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相似三角形复习课

相似三角形复习课. 考试要求 :. 了解比例的基本性质，了解线段的比，成比例线段，通过实例了解黄金分割，会用比例的基本性质解决有关问题。 了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件与性质，并能进行简单的推力计算和应用。 利用图形的相似解决一些实际问题 。. 比例线段 : 若 四条线段 a,b,c,d 中 如果 （ 或 a ： b = c ： d ） ，那么这四条线段 a 、 b 、 c 、 d 叫做 成比例的 线段 ，简称 比例线段. a c b d. =. a. c. =. Û. =. ad. bc. ;.

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相似三角形复习课

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  1. 相似三角形复习课

  2. 考试要求: • 了解比例的基本性质，了解线段的比，成比例线段，通过实例了解黄金分割，会用比例的基本性质解决有关问题。 • 了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件与性质，并能进行简单的推力计算和应用。 • 利用图形的相似解决一些实际问题。

  3. 比例线段:若 四条线段 a,b,c,d中 如果 （ 或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段. ac bd = a c = Û = ad bc ; b d 知识点一、比例线段 其中 ：a、b、c、d叫做组成比例的项， 线段 a、d叫做比例外项， 线段 b、c叫做比例内项， 比例的基本性质：

  4. 练习: D 1、下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4

  5. 已知 ,求 的值. m n = 6 5 m n a+b a-b 6 a b b 5 b = 2、 3.若 ， 求 ， 1/5,-4/5

  6. a b b c = ， 2 = ac 即： b 即 (或 a：b=b：c)， 3.比例中项： 当两个比例内项相等时， 那么线段b叫做a 和 c 的比例中项. 练习二：

  7. A C B 4.黄金分割： 练习三： 一条线段的黄金分割点有两个

  8. 知识点二.相似三角形 1.相似三角形的定义： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2.相似比： 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 练习： △ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/与 △ABC的相似比为_________.

  9. 3、相似三角形判定条件： 两角对应相等 • (1)如果两个三角形的______________， 那么这两个三角形相似。 • (2)_________________________的两个三角形相似。 • (3)______________的两个三角形相似。 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例

  10. 练习 1. 判断下列命题是否正确 (×) ①所有的等腰三角形都相似． (×) ②所有的直角三角形都相似． ③所有的等边三角形都相似． (√) ④所有的等腰直角三角形都相似． (√)

  11. A P B C 2.如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似,则需添加一个条件:_____________________________________ 。 ∠ACP=∠B; 或∠APC=∠ACB; 或AP:AC=AC:AB即AC2=AP·AB

  12. D A B C (2) ∵ △ABD∽△DCB ∴AD = BD BD BC 即:BD2=AD·BC 2:已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD 求证:(1) △ABD∽△DCB; (2)BD2=AD·BC 证明:(1) ∵AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠DBC ∵∠A=∠BDC= 90°, ∴ △ABD∽△DCB

  13. A D E A D N B C M E N B C M 3如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_________时，△CMN与△ADE形状相同。 或4 1 解：当CN=1时， AD：CM=AE：CN=2：1 △CMN∽△ADE 解：当CN=2时， AD：CN=AE：CM=2：1 △CMN∽△ADE

  14. 一、基本图形(母子相似或A型) A A D E D E C B A C B D B C

  15. A’ B A B’ C C’ E D E’ D’ 二、（兄弟相似或X型）

  16. A C B 小结：相似的形式三 特殊图形（双垂直型） ∵∠BAC=90° D △ ∽ △ ∽ △ ABC DBA DAC ∴

  17. (2)性质 两个三角形相似，则 ①它们的对应边成比例，对应角相等； ②它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比； ③它们的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方．

  18. 练习 • 相信自己，我能行 • 1．（2010重庆市潼南县）△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为.面积比____ 3:4 9:16

  19. 7题图 2．（2010四川宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ） A． 1:2 B． 1:3 C． 1:4 D． 1:5

  20. 3．（2010辽宁沈阳）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，BE：EC=1：2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为。3．（2010辽宁沈阳）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，BE：EC=1：2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为。 【答案】1:9

  21. 4．（2010 山东滨州）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为 【答案】152

  22. 三、例题讲解 如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AE⊥EF A D ∵E是BC中点，FC= BC E ∴ B F C ∴ 1 3 2 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90° ∵∠D=90° ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴△ADE∽△ECF ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF ∴∠1=∠2

  23. 四、相似三角形的应用 1、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.

  24. F E D A B C 2、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他算出楼房的高度。

  25. 八、相似与函数的相关习题 1. 如图, 边长为4的正方形ABCD中, P是边BC上的一点, QP⊥AP 交 DC于Q, 设 BP= x, △ADQ的面积为y. (1) 求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2) 问P点在何位置时,△ADQ的面积最小?最小面积是多少? A D Q B C P

  26. 以下不是

  27. y B x A O 例3 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标为____________．

  28. 2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米? 解:设高楼的高度为X米，则 答:楼高36米.

  29. F E D A B C 3、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他算出楼房的高度。

  30. 八、相似与函数的相关习题 1. 如图, 边长为4的正方形ABCD中, P是边BC上的一点, QP⊥AP 交 DC于Q, 设 BP= x, △ADQ的面积为y. (1) 求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2) 问P点在何位置时,△ADQ的面积最小?最小面积是多少? A D Q B C P

  31. 4、已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m,两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与走边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C? C FG=8米 A E H G B D F

  32. 1.2m 2.7m 5、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.

  33. 八、相似与函数的相关习题 1. 如图, 边长为4的正方形ABCD中, P是边BC上的一点, QP⊥AP 交 DC于Q, 设 BP= x, △ADQ的面积为y. (1) 求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2) 问P点在何位置时,△ADQ的面积最小?最小面积是多少? A D Q B C P

  34. P D A E B C 拓展提高 5、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=900,AB=2, AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ． 5 （１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由； x 5-x y （２）设ＡＰ＝x　ＤＥ=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围； 2 （3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由； （4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。

  35. y B O x A C2(4，4) 5 C1(5，2) 2 1

  36. 6、如图（６）， △ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________ 答案：１：３：５

  37. A 1 D E 2 3 B C 如图(3) (3)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 ________. 4

  38. ① P1 ② P2 b1 b2 O 桌面 c2 D1 D2 c1 3.做一做: (1).如图,在水平桌面上的两个“E”,当点P1,P2,O在一条直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同. ①图中b1,b2,c1,c2应满足怎样的关系? ②若b1=3.2cm,b2=2cm, ①号“E”测试的距离c1=8m,要使测得的视力相同, ①号“E”测试的距离c2应为多少?

  39. A P B C (3).如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似,则需添加一个条件:_____________________________________ 。 ∠ACP=∠B; 或∠APC=∠ACB; 或AP:AC=AC:AB即AC2=AP·AB

  40. A 1 E B C D F G 5.练一练: 1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等)______________.

  41. A D E N B C M 2.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_________时，△CMN与△ADE的形状相同。

  42. Ｄ Ｃ Ｆ Ａ Ｅ Ｂ 课堂抢答： • ３、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ延长线上的一点，ＤＥ交ＢＣ于点Ｆ，ＢＥ：ＡＢ＝２：３，则△ＢＥＦ与△ＣＤＦ的周长比为（　　　）；若△ＢＥＦ的面积为８平方厘米，则△ＣＤＦ的面积为（　　　　　　　） ２：３ １８平方厘米

  43. D E A C B 课堂抢答： • ５、如图，身高为1.6m的某同学想测量一棵大树的高度，她沿树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树高为（ ） • A、4.8m B、6.4m • C、8m D、10m C 解：依题意知：ＥＣ⊥ＡB，于点Ｃ，ＤＢ⊥ＡB于点Ｂ， ∴ＣＥ∥ＤＢ ∴△ＡCE∽△ＡBD ∴ＡC：ＡB＝CE：BD ∵AC=0.8m，BC=3.2m ∴AB=AC+CB=4m CE=1.6m ∴0.8：4=1.6：BD 解得：ＢD=8（m） ∴树高BD为8m。

  44. C O A B P D 图（1） A E D B C 图（2） 竞赛角 1、如图（1），CD是⊙O的弦， AB是直径，CD⊥AB于点P， 求证：PC2=PA·PB 2、如图（2）△ABD∽ △ACE 求证： △ABC ∽ △ADE

  45. y C · · B x O ·A 3.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________. ·P

  46. A D B C P 6.思考题: .如图, △ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上运动,过P点作∠DPB=∠A,PD交AB于D,设PB=x,AD=y. (1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围. (2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?

  47. 挑战自我 AE PN = AD BC 80–x x 因此 ，得 x=48（毫米）。答：-------。 = 80 120 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 A E N P C B Q D M

  48. 三、例题讲解 如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AE⊥EF A D ∵E是BC中点，FC= BC E ∴ B F C ∴ 1 3 2 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90° ∵∠D=90° ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴△ADE∽△ECF ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF ∴∠1=∠2

  49. A D E B C F 如图(1) 练习： 2、 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似. 3

  50. D A B C (2) ∵ △ABD∽△DCB ∴AD = BD BD BC 即:BD2=AD·BC 2:已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD 求证:(1) △ABD∽△DCB; (2)BD2=AD·BC 证明:(1) ∵AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠DBC ∵∠A=∠BDC= 90°, ∴ △ABD∽△DCB

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