Introduction aux problèmes d'ordonnancement sans temps-morts.

1. Introduction aux problèmes d'ordonnancement sans temps-morts. Philippe Chrétienne Université Paris 6 Laboratoire LIP6

2. Motivation En ordonnancement classique, les coûts imputés aux temps d'oisiveté (encore appelés temps-morts) d'une ressource (ex: une machine) sont négligés. Cependant, lorsqu'un niveau d'énergie est nécessaire pour utiliser une ressource, interrompre le fonctionnement d'une ressource peut être très couteux. (ex : laisser un four se refroidir après une cuisson et le ramener à la température adéquate pour la cuisson suivante) Dans cet exposé, on s'intéresse aux problèmes d'ordonnancement avec ressources de type "machine" pour lesquels : chaque machine doit exécutersans temps-mortsles tâches qui lui sont allouées.

3. temps A B C 2 4 6 0 1 3 5 ordonnancement "classique" optimal (coût : 12) 2 temps-morts : [2,3] et [4,5] Un exemple : Une machine, 3 tâches A,B,C de durées unitaires et de dates de disponibilité 1, 3 et 5 un critère régulier C1 + C2 + C3 temps A B C 3 4 5 6 0 ordonnancement "sans temps morts" optimal (coût : 15)

4. Le problème d'ordonnancement à une machine sans temps-morts Notations Complexité : résultats et conjecture La date NI Problème ENI Une condition suffisante pour ENI La séquence de Jackson pour 1,NI|ri,qi|Max Ci+qi Dates critiques d'une instance Le cas de durées égales

5. Notations La contrainte "sans temps-morts" est signalée par le symbole NI (Non Idling) ajouté dans le premier champ de la notation || (ex: 1,NI|rj,prec,pj=1|∑fj) ; J=(1,2,…,n) est l'ensemble des tâches ; G=(J,A) est le graphe des contraintes de précédence ; Les dates de disponibilité ri: - sont compatibles avec G : (i,j)A  rj ≥ ri + pi - satisfont : r1 ≤ r2 ≤ … ≤ rn; La fonction coût à minimiser est du type maxJ fi(Ci) ou ∑J fi(Ci) où les fonctions fi(.) sont croissantes au sens large.

6. i1 i2 in temps 0 NI() Ordonnancement NI-optimal associé à une séquence réalisable (i.e: compatible avec G). Soit  = (i1,i2,…,in) une séquence réalisable des n tâches de J. La date de début t d'un ordonnancement NI respectant  doit satisfaire : t ≥ 0 ; k=1..n-1 : t+∑q=1..kp(iq) ≥ r(ik+1). La date de début minimale d'un ordonnancement NI respectant  est donc : NI() = Max(0, Maxk=1..n-1(r(ik+1)- ∑q=1..kp(iq)) Cet ordonnancement est NI-optimal à  fixé.

7. temps i1 ik=i ik+1=j in 0 NI() La date NI Soit 0la séquence réalisable(1,2,...,n). SoitNI=NI(0). Propriété : Pour toute séquence réalisable , on a : NI() ≥ NI(0) Preuve: Soit  = (i1,i2,…,in) une séquence réalisable telle que: ik = i, ik+1= j et j<i. j<i  rj ≤ ri  (i,j)  G ; On peut donc échanger les tâches i et j.

8. ik+1=j ik=i temps i1 in 0 NI() Soit ' la séquence réalisable (i1,..,ik-1, ik+1, ik-1,ik+2,…,in). L'ordonnancement NI ci-dessous est donc un ordonnancement NI pour la séquence '. On a doncNI() ≥ NI(') . On itère cette transformation tant que ' ≠ 0. et on obtient :NI() ≥ NI(0) . Remarque : Si la préemption est autorisée, NIest la date de début minimale de tout ordonnancement NI préemptif.

9. La plupart des versions NI des problèmes d'ordonnancement à une machine NP-difficiles sont aussi NP-difficiles. Exemples : 1,NI | rj | Lmax est NP-difficile ; 1,NI | rj |∑Cjest NP-difficile. Ce n'est cependantpas toujours vrai : Ex: le problème d'ordonnancement où la machine est utilisable sur une famille finie d'intervalles Dk : NP-difficile en version classique et polynomial en version NI. D1 D2 D3 Complexité:résultats et conjecture

10. Conjecture : Un problème d'ordonnancement à une machine polynomial en version classique est-il aussi polynomial en version NI? Pas de contre-exemple trouvé jusqu'à présent! Cependant, un algorithme pour la version classique peut être inapte à détecter (à lui seul) un ordonnancement NI-optimal . Cette remarque, illustrée par l'exemple suivant, donne l'intuition que la conjecture est fausse.

11. Supposons que A soit un algorithme résolvant le problème 1 | ri | ∑fi(Ci) Exemple Minimiser fa(Ca) + fb(Cb) + fc(Cc) Définitions: S(t,) l'ordonnancement optimal (s'il existe) respectant la séquence et commençant à la date t. S*(t) ordonnancement optimal commençant à la date t.

12. coût fa fc fb ra rb rc temps a b c 0 3 5 7 8 9 10 12 les 3 fonctions coût. Pour toute date t, A calcule S*(t) en ajustant les ri par ri := max(ri,t) . Cependant, il n'existe aucune date t pour laquelle S*(t) est un ordonnancement NI-optimal ! Remarque : pour cet exemple, NI= 3.

13. coût fc fb fa ra rb rc temps 0 3 5 7 8 9 10 12 S(3,(a,b,c)) : coût 5 S(3,(a,c,b)) : coût 4 S*(3) = S(3,(a,c,b) ordonnancement non NI de coût 4

14. coût fc fb fa ra rb rc temps 0 3 t 5 7 8 9 10 12 S(t,(a,b,c)) : coût 7t-16 S(t,(a,c,b)) : coût t+1 Pour 3 < t < 5 : S*(t) = S(t,(a,c,b)) ordonnancement non NI de coût t+1

15. coût fc fb fa ra rb rc temps 0 3 5 t 7 8 9 10 12 S(t,(a,b,c)) : coût 7t-16 S(t,(a,c,b)) : coût 7t-29 S(t,(b,a,c)) : coût 7t-15 S(t,(b,c,a)) : coût 7t-23 Pour 5 ≤ t < 7 : S*(t) = S(t,(a,c,b)) ordonnancement NI de coût 7t-29

16. coût fc fb fa ra rb rc temps 0 3 5 7 t 9 10 12 S(t,(a,b,c)) : coût 7t-16 S(t,(a,c,b)) : coût 7t-29 S(t,(b,a,c)) : coût 7t-15 S(t,(b,c,a)) : coût 7t-23 S(t,(c,b,a)) : coût 7t-36 S(t,(c,a,b)) : coût 7t-37 Pour 7 ≤ t : S*(t) = S(t,(c,a,b)) ordonnancement NI de coût 7t-37

17. coût fc fb fa ra rb rc temps 0 3 5 7 8 9 10 12 ordo NI associé à (a,b,c)) : coût 5 S*(t) est un ordonnancement NI uniquement pour t≥5. Pour 5≤t<7, le coût de S*(t) est 7t-29. Pour 7≤t, le coût de S*(t) est 7t-37. Le meilleur ordonnancement NIque peut trouver A correspond à la date t=5 et son coût est égal à 6. L'ordo NI associé à la séquence (a,b,c) est de coût 5 !

18. Problème ENI • Motivation: • NI est la date minimale à laquelle peut commencer un ordonnancement NI. • Dans le cas général : • seules certaines séquences induisent un ordonnancement • NI commençant à la date NI ; • la séquence * induisant un ordonnancement NI optimal • satisfait NI(*) > NI . • On s'intéresse ici aux problèmes tels que NI(*) = NI . Définition: Un problème possède la propriété «ENI» si toute instance possèdeun ordonnancement NI-optimal qui commence à la date NI.

19. Définition : Un ordonnancement est dit "sans attente" si à tout instant d'une période d'inactivité de la machine, aucune tâche n'est exécutable. r1 r2 r3 Un ordonnancement sans attente. 1 2 3 r1 r2 r3 Un ordonnancement avec attente. 2 1 3 Proposition : Si les ordonnancements sans attente sont dominants, alors la propriété ENI est satisfaite.

20. Schéma de la preuve : Soit I(NI) la variante de l'instance I où les dates de disponibilité de I sont modifiées comme suit : rj(NI) = max{rj,lj+ NI} où lj est la durée d'un plus long chemin de G d'extrémité j. Lemme : Les ordonnancements de I(NI) sont les ordonnancements de I dont la date de début est supérieure ou égale à NI. Soit S un ordonnancement optimal sans attente de I(NI) et supposons que S possède un temps-mort [t,u]. S est sans attente et au moins le job 1 est disponible à la date NI. Donc S commence à la date NI.

21. 1 2 k k+1 n 0 0 NI NI t t u u S Î ordo NI-optimal associé à (1,2,..,n) Considérons l'ordonnancement NI-optimal associé à la séquence (1,2,...,n) et supposons que k soit le plus petit indice tel que p1+p2+ …+pk > t. SoitÎl'ensemble des tâches exécutées par S dans [NI,t]. Il existe au moins une tâche i de {1,2,...,k} qui n'appartient pas à Î. Contradiction car la tâche i est disponible à t et l'ordonnancement S est sans attente. S est donc un ordonnancement sans temps-morts.QED.

22. Proposition : Si la préemption est autorisée, alors la propriété ENI est satisfaite. Schéma de la preuve : On montre que les ordonnancements sans attente sont dominants. Soit S un ordonnancement optimal et supposons que S possède une période d'attente. Soit [u(S),v(S)] la première période d'attente de S. Il existe une tache idisponible et non terminée à la date u(S). soit i la durée résiduelle de la tâche i à la date u(S).

23. ….. ri u(S) v(S) ordonnancement S1 ….. ri S1 optimal et u(S1) > u(S) Supposons que : i ≤ v(S) - u(S) ordonnancement S

24. ordonnancement S ….. ri u(S) v(S) ordonnancement S2 ….. u(S2) ri S2 optimal et u(S2) > u(S) Supposons que : i > v(S) - u(S)

25. En itérant la transformation SS1ou SS2un nombrefini de fois, on obtient un ordonnancement optimal qui est sans attente. Les ordonnancements sans attente sont donc dominants et la propriété ENI est satisfaite.QED. Conséquence: les problèmes suivants : 1,NI | rj,prec,pmtn | fmax , 1,NI | rj,pmtn | ∑Cj , 1,NI | rj,di,pmtn | - sont polynomiaux. Pour résoudre chacun de ces problèmes, on applique l'algorithme polynomial de la version classique à l'instance I(NI).

26. Dates critiques d'une instance Soit  = (i1,i2,…,in) une séquence des n tâches. Rappels : NI() est la date de début de l'ordonnancement NI-optimal pour la séquence . NI = NI((1,2,...,n)) est la date de début minimale d'un ordonnancement NI. Définition : Pour t ≥NI, on note ∑(t) l'ensemble des séquences  telles qu'il existe un ordonnancement NI de séquence commençant à t. On a donc : ∑(t) = { | NI() ≤ t }.

27. Définition : Les dates critiques d'une instance sont les valeurs distinctes de type : rj - PK où jJ et KJ-{j}. Soit C=(c1,c2,…..,cN) la liste triée des dates critiques. Proposition : ∑(t) est invariant sur chaque intervalle [ck,ck+1[. Pour ck ≥ NI,notons SNI(ck) le meilleur ordonnancement NI commençant à la date ck. Proposition : Le meilleur ordonnancement SNI(ck), k{1..N} est un ordonnancement NI-optimal.

28. Problèmes à durées égales On suppose que les n tâches ont la même durée p. Le nombre N de dates critiques est alors polynomial : N = O(n2) ; la liste triée C est calculable en O(n2log n). 2 cas particuliers polynomiaux : tâches indépendantes; fonction objectif fmax.

29. n 1 2 j tâches fj(ck+kq) Ik1 Ik2 Ikq Ikn intervalles Calcul de SNI(ck) pour le cas 1. Proposition : Si les tâches sont indépendantes, déterminerSNI(ck) revient à résoudre un problème d'affectation (∑fj(Cj)) ou de bottleneck (fmax). Schéma de la preuve (pour ∑fj(Cj)): Si la tâche j est exécutable dans l'intervalle Ikq=[ck+(q-1)p, ck+qp], arc (j,Ikq) de coût fj(ck+kq). La solution (si elle existe) est une affectation de coût minimum.

30. temps j 0 ck Ikn Calcul de SNI(ck) pour le cas 2. Si les tâches sont dépendantes et pour le critère fmax, on utilise l'algorithme de Lawler : 1. Exécuter dans le dernier slot Ikn la tâche sans successeurs j de coût de terminaison minimum. 2. Exécuter récursivement l'algorithme sur le sous-problème privé de la tâche j.

31. Proposition : A partir du schéma de résolution précédent, on obtient par exemple que les problèmes suivants : 1,NI | rj,pj=p| ∑wjCj ; 1,NI | rj,pj=p| ∑wjUj; 1,NI | rj,pj=p| ∑Tj sont polynomiaux.

32. La séquence de Jackson pour 1,NI|ri,qi|Cmax Définition (rappel) : qi est le "délai de livraison" de la tâche i; Il faut trouver un ordonnancement NI minimisant la plus grande date de livraison Max (Ci+qi). Complexité : 1,NI|ri,qi|Cmax est NP-complet au sens fort. Séquence de Jackson pour 1|ri,qi|Cmax(rappel) : Séquence obtenue en exécutant, dès qu'il existe au moins une tâche prête, celle de plus grand qi.

33. Propriété de la séquence de Jackson pour 1|ri,qi|Cmax (Carlier 1984) : Soit CJ est le coût de l'ordonnancement de Jackson; Soit C* le coût d'un ordonnancement optimal. Alors on a : CJ - C* ≤ pmax Propriété Soit CNIJ est le coût de l'ordonnancement NI associé à la séquence de Jackson de l'instanceI(NI); Soit CNI* le coût d'un ordonnancement NI-optimal. Alors on a : CNIJ - CNI* ≤ pmax

34. Schéma de la preuve : Soit Jla séquence de Jackson de l'instance I(NI). On a NI(J) = NI (règle de Jackson et NI((1,2,..,n))= NI) ; Soit C*(I(NI)) le coût de l'ordonnancement optimal de l'instance I(NI) ; En appliquant (Carlier 84) à l'instance I(NI), on a : CNIJ - C*(I(NI)) ≤ pmax ; Comme tous les ordonnancements NI sont des ordonnancements de I(NI), on a : C*(I(NI)) ≤ CNI* QED.

35. Ordonnancement sans temps morts sur machines identiques Contrainte (rappel) : Les tâches allouées à chaque machine doivent être exécutées sans temps-mort. Le problème à séquences fixées ; Extension des algorithmes - de Hu pour Pm,NI|pi=1,intree|Cmax ; - de Coffmann/Graham pour P2,NI|pi=1,prec|Cmax ; Complexité de Pm,NI|pi=1,prec|Cmax ; Problèmes ouverts

36. pi i j -pi Le problème à séquences fixées Définition : n tâches (tâche i de durée pi); graphe de précédence G ; m machines identiques : M1, M2, ..., Mm ; La séquence L(k) = (j1k, j2k,...,jn(k)k) des tâches exécutées par la machine Mk est fixée. 5. Minimiser Cmax. Définition (graphe potentiels tâches): Soit GT le graphe obtenu à partir de G comme suit : si les tâches i et j sont consécutives dans une liste L(k) ajouter les arcs suivants :

37. Propriété(existence d'une solution): Le problème possède une solution si et seulement si le graphe valué GT ne possède pas de circuit strictement positif. Remarque : Une solution (s'il en existe) est entièrement déterminée par les dates de début tk des premières tâches des listes L(k). Notons : Pk(r), r=1,2,..,n(k), la somme des durées des r premières tâches de L(k) ; π(i), i=1,2,...,n, le rang de la tâche i dans sa liste.

38. Propriété : Soit (i,j) une contrainte de précédence de G. La tâche i occupe la position q dans L(k) ; La tâche j occupe la position r dans L(l) ; Toute solution doit alors vérifier : tl + Pl(r-1) ≥ tk + Pk(q) • Définition (graphe potentiels machines) : • Soit GM le graphe valué défini par : • les sommets sont les machines ; • il existe un arc (Mk,Ml) si G possède au moinsun arc (i,j) • tel que: • - i est une tâche de L(k) • - j est une tâche de L(l). • La valuation de l'arc (Mk,Ml) est alors : • Max(i,j)G, j L(l),i L(k)(Pl(π(j)-1) - Pk(π(i)))

39. 1 2 4 3 7 5 6 1 3 5 7 8 10 12 2 4 6 9 11 9 8 12 10 11 Propriété (existence d'une solution) : Le problème possède une solution si et seulement si le graphe valué GM ne possède pas de circuit strictement positif. Exemple: une instance à 2 machines et durées unitaires. L(1)=(1,3,5,7,8,10,12) et L(2)=(2,4,6,9,11) sont les listes d'un ordonnancement optimal de l'instance relaxée de la contrainte NI. (algo. de Coffman/Graham)

40. 1 2 4 3 7 5 6 9 8 12 10 11 L(1)=(1,3,5,7,8,10,12) L(2)=(2,4,6,9,11) max(0,1,0,1,1)=1 max(0,0,1,1)=1 M1 M1 M2 M2 max(-1,-1,-2)=-1 max(0,-1,-1,-2)=0 1 4 7 5 8 10 12 2 3 6 9 11 1 2 4 3 7 5 6 9 8 12 10 11 L'(1)=(1,4,7,5,8,10,12) L'(2)=(2,3,6,9,11) pas de solution NI

41. Extension d'algorithmes classiques 1. Le problème Pm,NI|pi=1,intree|Cmax Résolu par l'algorithme de Hu en version relaxée de la contrainte NI. Propriété : Si, dans l'algorithme de Hu, on alloue les tâches exécutables de chaque slot aux machines dans l'ordre (M1,M2,...,Mm), on obtient un ordonnancement NI-optimal. Preuve : ordo de liste + intree  le nombre de tâches exécutées dans le slot t+1 est inférieur ou égal au nombre de tâches exécutées dans le slot t.

42. 1 2 4 3 5 6 7 ordonnancement NI-optimal 8 1 4 6 8 2 5 7 3

43. a b 2. Le problème P2,NI|pi=1,prec|Cmax Résolu par l'algorithme de Coffman/Graham en version relaxée. • Propriété (dominance) • Il existe un ordonnancement NI-optimal dont la structure est • la suivante où : • les tâches bleues sont les ascendants de a dans G ; • les tâches vertes sont les descendants de b dans G ; • l'ordonnancement de C/G du sous-problème classique • associé aux tâches rouges n'a pas de temps mort. Remarque : Chacun des 3 ensembles de tâches (bleu, rouge, vert) peut éventuellement être vide.

44. Preuve : Considérons un ordonnancement NI n'ayant pas la structure "emboîtée". 2 cas possibles :

45. xq x1 a b Considérons un ordonnancement NI-optimal O1 de structure "emboîtée". Supposons l'ensemble B des tâches bleues non vide. O1 Si B={a}, ASC(a,G) = {a} et la propriété est vérifiée. Sinon, soit x1,x2,..,xq les tâches bleue qui précèdent a sur M1; x1 est un prédécesseur de a car sinon l'ordonnancement NI O2 suivant est strictement meilleur que O1. xq x2 a b O2 x1

46. xq xp+1 xp x1 a b Supposons que x1,x2,...,xp (1≤p<q) soient des ascendants de a dans G. O1 Si xp+1 ASC(a,G) alors l'ordonnancement O3 suivant est strictement meilleur que O1. O3 xq xp x1 a b xp+1 L'ensemble des tâches bleues est donc égal à ASC(a,G) Un raisonnement identique montre que l'ensemble des tâches vertes est égal à DESC(b,G). QED

47. Algorithme de résolution de P2,NI|pi=1,prec|Cmax. Pour toute paire de tâches {a,b} telles que : a n'est pas un descendant de b ; n(a,b) = n-Card(ASC(a,G))-Card(DESC(b,G)) est pair Faire : O(a,b) = ordonnancement de C/G associé au sous-problème {1,2,...,n}\(ASC(a,G) DESC(b,G)) ; Si makespan(O(a,b)) = n(a,b)/2 alors v(a,b)=n(a,b)/2+ Card(ASC(a,G))-Card(DESC(b,G)) sinon v(a,b) = + FinPour ; Retourner l'ordonnancement O(a,b) de v(a,b) minimum Complexité : O(n4).

48. 2. Le problème P2,NI|pi=1,ri,di|- Résolu en version relaxée par l'algorithme glouton MD : "Dès qu'une machine est libre, ordonnancer une tâche prête de deadline minimum". Propriété (dominance) : Les ordonnancements NI tels que les dates de début a1 sur M1 et a2 sur M2 sont du type rj-k (j{1,..,n},0≤k≤n) sont dominants. Preuve : Si la séquence 1 (resp. 2) est exécutée par M1 (resp. M2) alors l'ordonnancement des tâches de M1 (resp. M2) peut commencer à NI(1) (resp. NI(1)) Variante de MD : TMD(a1,a2,n1,n2) où : a1 et a2 sont du type rj-k (j{1,..,n},0≤k≤n) ; n1 + n2 = n

49. M2 temps M1 a1 a2 0 a2+n2 a1+n1 On note : a = Min(a1,a2), b = Max(a1+n1,a2+n2), k(t) ({0,1,2}) le nombre de cellules bleues du slot t. Algorithme TMD(a1,a2,n1,n2) : t := a ; R := READY(t) ; Tantque (t < b) et (k(t) ≤ Card R) faire début Ordonnancer à t les k(t) tâches de R de deadline min ; t := t + 1; Mettre à jour (R,t) fin ; FinTantque ; Si t=b alors Retourner(vrai) sinon Retourner(faux)

50. Propriété (dominance) : • Il existe un ordonnancement NI tel que : • M1 est active sur [a1,a1+n1] ; • M2 est active sur [a2,a2+n2] ; • si et seulement si TMD(a1,a2,n1,n2) répond "vrai". Algorithme pour P2,NI|pi=1,ri,di|- : (Réponse = oui) si et seulement si il existe (a1,a2,n1,n2) tel que TMD(a1,a2,n1,n2) répond "vrai". Complexité : O(n6) car O(n5) valeurs possibles de(a1,a2,n1,n2) ;