稳定性是系统本身的性质之一，与激励信号无关。 稳

1. §3.6 LTI系统的稳定性 稳定性是系统本身的性质之一，与激励信号无关。 稳 定系统也是一般系统设计的目标之一。稳定性的概念有 几种不同的提法，但是没有实质性的差别。 这里给出 普遍采用的稳定系统定义：有界输入产生有界输出（简 称BIBO）的系统。如果对有界激励，系统的响应无界， 系统就是不稳定的。LTI系统BIBO稳定的充分必要条件 是单位冲激响应绝对可积：

2. 为一有界的实数。满足此式的，一定是随时间 上式中 。LTI系统的系统函数与单位 衰减的函数，即 冲激响应集中表征了系统特性，稳定性也必在其中。所 的不同情况，也可由 的极点分布， 以既可由 将系统稳定性分为三类。 一、系统稳定性分类 1稳定 由§3.6零、极点分析可知， 若的全部极点在的左半 平面（不含虚轴），单位冲激响应满足 系统稳定

3. 1、系统稳定性分类 (1) 稳定 由§3.6零、极点分析可知， 若的全部极点在的左半 平面（不含虚轴），单位冲激响应满足 系统稳定 (2) 不稳定 有极点落在右半平面，或者 若 轴、原点处有二阶 以上重极点，则单位冲激响应 系统不稳定。

4. 若 在原点或 轴上有一阶极点，虽然单位冲激响应 (3) 边（临）界稳定 例如纯网络， ，但 其单位冲激响应为无阻尼（等幅）的正弦振荡。因为 3是处于1、2两种情况之间，故称边（临）界稳定。 为使分类简化，可将其归为非稳定系统。

5. 系统函数 根的 稳定系统的极点应位于平面的左半平面，因此 二、稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系 设： 实部应为负值。它的根一般有下面两种情况：一是实数 根，对应因式为

6. 上式表明复数根只能共轭成对出现，否则不能保证上式表明复数根只能共轭成对出现，否则不能保证 、 为实数。又因为复数根的实部应为负值，因此 ， 二是共轭复根，对应因式为 所以 必为正值。综上所述，将 分解后，只有 、 、 两种情况，且 、 均为正值。 、

7. 稳定系统与分母多项式 的系数关系： 这两类因式相乘后，得到的多项式系数必然为正值，并 且系数为零值的可能性也受到了限制。由此我们可得到 (1) 的系数 全部为正实数。 (2) 多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项。 以上是系统稳定的必要条件。

8. 如果给定 表示式，由此可对系统稳定性作出初步 判断。当系统为一阶、二阶系统时，系数 就是 系统稳定的充分必要条件。 例3-24 已知系统的 如下，试判断是否为稳定系统？ (1) (2) (3)

9. 解1 分母有负系数所以为非稳定系统 解2 中缺项，所以不是稳定系统。 解3 满足稳定系统的必要条件，是否稳定还需进一步 分解检验。对 进行分解 可见 有一对正实部的共轭复根，所以系统3为非稳 定系统。

10. 从零增长时 例3-24 如图3-28所示反馈系统，讨论当 系统稳定性变化。 解 将 代入上式，得 整理上式，得

11. 由此得到： 其中： ， 代入具体值讨论：

12. 代入具体值讨论： 时，反馈支路开路，系统无负反馈，极点为 ， ，系统不稳定； 时，系统加大了反馈，极点为 系统临 ， 界稳定； 时，系统进一步加大了反馈，极点为 系统稳定； ， 、 为具有负实部的共轭复根，系统稳定。

13. 以上分析可知 系统稳定， 系统不稳定。可以 推得一般结论：系统加负反馈可以增加系统的稳定性。 由二阶系统稳定的充分必要条件 ，亦可得到 系统稳定的相同结论。

14. 当 变化时，闭环系统特征方程的特征根（极点）会随 数参数 变化，其特征方程 例3-25 系统具有反馈环路，也称闭环系统。若断开系统 中的反馈支路，则系统为开环系统。通过以上分析知道， 着变化，系统的稳定性也会发生改变。随着闭环系统函 的特征根（极点）在s平面 移动的路径称根轨迹，如图 0 1 -2 -0.5 3-29就是例3-25系统 的根轨迹图。

15. 由系统的根轨迹研究系统的稳定性，有独到之处。但对由系统的根轨迹研究系统的稳定性，有独到之处。但对 有若干极点的复杂系统，作根轨迹图并非易事。借助 MATLAB的程序，可以很方便的利用开环系统函数， 作出闭环系统的根轨迹。例3-25根轨迹的MATLAB程序 如下 a=[1 1 -2];%开环分母多项式系数 b=[0 0 1]; %开环分子多项式系数 rlocus(b,a);%根轨迹 title('例3.6-2根轨迹')

16. 例3-25的根轨迹如图3-30所示。

17. 由上面的讨论，已知 满足稳定系统必要条件时， 为判断极点具体位置，需要求分母多项式 的根。这 四、罗斯稳定性准则 项工作往往很繁，尤其求高阶系统的特征根不容易。实 际上为了判断系统稳定性，不需要解出方程全部根的准 确值，只要知道系统是否有正实部或零实部的特征根就 可以。1877年罗斯提出一种不计算代数方程根的具体值， 只判别具有正实部根数目的方法，可以用来判断系统是 否稳定。

18. 则 方程式的根全部位于s左半平面的充分必要条件 罗斯准则（判据）为 若 是多项式的全部系数大于零；无缺项；罗斯阵列中第一 列数字符号相同。 “罗斯阵列”排写如下：

19. “罗斯阵列”排写如下： 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第n+1行

20. 其中罗斯阵列前两行由 多项式的系数构成。第一行 由最高次项系数 及逐次递减二阶的系数得到的。其余 ； 排在第二行。第三行以后的系数按以下规律计算： ；

21. 依次类推，直至最后一行只剩下一项不为零，共得n+1依次类推，直至最后一行只剩下一项不为零，共得n+1 行。即n阶系统，罗斯阵列就有n+1行。

22. 如果第一列 各元素数字 有符号不相同，则符号改变的次数就是具有正实部根 的数目。 例3-26 用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根。 解：全部系数大于零，无缺项。 n=4，排出n+1=5行。 罗斯阵列为

23. ； 第一列数字两次改变符号（从 ），所以 第一行 2 12 2 第二行 1 8 0 0 第三行 0 第四行 第五行 0 0 有两个正实部的根，为非稳定系统

24. 借助MATLAB程序，求出极点并作出系统函数的极点分借助MATLAB程序，求出极点并作出系统函数的极点分 布图，可以验证上面的结论。例3-26系统的零、极点图 的MATLAB程序及结果如下 a=[2 1 12 8 2];%多项式系数 r=roots(a)%极点 pzmap(1,a)%极点图 答案 r =0.0885 + 2.4380i 0.0885 - 2.4380i -0.3385 - 0.2311i -0.3385 + 0.2311i 由答案及图3-31可见确实有两个实部大于零的极点。

26. §3.7 连续时间系统的模拟及流图表示 在实际工作中，除了在理论上对线性系统进行数学分析 外，往往还通过计算机模拟（仿真）对系统的特性进行 进行观察，以直观了解各种激励对响应的影响以及参数 对系统的影响。这种方法往往比繁冗的数学运算更具有 实效。

27. 1、连续时间系统的模拟（仿真） 用系统的观点来分析问题时，我们可以把系统看做一个 “黑盒子”，不管它们内部的具体结构、参数，关心的是 输入、输出之间的转换关系，如图3.-32所示。 通过实例说明，不同的结构和参数的系统可以具有相同 输入、输出关系。

28. 例3-27 分别求如图3-32、3-33所示RL、RC电路的系统 函数。 + + + + - - - - 解

29. 这是两个结构、参数不同的一阶系统，但由于它们传输这是两个结构、参数不同的一阶系统，但由于它们传输 函数相同，因此它们的输入输出关系完全相同，数学模 型都是一阶微分方程 n阶LTI系统微分方程的一般形式为

30. 其系统函数为 要对连续LTI系统进行模拟,就要对它的系统传输函数或 微、积分方程进行模拟。从上面的例子知道具有相同输 入输出关系的系统，系统实现的结构、参数不是唯一的， 为此可以选择实际上容易实现的结构进行模拟

31. 用三种基本运算，就可对LTI系统微分方程式的运算关系用三种基本运算，就可对LTI系统微分方程式的运算关系 作系统模拟。这三种基本运算是加法、标量乘法与积分。 它们对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法 器、积分器。描述系统的输入、输出关系既可用数学方 程描述,亦可由基本运算器组成的模拟图描述。下面先从 基本运算的模拟开始。

32. 1、加法运算关系 加法器如图3-34所示。

33. 2、标量乘法运算关系 标量乘法器如图3-35所示

34. 3、积分运算关系 积分器如图3-36所示

35. 2、系统模拟的直接形式(微分方程形式) (1) 全极点系统模拟的直接形式 一阶系统的微分方程及系统函数表示 将一阶线性线性系统的微分方程改写为 将 做为积分器输入，得到用基本运算器组成的时域 与复频域模拟图，如图3-37所示

37. 改写微分方程 ，其模拟 积分器的输入为， 、 经两次积分得到 一阶系统模拟的方法可推广至全极点的二阶系统模拟， 其微分方程及系统函数为 如图3.-38所示。

39. 由二阶系统模拟可推广至全极点 阶系统，其微分方程 及系统函数为 阶系统模拟如图3-39所示。

40. 2、一般系统模拟的直接形式 以上模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外， 一般还有零点。例如一般二阶系统的系统函数为 将上式改写为 式3.7-8的模拟如图3-40所示

42. 一般阶系统模拟有 个积分器。 由一般二阶系统的模拟不难推广到 阶系统， 阶系统 的模拟如图3-41所示

43. 时，实际为开路； 在系统模拟图中， 时，实际为短路。 3、其他形式的模拟 复杂系统往往由多个子系统组成，常见的组合形式有 子系统的级联、并联、混联、反馈等。由于用方框图 可以简化复杂系统的表示，突出系统的输入输出关系， 通常用方框图表示子系统与系统的关系。

44. (1) 级联形式 级联模拟实现方法是将分解为子系统（基本节）相乘。 式中 是的子系统。也有将级联形式称为串联形式。 上式表明级联的系统函数是各子系统函数的乘积，子 系统的级联如图3-42所示。

45. 子系统模拟的基本形式有两种，一是实单极点的一阶模子系统模拟的基本形式有两种，一是实单极点的一阶模 拟，二是共轭极点组成的二阶模拟，子系统模拟构成原 则是系统内所有参数为实数。利用基本形式的模拟，再 将各子系统串联起来,可得系统模拟图，称为级联模拟图。 例3-28已知某系统函数为 ，画出其 级联模拟图。

46. 3 -2 -1 解 子系统的级联的一种形式如图3-28所示。

47. 2、并联模拟 并联模拟实现方法是对 部分分式展开 是的子系统。 式中 子系统模拟的基本形式同级联模拟。整个系统可以看 成 个子系统的迭加(并联),其中每个子系统可按上面 的子系统模拟,这种形式称为并联形式。 子系统的并联图如图3-44所示。

48. ┇ 例3-29 已知某系统函数为同例3-28，画出其并联模拟图。 解

49. 2 -1 -1 -2 例3-29系统的并联式如图3-45所示。

50. 3、混联 混联系统的系统函数计算要根据具体情况具体对待。如 图3.-46(a)、(b)所示系统。 图(b) 图 (a) 图(a)的系统函数为 图(b) 的系统函数为