1 / 9

Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Μαθηματική Επαγωγή

Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Μαθηματική Επαγωγή. Άσκηση 1. Να δειχθεί ότι : 1*2+2*3+…+n(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3, ∀ n≥1. Απάντηση 1. Βήμα 1 ο :Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=1 . Για i =1 Þ 1*2 = (1*2*3)/3=2 ισχύει Βήμα 2 ο :Υποθέτουμε ότι η σχέση ισχύει για n≤k

zoe
Download Presentation

Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Μαθηματική Επαγωγή

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Επιπρόσθετες Ασκήσεις στην Μαθηματική Επαγωγή

  2. Άσκηση 1 Να δειχθεί ότι: 1*2+2*3+…+n(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3, ∀ n≥1.

  3. Απάντηση 1 • Βήμα 1ο:Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=1. Για i=1 Þ 1*2=(1*2*3)/3=2 ισχύει • Βήμα 2ο:Υποθέτουμε ότι η σχέση ισχύει για n≤k 1*2+2*3+…+n(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3 (1) Οπότε για n=k: 1*2+2*3+...+k(k+1)=[k(k+1)(k+2)]/3 (2)

  4. Απάντηση 1(συνέχεια) • Βήμα 3ο: Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=k+1 1*2+2*3+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)= =[(k+1)(k+2)(k+3)]/3 (3)

  5. Απάντηση 1(συνέχεια) Βάσει της (2), η (3) γίνεται: [k(k+1)(k+2)]/3 + (k+1)(k+2)=[(k+1)(k+2)(k+3)]/3 Û [k(k+1)(k+2)]/3 + 3(k+1)(k+2)/3 =[(k+1)(k+2)(k+3)]/3 Û [(k+1)(k+2)(k+3)]/3=[(k+1)(k+2)(k+3)]/3 Άρα ισχύει.

  6. Άσκηση 2 Να δειχθεί ότι: 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n! = (n+1)! – 1,∀ n≥1.

  7. Απάντηση 2 • Το πρώτο μέλος γράφεται κ’ ως: • Βήμα 1ο: Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=1. ισχύει • Βήμα 2ο: Υποθέτουμε ότι ∀n≤k ισχύει (1) Επίσης για n=k έχουμε (2)

  8. Απάντηση 2 (συνέχεια) • Bήμα 3ο: Θα δείξουμε ότι ισχύει: για n=k+1 , δηλαδή (3) Βάσει της (2) το πρώτο μέρος της (3) γίνεται:

  9. Απάντηση 2 (συνέχεια) Θέλουμε να δείξουμε ότι (k+1)! - 1 + (k+1)!(k+1) = (k+2)!–1 Û Έχουμε (k+1)! - 1 + (k+1)!(k+1) = (k+2)!–1 Û (k+1)! + (k+1)!(k+1) = (k+2)!Û (k+1)!(1+k+1) = (k+2)!Û (k+1)!(k+2) = (k+2)!Û (k+2)! = (k+2)!Û Άρα ισχύει

More Related