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第九章 格与布尔代数. 9.1 格 9.2 布尔代数 9.3 子布尔代数、积布尔代数 和布尔代数同态 9.4 布尔代数的原子表示 9.5 布尔代数 B r 2 9.6 布尔表达式及其范式定理. 退出. 9.1 格. 1 ．格作为偏序集
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第九章 格与布尔代数 • 9.1 格 • 9.2 布尔代数 • 9.3 子布尔代数、积布尔代数 • 和布尔代数同态 • 9.4 布尔代数的原子表示 • 9.5 布尔代数Br2 • 9.6 布尔表达式及其范式定理 退出
9.1 格 • 1．格作为偏序集 • 定义9.1.1设<L,≤>是一个偏序集，若对任意a,b,L，存在glb{a,b}和lub{a,b}，则称<L,≤>为格，并记为a*b=glb{a,b}，ab=lub{a,b}，称和分别为L上的交（或积）和并（或和）运算。称<L,,*>为<L,≤>所诱导的代数结构的格。若L是有限集合，称<L,≤>为有限格。
格的对偶性原理是成立的： • 令<L,≤>是偏序集，且<L,≥>是其对偶的偏序集。若<L,≤>是格，则<L,≥>也是格，反之亦然。这是因为，对于L中任意a和b，<L,≤>中lub{a,b}等同于<L,≥>中glb {a,b}，<L,≤>中glb{a,b}等同于<L,≥>中的lub{a,b}。若L是有限集，这些性质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。
从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对偶的两个<L,≤>和<L,≥>有着密切关系，即格<L,≤>中交运算正是格<L,≥>中的并运算，而格<L,≤>中的并运算正是格<L,≥>中的交运算。因此，给出关于格一般性质的任何有效命题，把关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并换成交，可得到另一个有效命题，这就是关于格的对偶性原理。从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对偶的两个<L,≤>和<L,≥>有着密切关系，即格<L,≤>中交运算正是格<L,≥>中的并运算，而格<L,≤>中的并运算正是格<L,≥>中的交运算。因此，给出关于格一般性质的任何有效命题，把关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并换成交，可得到另一个有效命题，这就是关于格的对偶性原理。 • 定义9.1.2设<L,≤>是格，且SL。若对任意a,bS，有a*bS和abS，则称<S,≤>是格<L,≤>的子格。
2．格的基本性质 • 在证明格的性质前，回忆一下a*b和ab的真正含义是有好处的。 • ①a*b≤a和ab≤b，则表明a*b是a和b的下界。 • ②若c≤a和c≤b，则c≤a*b，这表明a*b是a和b的最大下界。 • ①’a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b的上界。 • ②’若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明ab是a和b的最小上界。
定理9.1.1设<L,≤>是格，对任意a,bL，有 • ① ab=ba≤b • ② a*b=aa≤b • ③ a*b=aab=b • 亦即 a≤bab=ba*b=a
定理9.1.2设<L,≤>是格，对任意a,bL，有 • ① a*b=a, aa=a。 （幂等律） • ② a*b=b*a, ab=ba。 （交换律） • ③ a*(b*c)=(a*b)*c • a(bc)=(ab)c （结合律） • ④ a*(ab)=a • a(a*b)=a （吸收律）
定理9.1.3设<L,≤>是格，对任意a,b,cL，有 • ①若a≤b和c≤d，则a*c≤b*d，ac≤bd。 • ②若a≤b，则a*c≤b*c，ac≤bc。 • ③c≤a和c≤b c≤a*b • ④a≤c和b≤c ab≤c
定理9.1.4设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL，有 • a(b*c)≤(ab)*(ac) • (a*b)(a*c)≤a*(bc) • 通常称上二式为格中分配不等式。
定理9.1.5设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL，有 • a≤ca(b*c) ≤(ab)*c • 推论：在格<L,≤>中，对任意的a,b,cL，有 • (a*b)(a*c)≤a*(b(a*c)) • a(b*(ac))≤(ab)*(ac)
3．特殊的格 • 定义9.1.3设<L,≤>是格，若L中有最大元和最小元，则称<L,≤>为有界格。一般把格中最大元记为1，最小元记为0。 • 由定义可知，对任意aL，有 • 0≤a≤1 • a*0=0, a0=a • a*1=a, a1=1
定理9.1.6设<L,≤>是有限格，其中L={a1,a2,···,an}，则<L,≤>是有界格。定理9.1.6设<L,≤>是有限格，其中L={a1,a2,···,an}，则<L,≤>是有界格。
定义9.1.4设<L,≤>是有界格，对于aL，存在bL，使得定义9.1.4设<L,≤>是有界格，对于aL，存在bL，使得 • a*b=0，ab=1 • 称b为a的补元，记为a’。 • 由定义可知，若b是a的补元，则a也是b的补元，即a与b互为补元。 • 显然，0’=1和1’=0，且易证补元是唯一的。 • 一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯一，也可能无补元。
定义9.1.5设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL，有 • ① a*(bc)=(a*b)(a*c) • ② a(b*c)=(ab)*(ac) • 则称<L,≤>为分配格，称①和②为格中分配律。
定义9.1.6设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL，有 • a≤ca(b*c)=(ab)*c • 称<L,≤>为模格。 • 定理9.1.7分配格是模格 • 定理9.1.8每个链都是分配格。
定理9.1.9一个格为分配格，当且仅当它不含有任何子格与这两个五元素格中任一个同构。定理9.1.9一个格为分配格，当且仅当它不含有任何子格与这两个五元素格中任一个同构。 • 定理9.1.10设<L,≤>是分配格，对任意a,b,cL，有 • (a*b=a*c)且(ab=ac)b=c • 定理9.1.11设<L,≤>是有界分配格，若aL，且补元存在，则其补元是唯一的。
定义9.1.7设<L,≤>是格，若L中每个元素至少有一补元，则称<L,≤>为有补格。定义9.1.7设<L,≤>是格，若L中每个元素至少有一补元，则称<L,≤>为有补格。 • 由于补元的定义是在有界格中给出的，可知，有补格一定是有界格。 • 定义9.1.8若一格既是有补又是分配的，则称该格为有补分配格，或布尔格，或布尔代数。
定理9.1.12设<L,≤>是有补分配格，若任意元素aL，则a的补元a’是唯一的。定理9.1.12设<L,≤>是有补分配格，若任意元素aL，则a的补元a’是唯一的。 • 该定理9.1.11的直接推论，因为有补分配格当然是有界分配格。 • 由于有补分配格中，每个元素a都有唯一的补元a’，因此可在L上定义一个一元运算—补运算“’”。这样，有补分配格可看作具有两个二元运算和一个一元运算的代数结构，习惯上称它为布尔代数，记为<B,,*,’,0,1>，其中B=L。
定理9.1.13设<L,≤>是有补分配格，对任意a,bL，则定理9.1.13设<L,≤>是有补分配格，对任意a,bL，则 • ① (a’)’=a • ② (a*b)’=a’b’ • ③ (ab)’=a’*b’ • 后两式称为格中德·摩根律。
定理9.1.14设<L,≤>是有补分配格，对任意a,bL，有定理9.1.14设<L,≤>是有补分配格，对任意a,bL，有 • a≤ba*b’=0 • a’b=1 • 格同态，格直积等概念可以接下来定义和研究，但这里不打算这样做，因为如此进行会相对较繁，而是将格作为一个代数结构而引入它们。
4．格是代数结构 • 能自然地把代数结构中有关子代数、同态、积代数等概念，引入到格中。 • 定义9.1.9设<L,,*>是一代数结构，其中和*是L上满足交换律、结合律和吸收律的二元运算，且对任意a,bL，定义关系≤如下： • a≤ba*b=a • 则<L,≤>是格，称<L,≤>为代数系统<L,,*>所诱导的偏序集确立的格。
定义9.1.10设<L,,*>和<S,,>是格。存在函数f:LS，若对任意a,bL，有定义9.1.10设<L,,*>和<S,,>是格。存在函数f:LS，若对任意a,bL，有 • f(ab)=f(a)f(b)，f(a*b)=f(a)f(b) • 则称f是从<L,,*>到<S,,>的格同态。 • 下述定理说明格同态是保序的。 • 定理9.1.15设<L,,*>和<S,,>是格，而<L, ≤>和<S,≤’>分别是给定两个格所诱导的偏序集确立的格。若f:LS是格同态，则对任意a,bL，且a≤b，必有f(a)≤’f(b)。
在定义9.1.10中，若f是双射函数，则称f是格同构。或称<L,,*>和<S,,>两个格同构。由于同构是相互的，又是保序的，故对任意a,bL，有在定义9.1.10中，若f是双射函数，则称f是格同构。或称<L,,*>和<S,,>两个格同构。由于同构是相互的，又是保序的，故对任意a,bL，有 • a≤bf(a)≤’f(b) • 和 • f(a)≤’f(b)a≤b • 这表明同构的两个格的哈斯图是一样的，只是各结点的标记不同而已。
定义9.1.11设<L,,*>和<S,,>是格，定义一个代数结构<LS,+,o>如下：定义9.1.11设<L,,*>和<S,,>是格，定义一个代数结构<LS,+,o>如下： • 对任意<a1,b1>，<a2,b2>LS，有 • <a1,b1>+<a2,b2>=<a1b1,a2b2> • <a1,b1>o<a2,b2>=<a1*b1,a2b2> • 称<LS,+,o>是格<L,,*>和<S,,>的直积。
两个格的直积也是格。这是因为在LS上，运算o和+是封闭的，且满足交换律、结合律和吸收律。两个格的直积也是格。这是因为在LS上，运算o和+是封闭的，且满足交换律、结合律和吸收律。 • 格积的阶等于两个格的阶乘积。由于<LS,o,+>是一个格，故又可以与另一个格作直积，这样，利用格的直积可用较小阶的格构造出阶越来越大的格。但反之，较大阶的格，并不都能表示成较小阶的格直积。
9.2 布尔代数 • 前已指出，布尔代数是有补分配格，常记为<B,,*, ’,0,1>。对任意a,b,cB，有
① <B,,*>是格，且≤为B上由或*所定义的偏序关系，满足 • (L-1) ab=lub{a,b}， a*b=glb{a,b} • (L-2) a≤bab=ba*b=a • (L-3) aa=a， a*a=a （等幂律） • (L-4) ab=ba， a*b=b*a （交换律） • (L-5) (ab)c=a(bc)，(a*b)*c=a*(b*c) （结合律） • (L-6) a(a*b)=a，a*(ab)=a （吸收律）
② <B,,*>是分配格，满足 • (D-1) a(b*c)=(ab)*(ac)， • a*(bc)=(a*b)(a*c) （分配律） • (D-2) (ab=ac)(a*b=a*c)b=c • (D-3) (ab)*(bc)*(ca)=(a*b)(b*c)(c*a)
③ <B,,*, ’,0,1>是有界格，满足 • (B-1) 0≤a≤1 • (B-2) a0=a，a*a=a （幺律） • (B-3) a1=1，a*0=0 （零律） • ④ <B,,*, ’,0,1>是有补格，满足 • (C-1) aa’=1，a*a’=0 （互补律） • (C-2) 1’=0，0’=1
⑤ <B,,*, ’,0,1>是有补分配格，满足 • (CD-1) (ab)’=a’*a’，(a*b)’=a’b’ （德·摩根律） • (CD-2) a≤ba’b=1a*b’=0b’≤a’ • 注意，上述公式并非都是独立的，可从中选出一些公式作为基本公式，用它们推出其余的公式，而且可以用基本公式定义布尔代数。
定义9.2.1设<B,,*, ’>是一代数结构，其中和*是B上的二元运算，’是B上的一元运算。0,1B。若对任意a,bB，有 • ① ab=ba，a*b=b*a （交换律） • ② a(b*c)=(ab)*(ac)，a*(bc)=(a*b)(a*c) （分配律） • ③ a0=a，a*1=a （幺律） • ④ aa’=1，a*a’=0 （互补律）
则称<B,,*, ’>是布尔代数，称、*和’分别是B上的并、交和补运算，0和1分别称为和*的零元和幺元。 • 代数结构<B,,*, ’,0,1>满足定义9.2.1的条件，所以它是布尔代数，它是二元布尔代数。二元布尔代数其哈斯图是链的唯一布尔代数。
9.3 子布尔代数、积布尔代数和布尔代数同态 • 把子代数、积代数和同态的概念应用到布尔代数上，便得到了相应论题，本节不准备详尽叙述它，仅就其特点讨论之。
定义9.3.1给定布尔代数<B，，⊙，’，0，1>，≠TB，若T对所有运算封闭，且0，1∈T，则称<T，，⊙，’>是子布尔代数。定义9.3.1给定布尔代数<B，，⊙，’，0，1>，≠TB，若T对所有运算封闭，且0，1∈T，则称<T，，⊙，’>是子布尔代数。 • 显然，<B，，⊙，’，0，1>和<{0，1}，，⊙，’，0，1>是子布尔代数。
应该指出，没有必要对所有三个运算，⊙和’都要检查封闭性，也没有必要验证0与1是否在T中，只要对运算集合{，’}或{⊙，’}检查其封闭性即可。这可从布尔代数中这两个运算集合是全功能集得出。因为对任意x，y∈S，有x⊙y=(x’y’)’，0=(x’x)’，1=xx’，故对于和’的封闭便保证了⊙的封闭以及0，1∈T。应该指出，没有必要对所有三个运算，⊙和’都要检查封闭性，也没有必要验证0与1是否在T中，只要对运算集合{，’}或{⊙，’}检查其封闭性即可。这可从布尔代数中这两个运算集合是全功能集得出。因为对任意x，y∈S，有x⊙y=(x’y’)’，0=(x’x)’，1=xx’，故对于和’的封闭便保证了⊙的封闭以及0，1∈T。
对于{⊙，’}可用同样论证。 • 显然，每个子布尔代数都是布尔代数。 • 布尔代数的子集可以是个布尔代数，但也可能不是布尔代数，因为这可从它对运算是否封闭而定。
定义9.3.2给定两个布尔代数<B1，1，⊙1，’，01，11>和<B2，2，⊙2，″，02，12>，则两个布尔代数的积也是布尔代数，称为积布尔代数，记作<B1×B2，3，⊙3，’’’，03，13>，其中对任意<b11，b21>，<b12，b22>∈B1×B2，有定义9.3.2给定两个布尔代数<B1，1，⊙1，’，01，11>和<B2，2，⊙2，″，02，12>，则两个布尔代数的积也是布尔代数，称为积布尔代数，记作<B1×B2，3，⊙3，’’’，03，13>，其中对任意<b11，b21>，<b12，b22>∈B1×B2，有
<b11，b21>3<b12，b22>=<b111b12，b212b22> • <b11，b21>⊙3<b12，b22>=<b11⊙1b12，b21⊙2b22> • <b11，b21>’’’=<b11’，b21″> • 03=<01，02>，13=<11，12> • 可见，积布尔代数能够生成新的布尔代数。
定义9.3.3给定两个布尔代数<B，+，·，’，0，1>和<T，，⊙，ˉ，α，β>，则定义9.3.3给定两个布尔代数<B，+，·，’，0，1>和<T，，⊙，ˉ，α，β>，则 • <B，+，·，’，0，1><T，，⊙，ˉ，α，β>：=(f)(f∈TB∧(x)(y)(x，y∈S→(f(x+y)=f(x) f(y)∧f(x·y)=f(x)⊙f(y)∧f(x’)= ∧f(0)=α∧f(1)=β))) • 并称f为从<B，+，·，’，0，1>到<T，，⊙，ˉ，α，β>的布尔同态映射。
如前所述，同态的定义仍可简化成：若保持运算{，’}或{⊙，’}则f∈TB为布尔同态映射。又若f为双射，则f为布尔同构映射。如前所述，同态的定义仍可简化成：若保持运算{，’}或{⊙，’}则f∈TB为布尔同态映射。又若f为双射，则f为布尔同构映射。 • 定理9.3.1若f为从<B，+，·，’，0，1>到<T，，⊙，ˉ，α，β>的布尔同态映射，且|f(B)|≥2，其中f(B)={y|f(x)=y∈T∧x∈B}，则<f(B)，，⊙，ˉ，f(0)，f(1)>是布尔代数。
9.4 布尔代数的原子表示 • 在布尔集合代数中，每个子集可表成单元集的并，而且这种表示在不计项的次序情况下是唯一的。对于任何有限布尔代数，也将有同样的结果，这里起着单元集作用的那些元素，称它们是原子。
定义9.4.1给定布尔代数<B，，⊙，’，0，1>且0≠a∈B，则a为原子：=(x)(x∈B→a⊙x=a∨a⊙x=0)定义9.4.1给定布尔代数<B，，⊙，’，0，1>且0≠a∈B，则a为原子：=(x)(x∈B→a⊙x=a∨a⊙x=0) • 因为a⊙x=aax，所以上述定义又可表为 • a为原子：=(x)(x∈S→ax∨a⊙x=0) • 若a为原子且xa，则x=0或x=a。这表明原子在偏序图中是那些紧位于零元之上的元素。
定理9.4.1若a1和a2为布尔代数<B，，⊙，’>的原子，且a1⊙a2≠0，则a1=a2。定理9.4.1若a1和a2为布尔代数<B，，⊙，’>的原子，且a1⊙a2≠0，则a1=a2。 • 定理9.4.2若x是有限布尔代数<B，，⊙，’>的非零元，则存在原子a∈S，使得ax。 • 定理9.4.3若a，a1，a2，…，an为有限布尔代数<B，，⊙，’，0，1>的原子，则 • aa1a2…an(i)(i∈{1，2，…，n}∧a=ai)
定理9.4.4设有限布尔代数<B，，⊙，’，0，1>的所有原子是a1，a2，…，an，且y∈B，则定理9.4.4设有限布尔代数<B，，⊙，’，0，1>的所有原子是a1，a2，…，an，且y∈B，则 • y=0(i)(i∈{1，2，…，n}→y⊙ai=0)
定理9.4.5(原子表示定理) • 给定布尔代数<B，，⊙，’，0，1>，0≠x∈B以及i=1，2，…，n，aix，则x= ai，且不计原子的次序表示式是唯一的。
定理9.4.6 (斯通(Stone)定理) • 设<B，，⊙，’，0，1>是有限布尔代数，且A表示该代数中的所有原子的集合，则<B，，⊙，’，0，1>同构于幂集代数<P(A)，∪，∩，ˉ，，A>。 • 本定理说明了，能够用布尔代数的各原子，完全确定该布尔代数，并且可用布尔集合代数<P(A)，∪，∩，ˉ，，A>表示这一布尔代数。
由本定理可直接得到下面推论： • |B|=2|A| • 由此又可推出，若两个有限布尔代数中的集合有相同的基数，则它们的原子集合也有相同的基数。于是该二个布尔代数是同构的。因此可得到如下定理： • 定理9.4.7每个有限布尔代数的集合基数均为2的方幂，具有同样集合基数的布尔代数都是同构的。
9.5 布尔代数Br2 • 为了书写方便，用Bn表示具有n个元素的布尔代数<Bn，，⊙，’>，即Bn=<Bn，，⊙，’>。根据定理9.4.7可知，n必为2的方幂。因此，“最小”的布尔代数即是二元布尔代数B2=<B2，，⊙，’>，其中B2={0，1}。B2的运算表如表9.1.1所示。下面再给出“次最小”的布尔代数B4=<B4，，⊙，’>的运算表9.5.1，其中B4={0，α，β，1}。
特别令人感兴趣的代数结构是B2×B2×…×B2(r个)，即r个相同的布尔代数B2的直积。该系统记作Br2，且其运算符号仍与B2中的，⊙和’相同，即Br2=<Br2，，⊙，’，0r，1r>。对任意<σ1，σ2，…，σr>和<δ1，δ2，…，δr>∈Br2，其中σi，δj∈{0，1}，i，j=1，2，…，n。特别令人感兴趣的代数结构是B2×B2×…×B2(r个)，即r个相同的布尔代数B2的直积。该系统记作Br2，且其运算符号仍与B2中的，⊙和’相同，即Br2=<Br2，，⊙，’，0r，1r>。对任意<σ1，σ2，…，σr>和<δ1，δ2，…，δr>∈Br2，其中σi，δj∈{0，1}，i，j=1，2，…，n。
