考前 30 天点击考点，激活数学思维的十个策略扬大附中何继刚

考前30天点击考点，激活数学思维的十个策略扬大附中 何继刚

一、2010年江苏卷给我们的启示 2010年江苏卷出现了如下几个特点：

（1）在基础中考能力 今年的江苏卷不再单纯地考查基础知识，而是以基础知识为载体考能力、考数学思想方法. “填空题”是以基础考能力的主要题型，并且由于考生能力素质相差悬殊, 造成繁解与巧解、快与慢的巨大差异，使 “填空”的区分度越来越大， “填空”成为考生夺取“高分”的关键.

（2）在综合中考能力 今年的江苏卷填空题也体现出了综合性, 如填空题13题、14题，在解答题中，第 20 题考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.

（3）在应用中考能力 今年高考题17题注意考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用题, 立意考查大众数学. 在应用题中主要考查阅读能力、应用能力和探究能力. （4）在研究性课题中考能力高考命题逐年加大考新型题的力度，稳中求新, 稳中求改, 江苏卷18题以解析几何为素材考查了探究能力. 所以我们要加强探究方法的学习.

《考试说明》是高考的纲领性文件,它对高考考什么、考多难、怎么考这三个问题进行了明确的界定和解说. 因此，复习过程中要注意以下几点：

（1） 要把握好教学内容的广度，减少无用功. 务必做到到位不越位。　　（2）高考《考试说明》中明确了“三基五能两意识”七个字,即基础知识、基本技能、基本思想方法；空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算能力、数据处理能力；应用意识、创新意识. 在复习过程中, 要认真加以落实.

（3）高考答卷中反映出的最大问题就是考生对基础知识的理解不深刻、掌握不牢固、运用不灵活，尤其是当一个概念以变式出现或与其他内容综合在一起时，就会出现各种各样的错误，实践证明，在复习中，谁只钻难题，谁就在整垮自己！扎实的基础是指：基础知识要熟悉；基本技能要熟练；基本思想要领会；基本方法要掌握．

（4）复习要紧扣考试说明, 新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查, 难度不大. 对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新. 高考淡化了特殊的技巧, 全面考查通性通法, 体现了以知识为载体, 以方法为依托, 以能力考查为目的的命题要求.

（5）最后要回归课本，对教材出现的例题或习题进行适当的改造、重组形成考题是高考命题的一个特点. 我们应该从题海中解脱出来, 要在平时复习过程中多翻阅课本, 不能死抱高考题, 尤其是高考综合题, 要注意对课本重要例习题的加工、改造, 重视学会举一反三, 真正做到求真务实、抓纲务本.

（6）夯实基础，构建知识网络.复习中首先要扎扎实实打好基础,并在此基础上, 注意各部分知识在各自发展过程中的纵向联系, 以及各部分知识之间的横向联系, 理清脉络, 抓住主干知识, 构建知识网络. 做到纵向成一线 ( 以知识为主线) , 横向成一片 (各数学分支知识形成网络 ), 纵横成一体( 相互渗透形成有机的整体 ). 而每章之内要整理出知识的难点、重点、疑点, 做到心中有数, 有的放矢, 充分利用图像、表格, 构建知识网络, 使之变成清楚的几条线, 而不是模糊的一大片。

策略一 回归课标与课本，激活数学思维的源头

例5 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊（图1），试回答下列问题：（1）证明铁棒长：（2）当时，作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；（3）由（2）中图象求的最小值（用计算器或计算机）；（4）解释（3）中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

改编题1 如图2所示，一条直角走廊宽为 （1）若位于水平地面上的一根铁棒卡在此直角走廊内，且，试求铁棒的长l；（2）若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度.

解（1）过点E，F分别作对边的垂线，可得 其中设，则其中，故有

（2）问题即要求上述函数的最小值. 方法1 下面利用函数单调性定义证明在上是单调递减函数. 设，则且有即因此函数

在上是单调递减函数. 故当时，函数有最小值，即铁棒能被直角走廊卡住的最小值为若铁棒长不大于则铁棒能在直角走廊拐弯；若铁棒长大于铁棒不能在这个直角走廊拐弯. 故l的最小值是铁棒能在这个直角走廊拐弯的铁棒中的最长者，即铁棒能在直角走廊拐弯的最大值为

方法2 利用复合函数的单调性. 当时，为增函数且故上为减函数，所以当时，l取最小值以下同方法1.

方法3 利用方程有解条件来进行求解. 由这一关于t方程必定在内有解. 令从而必有，即且当故l的最小值是

方法4 利用际导数来研究函数的单调性. 由上面的解法得上是单调减函数，当故l的最小值是

改编题2 如图3所示，一条直角走廊宽为 一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为（1）若平板车卡在直角走廊内，且试求平板车的长l. （2）平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少m.

解（1）延长CD与直角走廊的边相交于点E，F，如图3. 则有其中又故其是

（2）设其中 则其中故有以下求解同改编题1，得平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过

策略二 回归“四基”，激活数学思维的基础

数学依托教材紧扣标准，重视基础知识、基本技能、基本数学活动经验、基本数学思想的考查.

当前教学存在的问题：忽视教材、轻视基础.而课本知识是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性.突出课本中数学思想方法的挖掘和应用，重视课本例习题潜在功能的挖掘与利用。对课本典型问题进行引伸、推广，发挥其应有作用，这是我们在今后的教学中需要特别重视的。当前教学存在的问题：忽视教材、轻视基础.而课本知识是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性.突出课本中数学思想方法的挖掘和应用，重视课本例习题潜在功能的挖掘与利用。对课本典型问题进行引伸、推广，发挥其应有作用，这是我们在今后的教学中需要特别重视的。从近年来高考试题分析可以看出,有相当一部分试题取材于课本,考查对课本中基本概念、公式、定理的多角度、多层次地理解与灵活地应用. 例辽宁例如理第8题、第13题、第14题和文科第15题；安徽理科的9、17、18、19题；江苏17题；辽宁8题、13题、14题等，都可以在教材中找到影子．

(2009年宁夏海南卷16) 等差数列{an}前n项和为Sn.已知则m=__. 本题考查的核心是对等差数列的理解，等差数列的定义是：am+1=am+d (n为大于0的自然数，d是公差)，学生应理解，am比前一项多d(n大于1)，比后一项少d，因此，am是am1和am+1的等差中项，即am1+am+1可以用2am代替，这是个“对称”性质，可以延续，即am也是a1和a2m1的等差中项，让学生把这种理解变成他们的“直观”,不是当作需要记住的“方法”或“技巧”,遇到类似的问题，就可以正确解答．

现在数学教学中，不重视概念的教学，这一点需要引起关注．如何搞好概念教学？重要概念是否能一步到位？需要我们思考．现在数学教学中，不重视概念的教学，这一点需要引起关注．如何搞好概念教学？重要概念是否能一步到位？需要我们思考． (2010年山东卷理9)设{an}(n∈N*)是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列{an}是递增数列的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解：设等比数列的公比为q，若a1＜a2＜a3，则a1<a1q<a1q2，

答案：选C． 数列基本属性的认识，什么情况下数列递增，不用死记，只会分析．

(2010年安徽卷理9)动点A(x，y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是， 则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是 A、[0，1] B、[1，7] C、[7，12] D、[0，1]和[7，12] 解法1

函数的单调递增区间满足： 单调递增区间是[0，1]和[7，12]．

(2010年上海卷理13)直线x=2与双曲线的渐近线交于E1、E2两点，记任取双曲线C上的点P，若则a、b满足的一个等式(2010年上海卷理13)直线x=2与双曲线的渐近线交于E1、E2两点，记任取双曲线C上的点P，若则a、b满足的一个等式是_______________．

分析：渐近线方程P(x，y) 即A(2a，a)，同理A(2b，b). BP//OA，AP//OB，得 P在双曲线上，得(a+b)2(ab)2=1 ⟺ 4ab=1. 评述：把向量概念、向量加法、相似性、坐标方法、双曲线的基本性质融合，没有任何复杂的知识和特殊的技巧，深层次考查基础知识和基本方法．

(2010年浙江理16)已知平面向量α，β (α≠0，β≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β－α的夹角为120°,则|α|的取值范围是_____.

(2010年辽宁理10)已知点P在曲线 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A) (B) (C) (D)

策略三 回归数学本质，激活数学思维的切换的路径

优化数学思维方式，强化揭示数学本质的意识例1 (上海市2004年高考题)教材中“坐标平面上的直线 ” 与 “圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是. （答案：用代数的方法研究图形的几何性质）说明本题让学生谈学习体验的试题, 它考察学生对解析几何本质的理解.

例2 函数的图像与直线 的交点个数是个. （答案: 0或1）说明本题主要考察学生对函数本质的理解

考前 30 天点击考点， 激活数学思维的十个策略 扬大附中 何继刚