W-1/3. • 也是商品量的减函数. • 购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！

  33. 例5.划艇比赛的成绩 • 问题1. 划艇按艇上桨手的人数分为单人、双人、四人和八人艇四种， • 赛程 2000m, 称划行时间为比赛成绩。 • 试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员人数的关系。

  34. 假设： • 10. 运动员体重 W 相等，每人输出功率 P 不变, • 20. 艇身相似， • 30. 艇速 v 定常，阻力 F 且与体重W 呈正比。 艇重 U 与桨手人数 n 呈正比。 F 与 Sv2 呈正比，S 为浸没面积。

  35. 参量、变量 • n: 人数， W: 体重，P: 输出功率, • U: 艇重，v: 艇速，F: 划艇受到的阻力， • S: 浸没面积, V：排水体积， • D: 比赛距离，T: 比赛成绩(时间).

  36. 模型 • 由假设可知 P=k1W, F=k2Sv2. • 由物理知识可知,桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度。因此有 n P = k4 F v， • 则 k1 n W = k4 k2 S v3， • v = k (nW/S)1/3.

  37. 由阿基米德原理可知划艇排水的体积V与载人艇的总重量呈正比, 且 U=k3n • V = k5(U+nW) = nk5(k3+W) = k6n。 • 浸没面积与排水体积之间有关系S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度的模型，可得 • v=k (nW/n2/3)1/3=kn1/9 • 最后得到比赛成绩的模型 • T=D/v=kn-1/9.

  38. 检验：划艇四次比赛的成绩 种类 成绩(划2000米时间(分)) 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215 双人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.34 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.835 根据这些数据，利用最小二乘法拟合可得 T = 7.29 n-0.104。 模型相当准确。

  39. 问题2. 如果八人艇分为重量级组和轻量级组， • 规定重量级组运动员体量为86公斤，轻量级组运动员体重为73公斤。 • 表列八人艇是重量级组的成绩, 请推断轻量级组的成绩。 • 设：轻量级组的运动员体重, 划艇浸没面积, 艇速和成绩分别为 W1, S1, v1, T1, 相应的重量级组为 W2, S2, v2, T2。

  40. 根据前面得到的艇速的模型，有 • v1=k(nW1/S1)1/3，v2=k(nW2/S2)1/3.

  41. 根据浸没面积与排水体积的模型可知，有 • 可得 (W2/W1)1/9 < (T1/T2) < (W2/W1)1/3. 由于W2/W1=86/73=1.178, • 则有1.018 < (T1/T2) < 1.056， 5.940 < T2 < 6.162

  42. 习题: • 1.调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格的关系. • 2.雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.建模描述雨速与雨滴质量的关系. • 3.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温不变.给出合理的简化假设建立动物的饲养食物量与动物的某个长短尺寸之间的关系.

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