正弦函数、余弦函数的性质 二

1. -π π -3π y 2 2 2 1 3π x 0 π 2π -π -2π 2 -1 正弦函数、余弦函数的性质二 梅河口市第六中学：孙世宇

2. 复习导入：以前我们对函数性质的研究主要在哪几个方面：复习导入：以前我们对函数性质的研究主要在哪几个方面： 函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、对称性 奇函数、偶函数的定义：若对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；若对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数． 函数的单调性：一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数；如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．

3. 4ac-b2 - b - b - b - b y 无最大值 有最小值 x= 当x< 时，是减函数 函数图像关于直线x= 对称。 当x> 时，是增函数。 2a 2a 2a 2a 4a 4ac-b2 +∞) 4a o x 引例:讨论函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的性质 x∈R． 定义域： [ 值域： , 最值： b＝0时，是偶函数． b≠0时，是非奇非偶函数． 奇偶性： 单调性： 对称性：

4. y=sinx 正弦函数的性质： 画出正弦函数y=sinx的图像 定义域： x∈R． 值域： y∈[-1,1] 当x=π/2+2kπ,k∈Z有最大值为1； 最值： 当x=-π/2+2kπ,k∈Z有最小值为-1； 奇偶性： 设f(x)=sinx．因为sin(-x)=-sinx，即f(-x)=-f(x)， 由奇函数定义知正弦函数是奇函数． 当x∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]时，是增函数；k∈Z． 单调性： 当x∈[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]时，是减函数；k∈Z． 对称性： 是对称中心；又是轴对称图形 对称中心可以是点（0，0），点（π，0），点（2π，0），……即点（kπ，0），k∈Z． 对称轴为x=π/2+kπ，k∈Z．

5. y=cosx 余弦函数的性质： 画出正弦函数y=cosx的图像 定义域： x∈R． 值域： y∈[-1,1] 当x=2kπ,k∈Z有最大值为1； 最值： 当x=π+2kπ,k∈Z有最小值为-1； 奇偶性： 设f(x)=cosx。因为cos(-x)=cosx，即f(-x)=f(x)， 由偶函数定义知余弦函数是偶函数． 当x∈[-π+2kπ,2kπ]时，是增函数；k∈Z． 单调性： 当x∈[2kπ,π+2kπ]时，是减函数；k∈Z． 对称性： 是对称中心；又是轴对称图形 对称中心可以是点（-π/2，0），点（π/2，0），点（3π/2，0），……即点（π/2+kπ，0），k∈Z． 对称轴为x=kπ，k∈Z．

6. π -π -3π y 2 2 2 1 3π x 0 π 2π -π -2π 2 -1 正弦函数、余弦函数的异同： 相同点： 它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］． 最大值都是1，最小值都是-1，它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现． 不同点： 取得最大（或最小）值的时刻不同．对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．增减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．

7. 应用示例： 例1：下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。 （1）y=cosx +1,x∈R; (2) y=-3sin2x,x∈R 解： （1）有 使函数y=cosx +1,x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx ,x∈R取得最大值的x的集合{x∣x=2kπ,k∈z} 使函数y=cosx +1,x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y=cosx ,x∈R取得最小值的x的集合{x∣x=(2k+1)π,k∈z} 函数y=cosx +1,x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0。 （2）有，另z=2x，使函数y=-3sinz,x∈R取得最大值的z的集合是 {z=-π/2+2kπ,k∈z}. 由2x=z=-π/2+2kπ得x=-π/4+kπ 因此使函数 y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是 {x∣x=-π/4+kπ,k∈z}. 同理使函数 y=-3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是{x∣x=π/4+kπ,k∈z}. 函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3，最小值是-3。

8. 例2： 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 （1）sin(-π/18)与sin(-π/10) （2）cos(-23π/5)与cos(-17π/4) 解： （1）因为 -π/2<-π/10<-π/18<0， 正弦函数y=sinx在区间[-π/2,0]上是增函数， 所以 sin(-π/18)>sin(-π/10) （2）cos(-23π/5)=cos(23π/5)=cos3π/5 cos(-17π/4)=cos(17π/4)=cosπ/4 因为0<π/4<3π/5<π,且函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数, 所以 cosπ/4>cos3π/5 即 cos(-17π/4)>cos(-23π/5)

9. 巩固练习： 1、写出使下列函数取得最大值、最小值时的自变量x的集合， 及最大值、最小值各是多少。 （1）y=2sinx，x∈R； （2）y=2 - cosx/3，x∈R。 解：（1）当x∈{x∣x=π/2+2kπ,k∈z}时，函数取得最大值2； 当x∈{x∣x=-π/2+2kπ,k∈z}时，函数取得最小值-2； （2）当x∈{x∣x=3π+6kπ,k∈z}时，函数取得最大值3； 当x∈{x∣x=6kπ,k∈z}时，函数取得最小值1； 2、选择题 下列关于函数y=4sinx，x∈[-π,π]的单调性叙述正确的是（ ） B A、在[-π,0]上是增函数，在[0,π]上是减函数 B、在[-π/2,π/2]上是增函数，在[-π,-π/2]及[π/2,π]上是减函数 C、在[0,π]上是增函数，在[-π,0]上是减函数 D、在[-π,-π/2]及[π/2,π]上是增函数，在[-π/2,π/2]上是减函数

10. 3、利用三角函数的单调性，比较下列各组两个三角函数值的大小3、利用三角函数的单调性，比较下列各组两个三角函数值的大小 （1）sin250°与sin260° （2）cos15π/8与cos14π/9 （3）cos515°与cos530°（4）sin-54π/7与sin-63π/8 课堂小节： 正弦函数、余弦函数的定义域相同,都为R.值域也相同,都是［-1，1］.最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现.也是由于y轴的位置改变,使增减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变． 课堂作业：课本P46习题第2、4题．

11. 再 见