正余弦定理的应用

正余弦定理的应用

正弦定理： （其中：R为△ABC的外接圆半径） A’ 2R 一、要点复习：正弦定理 A B a C

2, asinB=bsinA bsinC= csinB asinC=csinA 二、正弦定理的变形 1,

正弦定理的变形 3、边角分离

正弦定理的变形 4， 5, a:b:c=sinA:sinB:sinC

三、三角形的面积及常用关系式 1，面积 (1) (2) r为△内切圆半径 (3)

2,常用关系式 (1)A+B+C=π (2) sin(A+B)=sinC cos(A+B)=－cosC (3)

四、正弦定理应用 A （1）已知两角和任意一边（2）已知两边和其一对角 b c B C a

例1 在中，已知 ，求b（保留两个有效数字）. 解：∵ 且例题讲解

例2 在中，已知 ，求 . 解：由得 ∵ 在中例题讲解 ∴ A 为锐角

例3 在中，，求 的面积S． A 解： h 三角形面积公式 ∴由正弦定理得 B C 例题讲解

灵活运用 A c b B a C 问题1：在ABC中，已知2b=a+c，证明： 2sinB=sinA+sinC 引：能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？导：如何利用正弦定理证明以上关系？证明：由得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将此式代入 2b=a+c 得 2•2RsinB=2RsinA+2RsinC 即 2sinB=sinA+sinC

在ABC中，已知b2 =a • c，证明： sin2B=sinA • sinC A c b 证明：由得 B a C 2 将此式代入 b =a • c 得 2 （2RsinB）=（2RsinA）（2RsinC） 2 即 sin B=sinA • sinC 变式1： a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

在ABC中，已知bcosA=acosB， 判断三角形的形状。变式2：解：由得 a=2RsinA，b=2RsinB，将此式代入bcosA=acosB 得（2RsinB）cosA=（2RsinA）cosB sinAcosB - cosAsinB=0 , Sin(A – B) =0 由-<A- B<知 A –B=0 ,即 A=B 所以, 此三角形为等腰三角形

1.解：由得  A=B或A+B= 动手实践： 1.在ABC中，已知acosA=bcosB，判断三角形的形状。 2.在ABC中，已知， ,判断三角形的形状。又 0<2A、2B< 2A=2B或2A= -2B a=2RsinA，b=2RsinB，将此式代入acosA=bcosB 得（2RsinA）cosA=（2RsinB）cosB 所以, 此三角形为等腰三角形或直角三角形。 sinAcosA = cosBsinB ,  sin2A = sin2B , 2.解(略)等腰三角形或直角三角形

练习 3，在△ABC 中，已知（a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBcosC, 判断三角形的形状。

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