Bölüm 8: EĞRİ UYDURMA

1. Bölüm 8: EĞRİ UYDURMA Fizikte laboratuarda yapılan deneysel ölçümlerin ne kadar hata payı içerdiğini, veya belli teorik modellere ne kadar uyduğunu bilmek önemlidir. Bu amaçla verilerin standart ve herkes tarafından anlaşılır yöntemlerle analiz edilmesi gerekir. Bir fiziksel büyüklüğün davranışını açıklayan teorik bir model varsa, bu modelin deneysel ölçümlerle ne kadar uyumlu olduğunu bilmek isteriz. Örneğin, bir y büyüklüğünün x değişkenine göre değişimi şekilde gösterildiği gibi ölçülmüş olsun. Şekil 8.1:

2. Teorik modele göre y=ax+b şeklinde lineer bir bağımlılık öngörülüyorsa, bu deneysel noktalara en az hata payı ile uyum gösteren doğru hangisi olur. Bu doğruyu bulursak, a ve b katsayılarını da hesaplayabiliriz. İNTERPOLASYON: Bir f(x) fonksiyonunun x1,x2,….,xN veri noktalarında aldığı y1,y2,….yN değerleri verilmişse, fonksiyonun başka bir x noktasında alacağı değeri bilmek istiyoruz. Aranılan x değeri, [x1,xN] aralığı içinde yer alıyorsa bu işleme interpolasyon, dışında yer alıyorsa extrapolasyon adı verilir. İnterpolasyon yönteminde genel yaklaşım, bilinmeyen f(x) fonksiyonu yerine, bu veri noktalarını sağlayan bir polinom kullanmaktır. İki noktadan geçen polinom bir doğru, üç noktadan geçen polinom kuadratik denklem olduğuna göre, N sayıda noktadan geçen polinomun derecesi N-1 olur: Bu polinomun N sayıda veri noktasını sağlaması isteniyorsa, olmalıdır.

3. . . . Daha açık yazarsak, Burada bilinmeyen katsayıları için N sayıda bir denklem sistemidir. Daha önce öğrendiğimiz Gauss elemesi yöntemiyle ai katsayıları belirlendikten sonra, istenilen herhangi bir x değeri için polinomun değeri hesaplanıp y(x) interpolasyon değeri bulunur. Lagrange İnterpolasyonu: Yukarıda katsayıları için denklem sistemini çözmeye gerek kalmadan, N sayıda noktayı sağlayan polinomu doğrudan yazmak mümkündür. Lagrange tarafından bulunan bu klasik formül şöyledir:

4. Gerçekten de x=xi olduğunda, önünde yi çarpanı olan terim dışındakiler sıfır ve polinomun değeri yi olmaktadır. Bu formüldeki her terimin (N-1) dereceden birer polinom olduğuna dikkat edelim. Üç ayrık nokta için kuadratik interpolasyon oluşturursak; bu ikinci dereceden bir polinom olacaktır. Lagrange interpolasyon fonksiyonları

5. tanımlanırsa P1(x) ve P2(x) interpolasyon formülleri aşağıdaki şekilde ifade edilir: Kübik Şerit İnterpolasyonu: N tane veri noktasından geçen (N-1) gibi yüksek dereceli bir tek polinom kullanmak, aşırı salınımlara yol aşıyordu. O halde, iki-üç noktayı kapsayan daha küçük aralıklarda, daha küçük dereceden polinomlar kullanarak bu aşırı salınımları engelleyebiliriz. Ancak, bu polinom parçaları bir aralıktan diğerine yumuşak geçiş yapmalıdırlar. Eğer ardışık iki aralıktaki polinomların 1. ve 2. türevleri geçiş noktasında sürekli olurlarsa, geçişler düzgün olacaktır. En kullanışlı olan kübik şerit (spline) yönteminde iki noktadan geçen kübik bir polinom alınır ve bu iki noktada 1. ve 2.türevin sürekliliği koşuluyla katsayılar tayin edilir.

6. Şekil 8.2: [xi,xi+1] aralığını göz önüne alalım. xi noktasını sağlayan kübik polinom şöyle olur: Şimdi sınır koşullarını koyalım. Bu polinom xi+1 noktasında, komşu polinomla aynı değeri vermelidir:

7. Burada katsayılar arasında iki bağıntı elde ederiz: sonra, 1. ve 2.türevlerin sürekliliği koşulları yazılır. (N-1) sayıdaki aralığın her birinde 4 bilinmeyen varsa, toplam 4(N-1) bilinmeyen eder ve bize bu kadar sayıda bağıntı gerekir. Aralıkların arsındaki sınırların sayısı (N-2) olduğuna göre, bu sınırlarda toplam 4(N-2) bağıntı yazılabilir. O halde, 4 bağıntı daha gerekir. Bunlardan ikisi fonksiyonun iki uçtaki değerinden gelir. Şimdi iki koşul daha gerekir. İki uçta 1. ve 2.türevler belli olmadığı için bu koşullar en doğal olarak, ve alınır. Daha sonra, işlemler yapılarak katsayıları veren bağıntılar bulunur.

8. Burada hi=xi+1-xi adım uzunluğu her aralık için aynı olmak zorunda değildir. ci katsayıları da bir tekrarlama bağıntısı olarak verilirler: EĞRİ UYDURMA Veri analizinde ikinci önemli konu, deneysel verileri teorik bir modele uydurmaktır. Bir deneyde ölçülen N sayıda veri noktası (xi,yi) olsun. Teorik bir modelde bu değişkenler arasında y=f(x) gibi bir bağıntı olacağı öngörülüyorsa, veri noktalarından en az hata ile geçen f(x) eğrisi ne olmalıdır? f(x) bir doğru veya bir polinom olabilir. Basit olması açısından önce Lineer en küçük kareler yöntemini ele alalım.

9. Lineer En Küçük Kareler Yöntemi: Şekil 8.3: Şekilde görüldüğü gibi, y=ax+b doğrusunun veri noktalarının hepsinden geçmesi imkansızdır. Herhangi bir (xi,yi) noktasının bu doğrudan sapma miktarı, Burada si farkı artı veya eksi olabileceğinden karesini gözönüne almak daha uygundur.

10. Tüm deneysel noktaların doğrudan sapma miktarlarının kareleri toplamı, Toplam sapma miktarı a ve b katsayılarının bir fonksiyonudur. a ve b değerleri ne kadar iyi seçilirse S değeri de o kadar küçük olur. Bu durumda S(a,b) büyüklüğünü minimum yapan a ve b değerleri nelerdir. Bir fonksiyonun minimum noktası 1.türevi sıfıra eşitleyerek bulunur. S’nin a ve b ye göre kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitleyerek aşağıdaki ifadeler elde edilir;

11. Buradaki toplamalar, deneysel veriler cinsinden hesaplanan, yani bilinen değerlerdir. O halde, bu iki denklem a ve b bilinmeyenleri için lineer bir denklem sistemi olur. Bunu matris şeklinde yazarsak; elde edilir. Polinom En Küçük Kareler Yöntemi: Lineer en küçük kareler yöntemi için bulduğumuz sonuçları, aynı yolla daha yukarı dereceden polinomlara genişletebiliriz. Bulacağımız polinomun derecesi M olsun;

12. . . . . . . Her veri noktasında bu eğriden olan sapma miktarı, olup, N sayıdaki veri noktasında oluşan sapmaların kare toplamı, olur. S’nin minimum değerini bulmak için, her bir aj katsayısına göre 1.türevlerin sıfır olmasını isteriz.

13. Bu denklemler a bilinmeyenine göre yeniden düzenlenirse, M+1 bilinmeyenli bir lineer denklem sistemi oluşur; (M+1). dereceden bu lineer denklem sistemini Gauss elemesi yöntemiyle çözerek Katsayılarını bulabiliriz.