高中数学知识梳理与解题指要

1. 高中数学知识梳理与解题指要 冯祥杰

2. 一、数学高考介绍 二、数学知识梳理 三、数学试题简析 四、数学解题指要

3. 一、高考数学命题的特点与要求 • 高考数学命题的特点 (’99全国)向高为H的水瓶中注水， 注满为止，如果注水量V与水深h的 函数关系的图象如右图所示，那么 水瓶的形状是（ ） B 位置↔数值 V V0 O H h

4. （2002 全国）已知函数f (x)= 则f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+ f ( )= . 结构特征 f()= = f(x)+f( )=1.

5. 高考数学是考查数学基础的考试 ①基础知识 ②基本技能 ③基本数学思想方法 ａ、数形结合（转换策略） ｂ、函数与方程（分析策略） ｃ、分类讨论（分解策略） ｄ、等价转换（分析策略）

6. 高考数学注重能力考查 ①在高考数学命题中，经历了“以知识立意”到以“问题立意”，再发展为“以能力立意”的过程。 ②以能力立意命题，保障了高考突出能力与学习 潜能考查的要求。 ③以能力立意命题拓展了命题思路。 ④以能力立意命题于题型设计，易于形成综合自 然、新颖脱俗的试题。 ⑤以能力立意命题在全卷的整合时，对试题的整体布局、层次安排有高屋建瓴之势。。 ⑥以能力立意命题促进了高考改革的深入发展。

7. （2001 全国）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为（ ） D A. 26 B. 24 C. 20 D. 19 5 ° ° 12 3 4 6 ° A 7 ° B ° 6 ° 12 6 ° ° 8 • 高考数学对难度和速度均有要求 3+4+6+6=19

8. 木 桶 原 理

9. 高考数学的要求 • 知识要求 • ①了解 • ②理解和掌握 • ③灵活和综合运用 • 能力要求 • ①思维能力 • ②运算能力 • ③空间想像能力 • ④实践能力 • ⑤创新意识 • 个性品质要求

10. 二、高考数学知识梳理与复习 • 高考数学知识梳理 • 平面向量 ①理解向量的概念，掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 ②掌握向量的加法与减法。 ③掌握实数与向量的积，理解两个向量 共线的充要条件。

11. ④了解平面向量的基本定理，理解平面向量 的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 ⑤掌握平面向量的数量积及其几何意义，了 解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 ⑥掌握平面两点间的距离公式，以及线段的 定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运 用、掌握平移公式。

12. 集合、简易逻辑 • ①理解集合、子集、补集、交集、并集的 概念。了解空集和全集的意义。了解属 于、包含、相等关系的意义。掌握有关 的术语和符号，并会用它们正确表示一 些简单的集合。 • ②理解逻辑联结词“或”、“且”、“非” 的含义。理解四种命题及其相互关系，掌 握充分条件、必要条件及充要条件的意 义。

13. 函数 ①了解映射的概念，理解函数的概念。 ②了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判 断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。 ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图 像间的关系，会求一些简单函数的反函数。 ④理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂 的运算性质。掌握指数函数的概念、图象 和性质。

14. ⑤理解对数的概念，掌握对数的运算性质， 掌握对数函数的概念、图像和性质。 ⑥能够运用函数的性质、指数函数和对数函 数的性质解决某些简单的实际问题。

15. 不等式 ①理解不等式的性质及其证明。 ②掌握两个（不扩展到三个）正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数的定 理，并会简单的应用。 ③掌握分析法、综合法、比较法证明简单 的不等式。 ④掌握简单不等式的解法。 ⑤理解不等式 ∣a∣- ∣ b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

16. ①理解任意角的概念、弧度的意义，能正 确地进行弧度与角度的换算。 ②掌握任意角的正弦、余弦、正切的定 义。了解余切、正割、余割的定义 ，掌 握同角三角函数的基本关系式： sin2α+cos2α=1， ，tanαcotα=1。 掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期 函数与最小正周期的意义。 ③掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 • 三角函数

17. ④能正确运用三角公式，进行简单的三角函 数式的化简、求值和恒等式证明。 ⑤了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图 像和性质，会用“五点法”画正弦函数、 余弦函数和函数y=Asin（ωx+ψ）的简图， 理解A、ω、ψ的物理意义。 ⑥会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。 ⑦掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用 它们解斜三角形。

18. 数列 ①理解数列的概念，了解数列通项公式的 意义，了解递推公式是给出数列的一种 方法，并能根据递推公式写出数列的前 几项。 ②理解等差数列的概念，掌握等差数列的 通项公式与前n项和公式，并能解决简单 的实际问题。 ③理解等比数列的概念，掌握等比数列的 通项公式与前n项和公式，并能解决简单 的实际问题。

19. 直线和圆的方程 ①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过 两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的 点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练地求出直线方程。 ②掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直 线所成的角和点到直线的距离公式。能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关 系。 ③了解二元一次不等式表示平面区域。

20. ④了解线性规划的意义，并会简单的应用。 ⑤了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 ⑥掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的 参数方程。

21. 圆锥曲线方程 ①掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简 单几何性质。理解椭圆的参数方程。 ②掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线 的简单几何性质。 ③掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线 的简单几何性质。 ④了解圆锥曲线的初步应用。

22. 直线、平面、简单几何体 ①掌握平面的基本性质，会作斜二测的画 法画水平放置的平面图形的直观图；能 够画出空间两条直线、直线和平面的各 种益关系的图形，能够根据图形想像它 们的位置关系。 ②掌握直线和平面平行的判定定理和性质 定理；掌握直线和平面垂直的判定定 理；掌握三垂线定理及其逆定理。 ③理解空间向量的概念，掌握空间向量的 加法、减法和数乘。

23. ④了解空间向量的基本定理；理解空间向量 坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。 ⑤掌握空间向量的数量积的定义及其性质； 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的 公式；掌握空间两点间距离公式。 ⑥理解直线的方向向量、平面的法向量、向 量在平面内的射影等概念。 ⑦掌握直线和直线、直线和平面、平面和平 面所成的角、距离的概念。

24. ⑧了解多面体、凸多面体的概念，了解正多 面体的概念。 ⑨了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画 直棱柱的直观图。 ⑩了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会 画正棱锥的直观图。 11了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的 表面积、体积公式 ○

25. 排列、组合、二项式定理 ①掌握分类计数原理与分步计数原理，并 能用它们分析和解决一些简单的应用问 题。 ②理解排列的意义，掌握排列数计算公 式，并能用它解决一些简单的应用问题。 ③理解组合的意义，掌握组合数计算公式和 组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 ④掌握二项式定理和二项展开式的性质，并 能用它们计算和证明一些简单的问题。

26. 概率 ①了解随机事件的发生存在着规律性的随 机事件概率的意义。 ②了解等可能性事件的概率的意义，会用 排列组合的基本公式计算一些等可能性 事件的概率。 ③了解互斥事件与相互独立事件的意义， 会用互斥事件的概率加法公式与相互独 立事件的概率乘法公式计算一些事件的 概率。 ④会计算事件在n次独立重复试验中恰好发 生k次概率。

27. 统计 ①了解随机抽样，了解分层抽样的意义， 会用它们对简单实际问题进行抽样。 ②会用样本频率分布估计总体分布。 ③会用样本估计总体期望值和方差。

28. 导数 ①了解导数概念的实际背景。 ②理解导数的几何意义。 ③掌握函数y=c（C为常数）、y=xn（n∈N+）的导数公式，会求多项式函数的导数。 ④理解极大值、极小值、最大值、最小值的 概念，并会用导数求多项式函数的单调区 间、极大值、极小值及闭区间上的最大值 和最小值。 ⑤会利用导数求某些简单实际问题的最大 值和最小值。

29. 关键 设函数f(x)的导数为f (x), 且 f(x)=x3+2x f (1) 则 f (0)= ( ) A. 0 B. -3 C. -6 D. 6 理解 f (1)是常量 ∵ f (x)=3x2+2f (1), ∴ f (0)=2f (1).① 又f (1)=3+2f (1), ∴ f (1)=-3. 代入①式,得 f (0)=-6.

30. 实：小处不可随便 • 活：海阔凭鱼跃 • ①解题后的再思考 • 例 求证： • sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）= sin2θ（n∈z） • 通常解法是： • 证明： • （1）当n为偶数时，设n=2k（k∈z） • sin（nπ+θ）cos（nπ-θ） = sinθcosθ = sin2θ 1 1 2 2 • 高考复习“四字诀”

31. （2）当n为奇数时，设n=2k+1（n∈z） sin（nπ+θ）cos（nπ-θ =sin（2kπ+π+θ）·cos（2kπ+π-θ）=（-sinθ）（-cosθ）= sin2θ 综上得：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）= sin2θ 无论是n为偶数，还是n为奇数，都有：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）= sin2θ， 这就引起了我们的再思考。 思考：上面的讨论是雷同的，是否可以回避? 1 1 1 2 2 2

32. ②深层次挖掘教材 如：{an}为等差数列，a1、a2、a9成等比数列 则 题目的来源：选择特殊数列为背景，最常 见、最先想到的是自然数列，易知它满足条 件，所以选an=n。 再如函数这一部分，复习时可对y= 和y=logax的图象和性质进行研究。

33. 广：天高任鸟飞 ①全面复习，知识和能力并重 • ②学会学习 • 新：万变不离其宗 • ①“旧题”新解，追求优美 • 例如：过抛物线y2=x上一点（4，2），作倾 • 角互补的两条直线AB、AC交抛物线B、C，求证：直线BC的斜率为定值。 思考： 按照与作图步骤相吻合的思路来求解。

34. y2=x y=k（x-4）+2 的解。 解之得XB= ·（4k2-4k+1），YB= ，YC= 同样的方法可得 XC = 可求得KBC= 解：设KAB=K，则，KAC=-K，AB的方程为y=k（x-4）+2 因此，A（4，2），B（XB，YB）是方程组

35. 再思考：在解题过程中，求B点坐标的计算量比较 大，应该想办法改进。 改进：先设B、C坐标。 改进后的程序为： 设B、C坐标→求出KAB、KAC→表示KBC 设B（ ，t2），C（ ，t2）（∣t1∣≠∣t2∣） 这时KAB= ， KAC= ∵KAB=-KAC，即 我们还再回顾一下原来的解题程序。 设KAB→写直线AB、AC的方程→解出B、C→表示KBC y A 0 x B C

36. 化简得：t1+2= -（t2+2） 下面怎么办？似乎迷失了方向。我们还是 应该明确一下本题的目标。要证明KBC是 一个定值，于是不妨先求出KBC KBC= 这就好了，原来是要证明t1+t2是定值。 这样，就自然想到将t1+2=-（t2+2）变形为 t1+t2= - 4 本题圆满获得解决。 再改进：设B、C坐标→表示KBC→求出KAB、KAC ②看透本质，新题通法。

37. 三、去年高考数学试题的亮点 • “知识与技能”突出思想和智慧 • 程序性 • 主干性 • 这里的技能特性也有两点： • 独立操作性：由重复再现过渡到独立 完成； • 迁移性：通过联系的思想与转换的手 段达到灵活运用、举一反三和触类旁 通的目的。

38. 例1 （高考第一题第6小题）某校为了了解学生的课外 阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某 一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图形 表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每 人的课外阅读时间为 A、0.6小时 B、0.9小时 C、1.0小时 D、1.5小时 解析 一天平均每人课外阅读时间为 =0.9（小时） 故选B。 人数（人） y 20 15 10 5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 x 时间（小时）

39. 例2（高考第一题第8小题）设k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）。在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴变于A点，它的反函数 y=f-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函 数的图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是 3，则k等于（ ） A、 3 B、 C、 D、 y 1 B p 0 1 A x

40. 解析:依题意A（1，0），B（0，1）， y=f（x）与y=f-1（x）的交点必在 直线y=x上。 由 y=k（x-1）， y=x 解得：x= 因为S四边形OAPB=2S△OPA =2·∣OA∣·∣xp∣= =3， 所以k= 故此选B

41. “过程与方法”重视价值和策略 • 例3 (高考第二题第16小题)平面向量a、b • 中，已知a=(4，-3)，∣b∣=1且a·b=5则向量b=。 解析 解决本题至少可从这样两个角度思考 [方法1] 设a与b夹角为θ。 则由a·b=5→∣a∣∣b∣cosθ=5 →5·1·cosθ=5 →cosθ=1 →θ=0º 所以b与a共线且方向相同， b=（ ，- )。

42. [方法2] 设b=（x，y） x2+y2=1 x= 4x-3y=5 y= - 或利用直线4x-3y=5与圆x2+y2=1相切的特征，借助几何图形，利用几何方法，求得切点坐标为（ ，- ） b=（ ，- ） 则 →

43. “情感、态度与价值观”体现感悟和动力 • 例4（高考第六大题）制订投资计划时， 不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考 虑可能出现的亏损。 • 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根 据预测，甲、乙项目可能的最大利率分别 为100%为50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资 多少万元，才能使可能的盈利最大？

44. 解析 设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知 • x+y≤10， • 0.3X+0.1y≤1.8, • x≤0, • y≥0. • 目标函数z=x+0.5y. • 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。 • 作直线L：x+0.5y=0，并作平行于直线L的一组直线。 • X+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点。 Y 18 10 L M(4,6) x+y=10 0 6 10 x 0.3x+0.1y=1.8 x+0.5y=0

45. 解方程组 x+y=10 0.3x+0.1y=1.8 得x=4，y=6 此时z=1×4+0.5×6=7（万元） 因为7>0， 所以x=4，y=6时z取最大值。 答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投 资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。

46. 四、高考数学复习解题指要 • 多思善想 • 思联系，网络知识，夯实基础 • 例1 α、β是两个不同的平面，m、n是 平面α及β之外的两条不同直线，给 出四个论断：①m⊥n，②α⊥β， ③n⊥β，④m⊥α，以其中三个论 断作为条件，余下一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题。

47. 思多解，多方出击，培养思维的发散性 例2 已知a>0，b>0，c>0，求证： （a+b+c） 思路1：题目结构中a、b、c具有轮换对称性 可将右式分为三个部分，用综合法易证： （a+b）， （b+c）， （a+c），三式相加即得。

48. 是三角函数的特殊值，联系三角知识，可从右边证到左边。是三角函数的特殊值，联系三角知识，可从右边证到左边。 思路2： （a+b）=asin +bcos sin（ +φ）≤ = （a+c）≤ （b+c）≤ 三式相加即得。

49. ∣AB∣= ， a+b=∣AB∣sinα+∣AB∣cosα = （sinα+cosα） = sin（α+ ） ≤ 所以 ≥ （a+b） 思路3 观察左边三个根式，联系立几知识，它们 是以a、b、c为三度的长方体的三个面的对 角线长度，可构造长方体来证明，如图: B α a b A c 同理： ≥ （a+c） 三式相加即得。

50. 思规律，找变化，触类旁通 例3 试证以过椭圆的焦点的弦为直径的圆必 和椭圆相应的准线相离。 例4 已知异面直线a和b所成的角为50º，P为　　空间任一定点，则P点且与a、b所成的　　角都是30º的直线有且仅有 （ ） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 　　在本题中50º和30º的设置对答案起着重　　要作用。因此，可通过改变50º和30º的　　大小来深化对这类题目的理解。