Redes

1. Redes ADSA António Câmara

2. Redes • Método do caminho mais curto • Localização de equipamentos • Minimum spanning tree • Carteiro chinês • Caixeiro viajante • Links

3. Redes • Redes são sistemas de linhas (arcos) ligando pontos (nós). Exemplos: • Vias de comunicação • Sistemas de rega, abastecimento de água e drenagem • Linhas de alta tensão • Linhas telefónicas • Percursos alternativos (no espaço e no tempo)

4. Método do caminho mais curto • Dada uma rede de n nós (1, 2, …, n) correspondente a cada arco (i, j) existe um número dij0 (distância, custo, tempo) • O problema consiste em determinar o comprimento do caminho mais curto e o percurso desse caminho entre a origem, nó 1, e o nó de destino, nó n

5. Método do caminho mais curto 2 9 3 2 6 6 7 3 1 3 3 1 4 5 3 4

6. Método do caminho mais curto • Determinar o caminho mais curto do nó 1 ao nó 6 • Aplicação do método de Dijsktra: • Atribuir um rótulo a todos os nós que pode ser temporário ou permanente • Um rótulo temporário representa um limite superior na distância mais curta do nó 1 e aquele nó • Um rótulo permanente é a distância mais curta entre o nó 1 e aquele nó

7. Método do caminho mais curto • L(0)= [0, 3, 7, 4, ,] * * rótulo permanente • L(1)= [0, 3, 7, 4, ,] * * • Para cada um dos restantes nós, calcule-se um número igual à soma do rótulo permanente do nó 2 e a distância do nó 2 ao nó j

8. Método do caminho mais curto • Compare-se este número com o rótulo temporário do nó j. O menor destes números passa a ser o novo rótulo do nó j. Exemplo: • Para o nó 3, min (3+2, 7)= 5 • L(2)= [0, 3, 5, 4, , 12] * * * • Usa-se agora o rótulo permanente do nó 4 como âncora.

9. Método do caminho mais curto • Calculam-se os novos rótulos temporários dos nós 3, 5 e 6 • L(3)= [0, 3, 5, 4, 7, 12] * * * * • O nó 3 assume assim um rótulo permanente • L(4)= [0, 3, 5, 4, 7, 11] * * * * * • Usando o rótulo permanente do nó 5, mudamos o nó 6 para 10

10. Método do caminho mais curto • L(5)= [0, 3, 5, 4, 7, 10] * * * * * * • Para determinar a sequência de nós no caminho mais curto do nó 1 ao nó 6 opera-se no sentido inverso • O nó j precede o nó 6 se a diferença entre os rótulos permanentes dos nós 6 e j iguala o comprimento do arco j a 6 • Percurso solução 6-5-4-1

11. Método do caminho mais curto • Localização de infraestruturas lineares: • Afectar os arcos de índices reflectindo custos e/ou impactes ambientais • Método de Dijkstra pode ser aplicado em sistemas raster (pixeis são nós da rede) e vectoriais • Método dos k-caminhos mais curtos pode ser aplicado para gerar alternativas

12. Método do caminho mais curto Enumeração de alternativas em planeamento de usos do solo Célula 1 Célula 2 Célula3 Uso1 Uso 1 Uso 1 Nó fict. Uso 2 Uso 2 Uso 2 Nó fict. Uso 3 Uso 3 Uso 3

13. Localização de equipamentos • Método do caminho mais curto pode ser utilizado na localização de dois tipos de equipamentos: • Equipamentos que convém localizar minimizando a distância média desses equipamentos à população que os utiliza. Exemplo: serviços não urgentes como os correios

14. Localização de equipamentos • Equipamentos que convém localizar minimizando a máxima distância desses equipamentos aos potenciais utilizadores. Exemplo: serviços de urgência como os quartéis de bombeiros e hospitais

15. Localização de equipamentos • Representar as possíveis localizações como nós • Indicar para esses nós os valores da procura anual (pj) • Comprimentos dos arcos reflectem as distâncias entre os locais • Método de solução: • Calcular a matriz dij

16. Localização de equipamentos • A distância total percorrida anualmente pelos potenciais utilizadores de um local i e residentes num local j pode ser expressa pela matriz [pj x dij] • Pode-se então estimar as distâncias total e média percorridas por todos os potenciais utilizadores da região se o equipamento se localizar no nó I, calculando o somatório pj.dij e depois dividindo por pj

17. Minimum spanning tree • Uma “spanning tree” é uma árvore de um grafo G que contém o conjunto completo de nós N de G. • A “minimum spanning tree” é a árvore de todas as possíveis “spanning trees” de G com a distância total mínima • Aplicação no desenho de “pipelines” e redes de drenagem

18. Minimum spanning tree • Algoritmo de Larson e Odoni: • Inicie-se a construção da “minimum spanning tree” num nó i. Encontre-se o nó mais próximo de i, diga--se j, ligado a i. • Se todos os nós estão ligados, pare-se. A “minimum spanning tree” está encontrada. Se não, avance-se para o passo seguinte. • Encontre o nó no conjunto daqueles ainda isolados mais próximo de um nó ligado e ligue-o a esse nó

19. Minimum spanning tree • Grafo inicial 7 B A 5 6 5 10 C 9 7 G 7 6 9 5 5 D F E

20. Minimum spanning tree • Começando em A, liga-se a G…. B A 5 6 5 C G 6 5 5 D F E

21. Carteiro chinês • O problema do carteiro chinês consiste em cobrir todos os arcos de uma rede partindo e chegando ao mesmo nó percorrendo uma distância total mínima • Solução complica-se em redes mistas (incluindo arcos direccionados e outros não direccionados) • Relevância em engenharia de ambiente na determinação de circuitos de remoção de recolha do lixo doméstico

22. Carteiro chinês • Conceitos base: • Nó ímpar- um nó de que parte ou em que chega um numero ímpar de arcos • Teorema de Euler- um grafo G possui um circuito Euler (ou caminho Euler) se e só se possuir zero (ou exactamente dois) nós ímpares

23. Carteiro chinês • Exemplos

24. Carteiro chinês • Algoritmo de Larson e Odoni: • Identifiquem-se todos os nós ímpares de um grafo G. Admita-se que o seu número é m. • Encontre-se o “matching” mais curto dos m nós ímpares entre os dois nós que constituem cada um dos m/2 pares. • Para cada um dos pares de nós ímpares no “matching” mais curto encontrado no passo anterior, adicionem-se ao grafo G as arestas do percurso mais curto entre os dois nós do par. Obtém-se assim um grafo G1 sem nós ímpares

25. Carteiro chinês • Encontre-se um circuito Euler em G1. Este circuito é a solução do problema do carteiro chinês no grafo original G • Exemplo 8 e d 5 5 6 6 c 5 5 8 b a

26. Carteiro chinês • Alternativas • Duplicar d-e e a-b • Duplicar d-a e e-b • Duplicar d-c, c-b, a-c e c-e • Melhor solução: duplicar d-a e e-b

27. Caixeiro viajante • O problema do caixeiro viajante consiste na definição de um circuito mais curto ligando nós, sabendo-se a matriz das distâncias entre esses nós • Aplicação na recolha de lixos em locais específicos como no caso da recolha de lixos nos hospitais

28. Caixeiro viajante • Algoritmo de Larson e Odoni • Encontre-se a “minimum spanning tree” que cubra n nós. Chame-se a esta árvore T. • Seja n0 o numero de nós impares dos n nós de T. Encontre-se o “matching” mais curto entre estes nós utilizando um algoritmo apropriado. Considere-se o grafo consistindo dos arcos incluidos no “matching” óptimo como M. Crie-se o grafo H consistindo da união de M e T.

29. Caixeiro viajante • O grafo H é um grafo Euleriano porque não contém nenhum nó ímpar. Desenhe-se o circuito Euleriano começando e acabando no nó desejado. Este circuito é a solução aproximada do problema do caixeiro viajante.

30. Caixeiro viajante • Exemplo: • “Minimum spanning tree” 8 * 11 31 3 1 25 29 9 29 * 36 7 2 36 * * 34 10 5 27 * 4 * 6

31. Caixeiro viajante • Construção do grafo H 8 * 11 31 3 1 25 29 9 29 * (29) 36 7 2 36 * * 34 10 5 (43) 27 * 4 * 6 (71)

32. Caixeiro viajante • Solução aproximada (duração total 371) 8 3 1 9 7 2 10 5 4 6

33. Caixeiro viajante • Solução real (duração total 331) 8 3 1 9 7 2 10 5 4 6

34. TPC 3 • Caminho mais curto de 1 ou 2 a 8 8 9 8 3 6 8 5 1 8 7 10 7 4 3 6 6 5 7 2

35. TPC 3 • Encontrar a “minimum spanning tree” da seguinte rede Nós 1 2 3 4 1 - 15 25 40 2 15 - - 30 3 25 - - 17 4 40 30 17 -

36. TPC 3 • Resolver o problema do carteiro chinês para o seguinte grafo c 7 5 d 9 b 4 7 8 e 8 4 7 9 a f