1 / 30

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση. Διγαλάκης Βασίλης. Η έννοια της συσχέτισης. Για 2 τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ : Συσχέτιση: Ε{Χ Υ} Συμμεταβλητότητα : Συντελεστής συσχέτισης:. Παράδειγμα 1. Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Υ= a Χ+ b κ αι Ε{Χ}=μ Χ , Ε{(Χ-μ Χ ) 2 }= σ Χ 2

zinna
Download Presentation

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Πιθανότητες & Τυχαία ΣήματαΣυσχέτιση Διγαλάκης Βασίλης

  2. Η έννοια της συσχέτισης • Για 2 τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ: • Συσχέτιση: Ε{Χ Υ} • Συμμεταβλητότητα: • Συντελεστής συσχέτισης:

  3. Παράδειγμα 1 • Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Υ=aΧ+b και Ε{Χ}=μΧ, Ε{(Χ-μΧ)2}=σΧ2 Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. • Λύση:

  4. Παράδειγμα 2 • Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Χ~Ν(0, σΧ2) και Υ=Χ2 Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. • Λύση: • Γραμμικά Ανεξάρτητες.

  5. Παράδειγμα 3 • Έστω Χ,Ζανεξάρτητες κανονικές Τ.Μ. καιΥ=αΧ+b+Ζ Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. • Λύση:

  6. Τυχαία Διανύσματα • Ορισμός: Η συλλογή των Τ.Μ. ορίζει ένα Τυχαίο Διάνυσμα (Τ.Δ.), που παίρνει τιμές σε ένα m-διάστατο χώρο Rm.

  7. Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. • Οι στατιστικές ιδιότητες του Τ.Δ. καθορίζονται από την από κοινού συνάρτηση κατανομής • Από κοινού Σ.Π.Π.:

  8. Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. • Οριακές Σ.Π.Π.: • (M-1)ης τάξης: • (M-2)ης τάξης: • 1ης τάξης

  9. Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. • Υπό συνθήκη Σ.Π.Π. των Χ1, Χ2, Χ3 | Χ4:

  10. Αναμενόμενες τιμές

  11. Διανυσματικός συμβολισμός • Ορίσαμε το Τ.Δ. Χ ως ένα διάνυσμα m x 1 XT = (X1, X2, . . . , Xm) • Οι τιμές του Τ.Δ. μπορούν να οριστούν ως σημεία στον m-διάστατο χώρο Rm: χT = (χ1, χ2, . . . , χm)

  12. Μέση τιμή ενός Τ.Δ. • Ορισμός: Μέση (αναμενόμενη) τιμή του Τ.Δ. Χ ορίζεται ως το (m x 1) διάνυσμα

  13. Πίνακας Συνδιακύμανσης ενός Τ.Δ. • Ορισμός:

  14. Ανεξάρτητες/Ασυσχέτιστες συνιστώσες Τ.Δ. • Αν x1, x2,…,xMείναι ασυσχέτιστες θα έχουν διαγώνιο πίνακα συνδιακύμανσης: • Αν x1, x2,…,xMείναι ανεξάρτητες  ασυσχέτιστες  διαγώνιος πίνακας συνδιακύμανσης.

  15. Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή • Ένα Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική κατανομή εαν έχει Σ.Π.Π. της μορφής: • Αν οι συνιστώσες του διανύσματος είναι ανεξάρτητες:

  16. Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή • Ο εκθέτης της Σ.Π.Π. γίνεται: • Η Σ.Π.Π. γίνεται:

  17. Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής • Αν το Τ.Δ. Χ μπορεί να χωριστεί: • Όπου • Τότε:

  18. Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής • Αν ο πίνακας συνδιακύμανσηςΣΧ είναι διαγώνιος και Χ ακολουθεί κανονική κατανομή  οι συνιστώσες του Τ.Δ. Χ είναι ανεξάρτητες : • Για κανονικές κατανομές (μόνο): • Κανονικές Ασυσχέτιστες ΤΜ ↔ Κανονικές Ανεξάρτητες ΤΜ

  19. Γραμμικές συναρτήσεις Τ.Δ. • Θεωρείστε το Τ.Δ. Υ=aΧ+b. Υπολογίστε μέση τιμή και πίνακα συνδιακύμανσης του Υ.

  20. Παράδειγμα 1 • Έστω Χ ακολουθεί τετραδιάστατη κανονική κατανομή με και Χ1 = (x1 x2)Τ, Χ2 = (x3 x4)Τ. • Υπολογίστε την κατανομή του Χ1 • Αντίστοιχα:

  21. Παράδειγμα 1 2) Υπολογίστε την κατανομή του Y=AX=κανονική κατανομή με

  22. Παράδειγμα 1 3) Υπολογίστε την κατανομή τουX1=(x1,x2) δεδομένου του Χ2=(x3,x4) X1|X2ακολουθεί κανονική κατανομή με

  23. Συναρτήσεις Τυχαίας Μεταβλητής • Y=g(X) • Οι συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας ορίζονται με βάση ισοδύναμα ενδεχόμενα • Συνεχείς ΤΜ: • Εστω οι K ρίζες της εξίσωσης y=g(x), x(1),x(2),…,x(K). Η ΣΠΠ της ΤΜ Y δίδεται από

  24. Παράδειγμα • Εστω ότι η ΤΜ X ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή. Δώστε την ΣΠΠ της ΤΜ Y=|Χ|.

  25. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών • Δίδεται η από κοινού Σ.Π.Π. των X1, X2: fx1 x2(x1, x2)και οι μετασχηματισμένες Τ.Μ. Y1, Y2 Y1 = g1(X1,X2) Y2 = g2(X1,X2) • Η από κοινού Σ.Π.Π. των Y1, Y2 υπολογίζεται, αντίστοιχα με τη συνάρτηση μιας Τ.Μ., από τις ρίζες του συστήματος εξισώσεων και την Ιακωβιανή (Jacobian) του μετασχηματισμού:

  26. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών • Η από κοινού Σ.Π.Π. των Y1, Y2είναι: • Ιακωβιανή:

  27. Παράδειγμα • Παράδειγμα: δύο αντιστάσεις Χ1, Χ2είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα μεταξύ 9 και 11 ohms. Βρείτε την Σ.Π.Π. της Τ.Μ. Υ2 που αντιπροσωπεύει τον παράλληλο συνδυασμό των Χ1, Χ2.

  28. Γραμμικός μετασχηματισμός • Θεωρείστε το γραμμικό μετασχηματισμόY = A X + Bή • Υποθέτοντας οτι ο Α είναι nonsingular, έχουμε:

  29. Παράδειγμα: Άθροισμα δύο Τ.Μ. • Παράδειγμα: Έστω Y1 = X1 + X2, όπου X1, X2ανεξάρτητες Τ.Μ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. της Y1 συναρτήσει των Σ.Π.Π. των X1, X2 • Παράδειγμα: X1, X2είναι ανεξάρτητες Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένες στο [-1,1]. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του αθροίσματος τους.

  30. Γραμμικός μετασχηματισμός πολυδιάστατης κανονικής κατανομής • Το Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική κατανομή με Ε{Χ} = 0 και πίνακα συνδιακύμανσηςΣΧ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του Τ.Δ. Υ = ΑΧ, όπου Αείναι αντιστρέψιμος.

More Related