第 5 章自动控制系统性能的频域分析

第5章自动控制系统性能的频域分析 • 概述 • 自动控制系统的稳定性分析 • 自动控制系统的稳态性分析 • 自动控制系统的动态特性分析 • 系统分析举例——水位控制系统

概述 • 研究任何自动控制系统的首要的工作是建立合理的数学模型。一旦建立了数学模型，就可以进行自动控制系统的分析和设计。对控制系统进行分析，就是分析控制系统能否满足它所提出来的性能指标要求，分析某些参数变化对系统性能的影响。工程上对系统性能进行分析的主要内容是：稳定性能、稳态性能和动态性能分析。其中最重要的是系统的稳定性能，这是因为工程上所使用的控制系统必须首先是稳定的系统，不稳定的系统是根本无法工作的。因此分析研究系统时，首先要对系统进行稳定性分析。其次是系统的稳态性能分析，这是因为系统经过长期运行在稳态状态下，因此其稳态性能直接关系到日常工作的质量；最后是系统的动态性能分析，这主要是针对那些要求快速且双平稳过渡的系统。

5.1 自动控制系统的稳定性分析 • 稳定性分析是自动控制系统中最重要的性能分析，这是因为工程上所使用的控制系统首先必须是稳定的系统，不稳定的系统不仅无法工作，也没有其使用的价值。 • 系统的稳定性（Stability）是指自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后，经过调节，能重新达到平衡状态的性能。 • 造成系统主要有两种：即系统内部参数结构上的原因和外部控制上的客观原因。

稳定系统与不稳定系统a)不稳定系统 b)稳定系统

造成自动控制系统不稳定的物理原因

系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。系统的绝对稳定性是指系统稳定(或不稳定)的条件。系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。系统的绝对稳定性是指系统稳定(或不稳定)的条件。 • 即形成系统稳定的充要条件。 • 系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。自动控制系统的相对稳定性a)相对稳定性好 b)相对稳定性差

稳定自动控制系统的相对稳定性 (a) 相对稳定性好; (b) 相对稳定性差

系统稳定的充要条件 • 系统稳定的必要和充分条件是：特征方程的所有的根的实部都必须是负数。亦即闭环系统的所有极点都必须在复平面的左侧。 +j 系统稳定区域系统稳定区域系统不稳定区域系统不稳定区域系统特征方程的根，或者说其系统的传递函数的极点都在复数平面的左半平面系统特征方程的根，或者说其系统的传递函数的极点有在复数平面的右半平面 +1

控制系统稳定性和特征根（闭环极点）之间的关系控制系统稳定性和特征根（闭环极点）之间的关系

对稳定的系统，若负实根或具有负实部的复根离虚轴(Im轴)愈远，指数曲线衰减得愈快，则系统的调整时间愈短，系统的相对稳定性就会愈好。对稳定的系统，若负实根或具有负实部的复根离虚轴(Im轴)愈远，指数曲线衰减得愈快，则系统的调整时间愈短，系统的相对稳定性就会愈好。 • 若系统特征根有多个，那么最靠近虚轴的极点，对系统稳定性(衰减慢)的影响最大，因此通常把最靠近虚轴的闭环极点，称为闭环主导极点。

奈氏稳定性判据 • 奈氏(Nyquist)稳定判据：奈氏判据说明，如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的充要条件是：它的开环幅相频率特性曲线不包围(-1，j0)点。反之，若曲线包围(-1，j0)点，则闭环系统将是不稳定的。若曲线通过(-1，j0)点，则闭环系统处于稳定边界。

由上面的例子，我们发现在奈氏稳定性判据中，最重要的就是对奈氏曲线是否包围（-1，j0）这个点的判断，而这个点所包含的物理特性并不难理解，下面，我们就这个点的物理特性作一个简单的分析：由上面的例子，我们发现在奈氏稳定性判据中，最重要的就是对奈氏曲线是否包围（-1，j0）这个点的判断，而这个点所包含的物理特性并不难理解，下面，我们就这个点的物理特性作一个简单的分析：我们知道，系统频率特性的定义是：其中幅频特性为：相频率特性为：

+j （-1，j0） +1 • 而奈氏图上（-1，j0）这个点，在复数平面上的物理意义是指一条从原点出发，其大小（幅值）为1，方向（幅角）为的一条有向线段。当奈氏曲线与（-1，j0）有交点时，说明当ω=ω0时，该系统的幅频特性为：相频特性为：特别是，当奈氏曲线包围（-1，j0）时，则更加说明：

这就说明：当输入的正弦激励为ω0时，或者当系统内部扰动使系统工作在了ω0这一频率点上时，系统的输出响应的幅值与输入激励信号幅值大小相等；或大于输入信号的幅值[包围（-1，j0）时]，但相位上却相差了。 • 由于我们所研究的自动控制系统均采用的是负反馈，所以当输入与输出的信号在相位上相差，这就意味着，原来的负反馈系统在这一频率点上形成了实际意义上的正反馈，当然系统也就不再稳定。 • 从《电路基础》的谐波理论上看，任何非周期的电信号都可以通过傅里叶级数将其分解为有无限多种不同频率的正弦周期信号的代数和，因此只要系统的开环频率特性包围或交在了（-1，j0）这一点上的话，那么我们就无法排除ω0这一点给系统造成的不稳定。

对数频率稳定性判据 • 奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的。而在前一章中，我们已经了解了作奈氏图的复杂性，所以如果被分析的自动控制系统是具有最小相位的开环传递函数的最小相位系统的话，那么在工程上我们就可以采用系统的开环对数频率特性（Bode图）来判别该闭环系统的绝对稳定性与相对稳定性。而这就是所谓的对数频率稳定性判据。 • 对数频率稳定性判据是在奈氏稳定性判据基础上发展而来的，因此它实质上是具有最小相位传递函数系统的奈氏稳定性判据在伯德图上的一种表示表示形式。

1、奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图上的0dB线。1、奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图上的0dB线。

2、奈氏图上的负实轴对应于伯德图上的-180度的相频2、奈氏图上的负实轴对应于伯德图上的-180度的相频曲线。

频率稳定判据在极坐标图和对数坐标图上的对照a)奈氏判据 b)对数频率判据若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是：当线过0dB线时，在线上方( >0)。

稳定裕量(Stability Margin)表示自动控制系统的相对稳定的程度，亦即表示了自动控制系统的相对稳定性(Relative Stability)。稳定裕量与系统相对稳定性 1.相位稳定裕量(Phase Margin)( )的定义：　　

当ω=ωc时， ，我们称奈氏曲线的模等于1时所对应频率叫穿越频率ωc ，它正好对应对数幅频特性上与0dB线的交点。此时，奈氏曲线上该点距离-π轴的角度就是相位稳定裕量。它与对数相频特性上的线上的角度相对应。

由此，相位稳定裕量 在对数相频特性上可定义为：且有：若＞0，则表明未包围(-1，j0)点，系统是稳定的。而且愈大，则表示系统离稳定边界“距离”愈远，系统稳定性愈好，工作愈可靠。若 =0，则系统的穿过(-1，j0)点，系统处于稳定边界。若＜0，则表明系统的已包围了(-1，j0)点，系统是不稳定的。对一般闭环控制系统，通常希望 =(30°～45°)左右。

2.相位稳定裕量的求取 相位裕量计算方法(对最小相位系统)是：由开环传递函数作系统的开环对数幅频特性（一般以渐近线近似代替），从图中得到穿越频率（计算或图解均可），计算出对应于时的相位再由下面的式子求得。一般最小相位系统的开环传递函数总可以表示为如下形式，即：

即系统可简化成由比例环节K、个积分环节、 个惯性环节和个比例微分环节组成的，则其对应于ωc时的相位为：代入相位稳定裕量的计算公式，有：式中，为惯性环节时间常数；为比例微分环节的时间常数。

由上式可见： • 系统在前向通路中含有积分环节将使系统的稳定性严重变差； • 系统含惯性环节也会使系统的稳定性变差，其惯性时间常数越大，这种影响就越显著； • 微分环节则可改善系统的稳定性。

自动控制系统的稳定性分析举例 • 图为一典型二阶系统框图。在如图所示的系统框图中，T、K2、K3为系统固有参数，K1为比例调节器放大倍数，是可调的，下面来分析改变K1对系统稳定性的影响：　　由图示框图可知系统的开环传递函数为：

以上分析表明：对二阶系统，加大增益，将使系统稳定性变差。

三阶系统的稳定性分析 • 下面就以三个惯性环节组成的系统为例来分析说明三阶系统的稳定性。此系统的开环传递函数为：今设式中T1＞T2＞T3，由上式可画出此系统的对数频率特性(伯德图)如图所示。

①当K=K1，增益较小, 附近 的斜率为-20dB/dec系统稳定，且稳定裕量较大，稳定性较好。 ②当K=K2，增益较大, 附近的斜率为-40dB/dec系统虽属稳定，但稳定裕量较小，相对稳定性变差。 ②当K=K3，增益过大, 附近的斜率为-60dB/dec由于，故系统已变的不稳定。

由以上分析可见，对三阶系统，加大增益，将使系统稳定性变差，甚至造成不稳定。由此，伯德提出：为了保证系统有足够的稳定裕量，在设计自动控制系统时，要使附近(左、右各几个频程) 的斜率为 -20dB/dec(这又称伯德第一定理)。【例5-1】分析如图5-11所示的随动系统的相位稳定裕量。图5-11 位置随动系统结构图

解:在已知随动系统的系统参数后，可通过计算得到该随动系统的开环传递函数： 由上式，可得：于是，该系统的对数幅频特性如图5-12曲线①所示：

由图解可得 (可以证明，上图中 ) 利用相位稳定裕量的计算公式，可得：

由以上分析可见，由于 ，显然，该系统不能稳定运行。应用MATLAB软件进行系统仿真，即可得如图5-13a所示的波形，系统为不稳定的发散状况。图5-13（a）系统稳定性分析举例

【例5-2】若将上题中的放大器的增益K2降为原先的1/4，即 =0.5，重解上题。解:由K2=0.5有K=28.6，于是20lgK=20lg28.6=29.1dB　同时由式可得：　此时系统的对数幅频特性如图5-13曲线②所示。　　

同理由相位裕量计算公式，得： 此时，系统的相位裕量，这样系统成为稳定系统。但是由于其稳定裕量并不大，所以其稳定性能仍然不好。由图5-13b可见，系统的最大超调量高达σ≈60%。图5-13（b）系统稳定性分析举例

5.2 自动控制系统的稳态性能分析 稳态误差始终存在于系统的稳态工作状态之中。 • 系统稳态误差的概念——暂态响应与稳态响应 • 误差传递函数 • 系统稳态误差与输入信号之间的关系——自动控制系统中的典型输入信号 • 稳态误差的求取 • 系统型别与给定稳态误差之间的关系

系统稳态误差的概念——暂态响应与稳态响应 • 由《电路基础》可知，当电路中存在储能元件时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时，将发生一个中间过程——过渡过程，而这一过程的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一个与时间有关过程。 • 引起过渡过程的原因有两个，即内因——电路中必有储能元件。外因——电路的接通或断开，电源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素，这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素构们统称为激励。而过渡过程所发生时所产生的、我们关心的结果，如输出电压的变化，系统的运行等，我们则统称为电路对时间的响应。

其中：为暂态响应，为稳态响应 • 由过渡过程分析中的三要素法可知，电路对时间响应常常分为两个部分：暂态响应和稳态响应。线性电路的时间响应通常可以写成：

为了更好地理解时域响应的概念，我们在这举一个这是一个简单的例子。如图所示为一个在《电路基础》中就学过的一阶RC电路，当电路中的开关S闭合瞬间，由电路中过渡过程的三要素法，我们知道该电路电容上的电压随时间变化的表达式为：当t→∞时，由上式可以求出：由此可见，随着时间的增加，该电路中电容上的电压最终会等于Us，而其中与时间有关的，并随时间按指数规律变化的那一部分量会最终消失掉。

所以，在控制系统中，暂态响应定义为从激励（输入信号）产生开始到时间趋于无穷时，输出趋近于零的那一部分与时间有关的时间的响应。而稳态响应则为暂态响应消失之后余下的那一部分响应。稳态响应暂态响应因此，所谓系统稳态性分析就是研究系统在暂态响应消失后，系统进入稳态响应时的系统特性。

在自动控制系统中对系统的稳态响应进行研究是十分重要的，这是因为稳态响应的结果表明了系统在经过一段时间的调整之后，系统输出会停在什么地方。如在数控机床的进刀定位系统中，当我们给进刀电机所加的期望进刀位置的参考输入信号停止之后（稳态响应），刀具实际所在的位置和期望的进刀位置之间的差值说明了进刀系统最后的稳态精度。通常，如果输出的稳态响应不能和期望值完全一致，则我们就称系统有稳态误差。在自动控制系统中对系统的稳态响应进行研究是十分重要的，这是因为稳态响应的结果表明了系统在经过一段时间的调整之后，系统输出会停在什么地方。如在数控机床的进刀定位系统中，当我们给进刀电机所加的期望进刀位置的参考输入信号停止之后（稳态响应），刀具实际所在的位置和期望的进刀位置之间的差值说明了进刀系统最后的稳态精度。通常，如果输出的稳态响应不能和期望值完全一致，则我们就称系统有稳态误差。

从另方面来看，由于自动控制系统稳态误差是指在给稳定系统加入期望的参考输入后，经过足够长的过渡时间后（即其暂态响应已经衰减到微不足道时），系统稳态响应——即系统最终所反映出来的实际结果（实际值）与期望参考输入值之间的差值。所以稳态误差又是一个与系统的某些特定参考输入（期望值）相关的一个性能指标。从另方面来看，由于自动控制系统稳态误差是指在给稳定系统加入期望的参考输入后，经过足够长的过渡时间后（即其暂态响应已经衰减到微不足道时），系统稳态响应——即系统最终所反映出来的实际结果（实际值）与期望参考输入值之间的差值。所以稳态误差又是一个与系统的某些特定参考输入（期望值）相关的一个性能指标。

误差传递函数 • 如上所述自动控制系统的稳态误差是一个与系统的某些特定参考输入（期望值）相关的性能指标，因此在如图所示的典型系统中,系统的稳态误差是由两部分特定信号产生的。

一部分是参考输入信号所引起，它的大小反映了系统输出响应跟踪系统输入信号的能力；而另一部分是由扰动信号所引起的响应，由于这一部分输出本身就是由我们所不希望出现的干扰信号所引起的，所以它所产生的输出响应本身就是误差，它的大小反映了系统自身的自动调整能力以及抑制干扰的能力。因此，在我们定义误差传递函数时就有了给定误差传递函数与扰动误差传递函数之分。一部分是参考输入信号所引起，它的大小反映了系统输出响应跟踪系统输入信号的能力；而另一部分是由扰动信号所引起的响应，由于这一部分输出本身就是由我们所不希望出现的干扰信号所引起的，所以它所产生的输出响应本身就是误差，它的大小反映了系统自身的自动调整能力以及抑制干扰的能力。因此，在我们定义误差传递函数时就有了给定误差传递函数与扰动误差传递函数之分。

如图所示，当只考虑系统在给定的参考输入下的给定误差传递函数时，则其定义为偏差信号的拉氏变换和输入信号拉氏变换之比，即：如图所示，当只考虑系统在给定的参考输入下的给定误差传递函数时，则其定义为偏差信号的拉氏变换和输入信号拉氏变换之比，即： • 给定误差的传递函数

其中：又因为 所以代入给定误差传递函数表达式，并整理得：

由于由扰动输入 引起的系统输出本身就是误差，所以当只考虑系统在扰动信号作用下的误差（如图所示），有： • 扰动误差的传递函数

这样，扰动误差传递函数就定义为扰动偏差信号的拉氏变换和扰动输入信号拉氏变换之比，即：

自动控制系统中的典型输入信号 • 在自动控制系统中，对系统进行典型测试的输入信号有三种，它们是：（1）阶跃信号，当其拉氏变换为，当时，该阶跃信号称为单位阶跃信号。其信号波形如图所示。

由于阶跃信号反映了一个信号的幅值在某一时刻的突然跃变，所以在一般实际的系统测试中，系统对阶跃信号所产生的响应反映了系统在受到一个变化剧烈的外部作用时，系统所具有的性能特征。能用阶跃信号表征的系统外部作用：如电气网络中开关的闭合与断开；机械轴的突然起动以及加工过程中工件表面的凹凸不平等。由于阶跃信号反映了一个信号的幅值在某一时刻的突然跃变，所以在一般实际的系统测试中，系统对阶跃信号所产生的响应反映了系统在受到一个变化剧烈的外部作用时，系统所具有的性能特征。能用阶跃信号表征的系统外部作用：如电气网络中开关的闭合与断开；机械轴的突然起动以及加工过程中工件表面的凹凸不平等。

（2）等速信号（斜坡信号） 其拉氏变换为，当时，该等速信号称为单位等速信号，其信号波形如图所示。由于等速信号反映了一个信号的幅值在开始出现后随时间作均速变化，所以在一般实际的系统测试中，系统对等速信号所产生的响应反映了系统在受到一个持续的外部作用时，系统所具有的性能特征。能用等速信号表征的系统外部作用：如太阳能发电系统中，太阳能收集器随太阳的移动所作的相应变化等。

第 5 章 自动控制系统性能的频域分析