第三章动量守恒机械能守恒

第三章动量守恒机械能守恒 内容简介力的时间积累效应---冲量动量改变动量守恒经典力学三大守恒定律角动量角动量守恒经典力学力的空间积累效应---功能量改变机械能守恒 (课时数：共2讲，4学时)

第五讲力的冲量和功 主要内容： 1.动量冲量动量守恒定律 2.功动能动能定理重点理解：动量守恒定律和功难点理解：动量守恒定律典型示例：动量、冲量、动量守恒定律及功、动能、动能定理课后练习：思考题3.1,3.2,3.3和习题3.1-----3.12

一、动量冲量动量守恒定律 1. 动量和冲量主要内容（1）动量单位(kg ·m ·s-1) (3.1) 牛顿将牛顿第二定律写作 (3.2)

（2）冲量  恒力的冲量 (3.3)  变力的冲量

F F t 0 t1 t2 dt 在时间t1t2间隔内，力F是变化的，求t1t2时间间隔内的总冲量  将区间t1t2分成无穷多小段；  取其中一小段dt, 这一小段内力的冲量  t1t2的总冲量为上式的积分 (3.4) 图3-1 冲力与时间的关系

2. 质点动量定理 (3.5) 质点动量定理在一段时间间隔内，质点所受合外力的冲量等于这段时间内质点动量的增量。

分量式 (3.6) 平均冲力 (3.7)

F2 F1 m2 m1 f1 f3 f2 m3 F3 f4 m4 F4 3. 质点组动量定理由若干个质点所组成的系统叫质点组，也称作一个力学系统。图3－2力学系统受力示意图

力学系统内每个质点所受的力分成外力 及内力质点1  质点i  质点n 对每一个质点利用动量定理

对上面n项求和 (3.8) 由n个质点组成的力学系统合外力的冲量等于系统总动量的增量。

4. 动量守恒定律 主要内容以及重点和难点若系统所受的合外力＝0 系统总动量守恒 (3.9)

分量式 系统x方向动量守恒系统y方向动量守恒 (3.10) 系统z方向动量守恒

Z  图3－3 Y O X 二、功动能动能定理 1. 功恒力的功 (3.11) 变力的功 b 物体在变力的作用下从a运动到b  a 图3－4 (3.12)

Y dy 10m y O 例1 在10m深的井中吊水，桶中装满水时，水、桶一共的质量为10kg。由于桶漏水，每上升一米漏水0.2kg，求一桶水从水面提到井口需作功多少？解：dA=Fcos dy =(m–0.2y) gdy 典型示例图3－5

o y dy 1cm y 例2 在一块木板上钉钉子，钉子在木板中所受阻力跟深度成正比f = ky。第一锤钉子进入木板1cm，求第二锤钉子能进入木板多深的地方？(每一锤外力所作的功相同) 解：第一锤外力作功A1 典型示例图3－6

第二锤外力作功A2 所以

2. 质点的动能定理 (3.13) 合外力所作的功＝质点动能的增量

3. 质点组动能定理 设质点组中有n个质点，每个质点受外力F, 内力f，利用质点的动能定理，对第i个质点有 (3.14)

对系统 n 个质点求和 (3.15) 一力学系统所有外力作的功＋所有内力作的功＝系统总动能的增量注意：内力所作的功一般不为0。

f f  s l 图3－7 例3 在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧洞口击入，在沙箱中前进一段距离l后停止。在这段时间内沙箱向右运动的距离为s，此后沙箱带着弹丸以匀速运动。求此过程中内力所作的功。 A内 = –f (s+l) + f's f ' = f 所以 A内= – f l 0 典型示例

第六讲势能与机械能守恒定律 主要内容：势能和机械能守恒定律重点理解：机械能守恒定律难点理解：机械能守恒定律典型示例：机械能守恒与弹性势能课外练习：思考题3.4---3.7和习题 3.13-----3.16

h dr dh  mg  h1 h2 o 图3－8 一、保守力的功主要内容 1. 重力的功质量m的物体，从高度h1h2重力作功

dA=mgcos dr (3.16) 重力作功只跟相对始末位置有关，跟相对路径无关，这种力称保守力。重力是保守力。

在弹性力 的作用下，从x1x2弹力所作的功 F o x1 x2 x dx x 2. 弹力的功图3－9 dA=Fcos dx=kx(–1)dx (3.17) 弹力也是保守力

2   dl   m2  r2 dr r  m1  r1 1 3. 引力的功 m2在m1 m2引力作用下，从12引力所作的功 (3.18) 引力也是保守力图3－10

4. 保守力的数学表达式 (3.19) 质点沿一闭合路径绕行一周，力所作的功为零，该力称保守力。

二、势能 能的定义：物质运动的一般量度。功的定义：能量改变的量度。以上讨论，重力、弹力、引力的功 (3.20)

上三式等号左边是功，等号右边是能量的改变，这种能量只跟位置有关，所以称位能(也称势能)。上三式等号左边是功，等号右边是能量的改变，这种能量只跟位置有关，所以称位能(也称势能)。为了确定a点的势能Epa, 先要确定零势能点，Epa=a点的势能跟零点势能之差＝Aao

零势能点的选择又要使势能的表达式比较简单，零势能点的选择又要使势能的表达式比较简单，重力势能零点ho=0 重力势能= mgha 弹性势能弹性势能零点xo=0 (3.21) 引力势能引力势能零点ro=

三、功能原理 对一个力学系统，根据质点组动能定理因此而所以 (3.22) 系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量。

重点和难点四、机械能守恒定律对一个力学系统来讲如果 (或只有保守力作功) 则 E2 = E1 系统机械能守恒 (3.23)

例1 质量为m的物体以v0=2km·s–1的速度从地球表面垂直向上发射(忽略空气阻力)求物体能达到的最大高度。(重力加速度g=9.8m·s–2,地球半径R0为6.37×106m) 解：设物体能达到的最大高度为h。根据题意，从物体发射到最大高度的过程中，只有引力作功，所以机械能守恒。有典型示例

又可解得

A 0 h A B x1 B A B x2 x 图3－11 例2 如图所示质量为M的物块A在离平板h的高度处自由下落，落在质量也是M的平板B上。已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。典型示例

解：从物块A自由下落到弹簧压缩到最大限度可分为三个物理过程： (1)物块A作自由落体运动，到B时速度为v1; (2) 物块A和平板B作完全非弹性碰撞，碰后速度为v2; (3) 碰撞后弹簧继续被压缩到最大压缩量x2。对每个物理过程列出方程：  

第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。取弹簧处于自然状态时，其上端点位置为坐标原点。取x2位置为重力势能零点，则第三个过程方程为第三个过程中只有重力，弹力作功，机械能守恒。取弹簧处于自然状态时，其上端点位置为坐标原点。取x2位置为重力势能零点，则第三个过程方程为  在A、B未碰撞前，B的重力跟所受弹力平衡，因此有 kx1 = mg  解 式可得弹簧的最大压缩量x2

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