Equação de Euler / Bernoulli

1. Equação de Euler / Bernoulli

2. Equações de Q. Movimento: Linha do Tempo (300 anos) Euler (1750) , Re >> 1 L. Euler – Suíço( 1707  1783) Balanço: inércia e pressão Ausente: força viscosa Balanço: inércia e pressão Ausente: força viscosa Bernoulli (1738) Daniel Bernoulli - Suíço ( 1700  1782) Navier(1823) Stokes(1845) Stokes (1850), Re << 1 Re ~ 1 George Stokes – Inglês ( 1819  1903) Claude Navier – Frances ( 1785  1836) George Stokes – Inglês ( 1819  1903) Balanço: atrito e pressão Ausente: força inércia Balanço: inércia, atrito e pressão

3. Escoamento ReL>> 1: Camada Limite & Euler • Eq. Euler reduz a ordem da eq. Q.M.de 2 para 1. Satisfaz a uma condição de contorno para cada variável e não mais duas como na eq. N-S. Isto implica que a eq. Euler permite deslizamento na parede! d Região onde o atrito é desprezível. Eq. Euler é válida, fora da Camada Limite1 L Região onde o atrito (viscoso) não é desprezível. Eq. Euler não é válida, dentro da Camada Limite (1) conceito introduzido por Ludwig Prandtl – Alemão ( 1875  1953)

4. Todos os fluidos reais possuem viscosidade entretanto, há regiões do escoamento onde os efeitos viscosos estão ausentes. • Estes casos ocorrem com freqüência em escoamentos externos com Re elevados. • A viscosidade influi no escoamento somente próximo da parede caracterizando uma camada limite, • Na região externa à parede os termos viscosos são 1/Re vezes menores que os termos inerciais e portanto eles são descartados da equação da quantidade de movimento.

5. Equação de Euler: Equação da Quantidade de Movimento Sem Atrito. • Coordenadas Cartesianas

6. Euler: algumas características: • Balanço: Inércia, Pressão (tensão normal) e força g;cisalhamento não causa movimento do fluido em Euler; ausência de viscosidade! • A ordem da Eq. Q.M. reduziu de 2  1 só atende 1 c.c. para cada variável para cada direção Euler permite deslizamento na parede! • Escoamentos Reais x Euler • Fluidos reais possuem viscosidade entretanto para Re>>1: • os efeitos viscosos concentram-se numa camada limite; • externo à camada limite termos viscosos são O(1/Re) vezes menores que os termos inerciais;

7. Plano da Aula Parte (I) – Dedução da Eq. Bernoulli • Integração da eq. Euler ao longo de uma linha de corrente & aplicações. • Escoamento de Eulerirrotacional e a eq. de Bernoulli. • Bernoulli e sua relação com a 1ª e 2ª leis da Termodinâmica. • Conclusões Parte (II) – Aplicações da Eq. Bernoulli • Escoamento incompressível • Equações linearizadas (acústica) • Escoamento compressível regime permanente • Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann) • Referencial não inercial (escoamento geotrópico)

8. Parte I 06 Seção – I

9. Motivação • Há pelo menos duas formas para demonstrar Bernoulli: • Equação Euler; • 1ª Lei da Termodinâmica. • Questão: quais condições afetam na uniformidade de C? • C vale ao longo de uma linha de corrente ou para qualquer ponto? • Qual é a relação C p/ escoam. barotrópico ou processo isoentrópico? • C altera se o escoamento for rotacional ou irrotacional?

10. Seção I-A Eq. Euler em Coordenadas Ajustadas à Linha de Corrente 06 Seção – I

11. Eq. Euler em Coordenadas Ajustadas à Linha de Corrente • A eq. de Eulerpara um sistema de coordenadas ortogonal local composto por dois versores: um tangente (s) e outro normal (n) à linha de corrente • Como V é sempre tangente à linha de corrente, ela não possui componente normal, i.e. V=(Vs,0n) e V = |V|. • A representação com s e n aplica-se a sistemas 2D. Caso contrário seria necessário introduzir um versor binormal para definir uma base ortogonal 3D. ^ ^ linha de corrente dl n V ^ s ^ Q Rc ^ ^ ^ ^ Seção - I

12. Componentes da eq. Euler: Aceleração • A derivada total : • Abrindo as derivadas e agrupando os termos : • Pode-se determinar a derivada do versor s com relação ao comprimento de arco ‘l’. Seção - I

13. Componentes da eq. Euler: a derivada para ->0, ^ • Sistema de coordenadas local, a posição de s varia ao longo da curva que possui raio de curvatura Rc: ^ |s| ^ s/2 q Rc dl q Q Rc p-q Q logo: A taxa de variação do versors com o arco lé um vetor que aponta na direção normal, sentido negativo, cujo módulo é o inverso do raio de curvatura da linha de corrente! Seção - I

14. Componentes da eq. Euler: Aceleração ^ ^ • A aceleração nas direções s e n: • Escoamento transiente : • linhas de corrente paralelas → o módulo V pode variar com o tempo mas a direção do versor s não, portanto, s/t = 0. • linhas de corrente com curvatura → a direção do versor s pode mudar com o tempo, s/t  0 e seu valor não pode ser determinado à priori. • Escoamento permanente, s/t = 0 ^ ^ ^ ^ ^ Seção - I

15. Componentes da eq. Euler: Pressão P* ^ ^ • O termo P/ para ser expresso nas direções s e n é necessário que  seja uma função apenas da pressão; • Isto é genericamente denominado por escoamento ‘Barotrópico’ onde  = f(P) a ser definida posteriormente; • A transformação permite trabalhar com notação mais compacta! ^ ^ • As componentes nas direções s e n são: Seção - I

16. Componentes da eq. Euler: Acel. g • As componentes da aceleração da gravidade nas direções s e n são: ^ ^ Q g z ^ k dl n s V • Produtos escalares expressospor meio da taxa de cota z em função de ‘s’ e de ‘n’: linha de corrente Rc q Q q As componentes gs e gn passam a ser: Seção - I

17. Eq. Euler: direções s e n ^ ^ Eq. de Eulerao longo da linha de corrente: ou Eq. de Eulernormal à linha de corrente: Seção - I

18. Integração Euler direção s  BERNOULLI g ^ • Integrando a equação ao longo de uma linha de corrente entre os pontos (1) e (2): dl 2 z ^ n ^ s V Q 1 Rc z2 z1 ^ • Modelo transiente válido só p/ linhas corrente paralelas s/t = 0. • O lado direito muda instante a instante. • Resta definir a função barotrópicaρ(P). Seção - I

19. Hipótese de Escoamento Barotrópico: = (P) • Processo reversível (sgen = 0) • Fluido Compressível: • processo politrópico reversível e gás ideal: = (P) → P/ n = P1/ 1n Fluido incompressível=const. • 1< n <  → Q ≠ 0 e  = Cp/Cv • n =  → Q = 0 • ‘n’ é determinado conhecendo Q trocado ao longo de cada L.C. mas, raramente esta informação é disponível. • Para estender a aplicação de Bernoulli é feita uma hipótese(+): processo adiabático, Q = 0, ou isoentrópico: • Para fluidos com apenas um modo de trabalho (compressível), ρ=ρ(P,s) porém, s=cte → ρ=ρ(P) (+) hipótese será verificada contra 1ª e 2ª leis na seção III Seção - I

20. Resumo :Bernoulli ao longo Linha de Corrente (processo reversível e adiabático) • Escoamento Compressível: p1/ρ1 = p2/ρ2 • Escoamento Incompressível,  = ctedp = p|1,2 • O termo transiente pode variar instante a instante e aplica somente para linhas de correntes paralelas. • Compressibilidade ~ Ma2, veja nota nos ‘Slides Complementares’ Seção - I

21. Nota Histórica • Teorema de Bernoulli: originalmente proposto: incompressível, ao longo de uma linha de corrente e regime permanente. http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ • Seu sucesso deve-se ao fato que ela é uma das ‘poucas’ (talvez a única) expressões analíticas na área que relaciona velocidade e pressão de forma genérica. 26 Seção - I

22. Algumas Aplicações Bernoulli s ^ Avança

23. CargaVelocidade CargaPressão CargaElevação Carga Total Constante Altura Piezométrica Total Retorna

24. Manifestação Experimental Bernoulli • A passagem do ar entre os balões faz com que a pressão diminua e surja uma força radial aproximando as esferas; Patm P < Patm Retorna

25. Escoamento num Vertedouro • A vazão volumétrica Q num vertedouro pode ser estimada utilizando Bernoulli. • (1) V = 0, z = 0 e Patm • (2) V = ?, z = -h e Patm •  V2 = 2gh (1) Patm (2) • Considerando na seção ‘d’ a velocidade é uniforme e igual a V2, então: Retorna

26. Tubo de Pitot (1732) (1) Corrente Livre (2) Estagnação; V=0 P. Estat P. Din P. Estag. = 0 Pressão Estática Corrente Livre: P, V, T Pressão Estagnação ou Pressão Total Manômetro Diferencial Retorna

27. Aplicação: Bernoulli Transiente 1 2 D h=cte d z L • Reservatório de água com nível constante é conectado a uma tubulação de descarga com uma válvula na extremidade. Determine como a velocidade evolui com o tempo. se d<<D → V2>>V1 0 0 Retorna

28. Aplicação: Bernoulli Transiente • a) o tempo para Q atingir um valor constante; • A equação diferencial ordinária não-linear pode ser resolvida isolando V de t e integrando: • Denominando vamos encontrar que • O tempo para atingir 99% de V é quando V = 0.99 V , logo:

29. Aplicação: Bernoulli Transiente • b) como a velocidade evolui com o tempo; • Usando a transformação de Ricatti, a EDO de 1a ordem pode ser transformada numa EDO Linear de 2a ordem: • Resolvendo para u e fazendo a transformação inversa para encontra V, teremos:

30. Eq. Euler Direção n ^ g 2 z n ^ s V • A eq. Euler n relaciona-se com duas linhas de corrente adjacentes que possuem os mesmos Rc entre os pontos (1) e (2): 1 Rc z2 ^ ^ z1 • Simplificações • Escoamento incompressível; • Força gravitacional desprezível • Se há L.C com curvaturahá gradiente de pressão normal. • A pressão aumenta do centro para a periferia ao longo do raio de curvatura.

31. Equação de Euler • Lembrando que para escoamento incompressível, P* = P/ Seção - I

32. Eq. Euler direção n g ^ 2 z n s V • Relaciona o gradiente de pressão normal a linha de corrente à força centrífuga! 1 Rc z2 ^ ^ z1 • Simplificações: • Escoamento incompressível; • Força gravitacional desprezível • Curvatura das linhas de corrente causa um gradiente de pressão normal. Corolário: linhas de correntes paralelas não possuem gradiente de pressão normal! • A pressão aumenta do centro para a periferia ao longo do raio de curvatura. Seção - I

33. Efeito da Curvatura na Linha de Corrente Rc Pi Pe d V V2/Rc • Linha de corrente curva - O gradiente de pressão n ‘empurra’ a partícula para dentro: força centrípeta. Há um equilíbrio entre os termos (V2/Rc) e grad P na direção n. ^ Rc ^ Aplicação • Separação centrífuga sólido,  < s- O gradiente de pressão n do líq. é menor que a aceleração centrífuga do sólido. • Sólido desloca-se radialmente para fora. ^ fluido sólido Seção - I

34. Escoamento Secundário: TeaCupFlow (filme) P2 P1 • Vaso cilíndrico com escoamento de linhas de corrente circulares e concêntricas. • Devido a curvatura das linhas de corrente P2>P1 pois o gradiente de pressão deve ‘equilibrar’ a força centrífuga. • Próximo ao fundo do vaso a viscosidade impede que o fluido tenha movimento tangencial, a força centrífuga diminui e o gradiente de pressão P2-P1 ‘empurra’ o fluido para o centro do vaso criando a corrente secundária. Seção - I

35. Escoamento Secundário: Dutos e Canais Curvos • A curvatura do canal estabelece um gradiente de pressão de (1) para (2). • No fundo do canal a viscosidade impede que o fluido ganhe velocidade tangencial (não deslizamento) mas o gradiente de pressão impõe o escoamento de (1) para (2) Seção - I

36. Formação de Curvas e Lagos em Rios • O escoamento secundário é um dos mecanismos físicos que atua nos fenômenos de: • assoreamento das margens de rios, • formação de curvas em rios, • e, eventualmente, formação de lagoas. Seção - I

37. Seção I-B A Equação de Bernoulli é Válida Somente ao Longo de Uma Linha de Corrente? - generalização para casos 3D - 39 Seção - II

38. Para responder esta pergunta é necessário reescrever a eq. de Euler com o auxílio das identidades vetoriais: • sendo . Substituindo estas definições em Euler: • Observe similaridade com Euler ao longo de uma L.C. (+) por hipótese um processo isoentrópico: p1/ρ1 = p2/ρ2 Seção - II

39. Eq. Euler para Escoamento Irrotacional • Se o escoamento for irrotacional o campo de velocidades é definido pelo potencial de velocidades e a vorticidade é identicamente nula: • Nestas condições a eq.Euler reduz para: • O termo destacado pode depender do tempo, por ex: f(t),mas f(t) é desconhecido e não possui significado físico. • Pode-se definir um novo potencial ’ tal que: ’=  + h(t)dt. • Substituindo na expressão encontra-se h(t) = f(t) , para que sempre seja verdadeira h(t) = f(t)=C portanto ela não depende de ‘t’: • com C válido para qualquer ponto no escoamento Seção - II

40. Geração Vorticidade pela Viscosidade Vorticidade gerada nas paredes. Bernoulli aplica-se somente no núcleo que está acelerando. Vorticidadegerada nas paredes e transportada para a esteira. Bernoulli é aplicável fora da região de esteira. Vorticidade gerada pelo cisalhamento entre camadas de fluidos. Bernoulli é aplicável fora desta região. • Veja geração de vorticidade por aquecimento nos ‘Slides Complementares’ Seção - II

41. Eq. Euler para Escoamento Irrotacional (cont.) • Para um processo reversível, adiabático e irrotacional a equação de Euler reduz para uma equação escalar, uma incrível simplificação! • Junto com a equação da massa, • e com a relação isentrópica:  = Pc2(+), as variáveis P e podem ser determinadas. (+) c é a velocidade de propagação do som, c2 = p/|s Seção - II

42. Eq. Euler para Escoamento Irrotacional • A constante ‘C’ passa a ser válida para qualquer região do domínio: • Esta equação pode ser simplificada para dois casos: • Um deles é para regime permanente onde o potencial não varia com o tempo e há um balanço entre pressão, velocidade: • O 2º caso ocorre ligado a grandes pressões presentes no início do escoamento gerado pelo movimento impulsivo de uma fronteira: Seção - II

43. Seção I - C • Até o momento Bernoulli foi analisado a partir da integração da equação de Euler; • Pretende-se analisar Bernoulli a partir das 1ª e 2ª leis da termodinâmica. A Relação de Bernoulli com as 1a e 2a Leis da Termodinâmica e o Teorema de Crocco 45 Seção - III

44. Bernoulli & 1a Lei para Regime Permanente • Bernoulli – • 1a Lei(+) – • Pelo fato que ambas equações possuem: • as mesmas unidades (energia específica) e • termos semelhantes • Pode-se imaginar que, sob determinadas condições, estas equações sejam linearmente dependentes! (+) ‘u’ é a energia interna específica Seção - III

45. Bernoulli & 1a Lei  q = weixo = 0 • Bernoulli ↔ 1a Lei = • Igualando Bernoulli com a 1ª lei e fazendo os estados (1) e (2) se aproximarem encontra-se: • Considerando que: dh =VdP+Tds, logo para ser verdadeira a igualdade é necessário que o escoamento seja isoentrópico. • ds=0 valida a hipótese de escoamento barotrópico (seção I)! é o volume específico (m3/kg) Seção - III

46. Bernoulli: um Caso Particular da 1ª Lei • Quando o processo for: • Reversível  sgen = 0 • Sem trabalho eixo  w =0 • Sem Transf. de Calor  sin = sout • 1ª Lei e Bernoulli e são concidentes: ao longo L.C.→ ω≠ 0 qualquer pto.→ ω = 0 • Releitura Bernoulli: a energia total se conserva! • Resta esclarecer dependência com a vorticidade. Ela está relacionada com a pressuposta uniformidade das propriedades nas fronteiras. • Para fluidos com densidade constante calor e energia mecânica ficam desacoplados, veja discussão nos ‘Slides Complementares’. Seção - III

47. Teorema de Crocco (1937) • Escoamento em regime permanente e isoentrópico:  • C é um parâmetro que depende de s e : (+) s ≠ cte Bernoulli não existe s = cte C válido ao longo L.C.  C válido qualquer ponto • Aplicando  no lado direito da expressão chega-se ao  C: Luigi Crocco – Italiano ( 1908 1986) (+)  não é apenas função de P; Seção - III

48. Uniformidade de C ao Longo Linha Corrente dl Multiplicando-se ambos os lados da eq. de Croccopelo arco da linha de corrente, dl • O 2º termo é nulo pqé sempre normal à linha de corrente! Resta: • Para que C seja uniforme (C 0) ao longo de uma linha de corrente é necessário escoamento isoentrópico. Seção - III

49. Uniformidade de C para Qualquer Ponto dl • Se o escoamento for irrotacional e isoentrópico então: 0, s = const. 0,  = 0 • C é uniforme em todo escoamento e não somente ao longo de uma linha de corrente. Seção - III

50. Estudo de casos particulares Seção I - D • Fluido com densidade constante • Escoamento transiente