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行列の対角優位並び換えによる反復法の収束性評価およびその指標について

行列の対角優位並び換えによる反復法の収束性評価およびその指標について. 土持秀之　九州大学大学院 藤野清次　九州大学情報基盤センター. 発表の手順. 研究の背景と目的 反復法の収束性と行列の要素の並び換え 対角優位並び換え ( Diagonal Dominant Permutation ) MC64(Duff, Koster 1999, 2001) の概要 対角優位化の指標 数値実験 まとめと今後の課題. 研究の背景と目的. 背景 行列要素の並換手法として， n/o(natural ordering), RCM

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行列の対角優位並び換えによる反復法の収束性評価およびその指標について

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  1. 行列の対角優位並び換えによる反復法の収束性評価およびその指標について行列の対角優位並び換えによる反復法の収束性評価およびその指標について 土持秀之　九州大学大学院 藤野清次　九州大学情報基盤センター

  2. 発表の手順 • 研究の背景と目的 • 反復法の収束性と行列の要素の並び換え • 対角優位並び換え(Diagonal Dominant Permutation) • MC64(Duff, Koster 1999, 2001)の概要 • 対角優位化の指標 • 数値実験 • まとめと今後の課題

  3. 研究の背景と目的 • 背景 • 行列要素の並換手法として，n/o(natural ordering),RCM (Reverse Cuthill-McKee), MD(Minimam Degree)などがある • 近年，Duff(1999, 2001)らにより対角優位を図った並び換え 　　手法が提案(MC64と呼ばれる)された • Duffらの協力により，MC64の効果を評価する機会を得る • 目的 • MC64により，どのような行列が反復法の効果があるかを見極める • さらに，行列の要素の情報だけで，静的に，効果を予測する指標についての考察を試みる

  4. 並び換え手法の例(RCMとDDP) -1.5e+19 +9.3e+18 -1.5e+19 +9.3e+18 行列MCCA(Florida) RCMオーダリング -1.0 +1.0 RCMでは並び換えのみ MC64では，対角要素が 絶対値の大きい値(+1, -1) になるように並び換える MC64 対角優位並び換え(Diagonal Dominant Permutation)と呼ぶ

  5. 対角優位並び換え手法(一般的) • すべての列において，対角要素の絶対値　　　と非対角要素の絶対値　　　の最大値との比 　　を大きくする並び換え手法 • 具体的には，元の行列Aから，並び換え行列P が生成され，右からAPのように掛ける

  6. 並び換え行列P について • いろいろな並び換え行列 • 対角要素をすべて非零要素にする並び換え行列Pの中で，最小の対角要素が最大となる並び換え行列Pmax1を選択 • 対角要素の絶対値の和を最大にする並び換え行列Pmax2を選択 • MC64の並び換え行列 • 対角要素の絶対値の積を最大にする並び換え行列Pmax3を選択

  7. MC64の概要 • 対角要素の絶対値の積を最大にする • 元の行列Aに対して，並び換え行列P の他に，行と列に対するスケーリング行列Dr,Dcが 考案され， DrA DcP と左右から掛ける

  8. 元の行列Aと変換行列の例 A = Dr = Dc = P =

  9. 変換後の対角優位性 A = Dr ADcP = ave.=0.70 ave.=1.07 の平均値 ave. =

  10. 変換後の行列の特徴 • 対角要素の絶対値がすべて1に，非対角要素の絶対値がすべて1以下になる • すべての列において，対角要素の絶対値と最大の非対角要素の絶対値との比が1以上になる

  11. 対角要素に零要素を含む行列に対するMC64の適用対角要素に零要素を含む行列に対するMC64の適用 • 前処理つき反復法では，対角要素に零要素があると反復計算が途中で終了し，解を得ることができない 対角要素に零要素がある行列の例 行列LHR01の 非零要素パターン 行列WEST2021の 非零要素パターン • MC64により，対角要素をすべて非零要素に換え，反復計算を行う

  12. 行列LHR01に対するMC64の適用 -0.60 +0.93 -1.0 +1.0 元の行列 MC64後の行列

  13. 行列WEST2021に対するMC64の適用 -35136 +1.0 +2050 -1.0 元の行列 MC64後の行列

  14. 計算機環境と反復法 • 計算機環境 • 計算機 : IBM eServer p5 モデル 595 • CPU : POWER5(1.9GHz) • 主記憶 : 2TBytes • OS : IBM AIX 5L • コンパイラ : IBM XL Fortran version 9.1 • 前処理 • ILU(0)分解：閾値不要 • ILUC(Crout ILU)分解：閾値あり • 反復法 • すべてBiCGSafe法

  15. 計算条件とテスト行列 • 計算条件 • 最大反復回数:15000回 • 収束判定条件:相対残差ベクトルr2ノルム ||rm||2/||r0||2 ≦ 10-7 • 右辺項ベクトルbは，以下のように作成 Ax=b, x=(1,2,…,n)T(n:次元数，T:行列の転置) • テスト行列の出典 • Matrix Market, Florida Matrix Collection

  16. 対角要素に零要素がある行列 • 前処理 • ILU(0)分解：閾値不要 • ILUC(tol)分解：閾値あり

  17. 対角要素に零要素がある行列に対するMC64の効果対角要素に零要素がある行列に対するMC64の効果 時間の単位はすべて秒

  18. 対角要素に零要素が無い行列に対するMC64の適用対角要素に零要素が無い行列に対するMC64の適用 • MC64を適用しても，収束性にばらつきがある 前処理はすべて ILU(0)分解

  19. 対角優位性と収束性向上の関係 • 上の関係を明らかにするため，対角要素の絶対値　　　と非対角要素の絶対値　　　の最大値との比 　　をj 列の優位率と呼ぶ • 元の行列と並び換えた後の行列に対するすべての列の優位率の平均値を計算した

  20. 優位率の検証のための行列 • 前処理 • ILU(0)分解のみ：閾値不要

  21. 優位率の検証 • 優位率の平均が増加した場合のみ収束性向上と相関がある 前処理はすべて ILU(0)分解

  22. ILUC(tol)分解のときのMC64の閾値依存性 例1 例2 • 閾値を用いるILUC(tol)分解の場合，閾値によってMC64の評価が定め難い 例3

  23. まとめと今後の課題 • 対角要素に零要素を持つ行列でも，MC64による対角優位化により，BiCGSafe法が収束するようになる • 対角優位性と収束性向上の関係を調べた すなわち，各行列の優位率を計算し，優位率が増加した場合のみ収束性が向上する • MC64と良く適合する前処理や反復法の調査

  24. 参考文献 • Duff, I. S., Koster, J., SIAM J. Matrix Anal. Appl. Vol. 20, pp. 889-901, 1999. • Duff, I. S., Koster, J., SIAM J. Matrix Anal. Appl. Vol. 22, pp. 973-996, 2001. • MC64の技術マニュアル(Ver. 1.3.0), 2005.

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