Optimizacion

1. Optimización Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I

2. Tema: Optimización I Unidad IX Presentación Este desarrollar las habilidades y destrezas necesarias para resolver problemas de optimización. material tiene como finalidad Para ello, se plantean una serie de ejercicios, los cuales serán desarrollados paso a paso, resaltando aquellos aspectos importantes para resolver cada uno de ellos. Es importante recalcar que este tema, es de suma importancia para la aplicación de las derivadas. 2

3. Tema: Optimización I Unidad IX Índice Presentación 2 Optimización 4 Ejemplo #1 5 Ejemplo #2 15 A manera de cierre 24 Créditos 25 3

4. Tema: Optimización I Unidad IX Optimización Los problemas de optimización tiene como objetivo maximizar o minimizar funciones. Para resolver un problema de máximo o mínimo, es necesario construir la función que modela el problema y tratar que está depende de una sola variable. 4

5. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Resuelva el siguiente problema: “Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: la zona impresa debe ocupar 90 ??2, el margen superior debe medir 3 ??, el inferior 2 ??, y los márgenes laterales 4 ?? cada uno. Determine las dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible”. 5

6. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 1 Representar el problema 3 90 ??2 ? ? + 5 4 4 ? 2 ? + 8 Paso 2 Generar la función objetivo ? = ? + 5 ? + 8 Para minimizar la cantidad de papel, es necesario determinar el área de la lámina del cartel. 6

7. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 3 Formular la ecuación auxiliar ? ∙ ? = 90 La ecuación auxiliar permite representar una variable en términos de otras, con la finalidad de establecer la función objetivo en una sola variable. Paso 4 Despejar la variable “?” de la ecuación auxiliar. ? =90 ? 7

8. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 5 Sustituir “?” simplificar. en la función objetivo y 90 ?+ 5 ?(?) = ? + 8 ? ? =90 ?∙ ? + 5? + 8 ∙90 ?+ 40 ? ? =90 ?∙ ? + 5? + 8 ∙90 ?+ 40 ? ? = 90 + 5? +720 + 40 ? ? ? = 130 + 5? +720 ? 8

9. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 6 Calcular la derivada de la función objetivo ?′ ? = 5 +0 ∙ ? − 720 ∙ 1 ?2 ?´ ? = 5 −720 ?2 Paso 7 Resolver la suma de fracciones ?′ ? =5?2− 720 ?2 9

10. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 8 Obtener los puntos críticos 5?2− 720 ?2 = 0 5(?2−144) ?2 5(? − 12 )(? + 12) ?2 = 0 = 0 ?2= 0 ? − 12 = 0 ? + 12 = 0 ? = 0 ? = 12 ? = −12 De los puntos críticos que se obtuvieron, ? = 0 corresponde a una restricción, razón por la cual no se puede presentar un máximo ni un mínimo. 10

11. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 9 Calcular la segunda derivada de la función objetivo. ?´´ ? =0 ∙ ?2− −720 ∙ 2? ?4 ?´´ ? =1440? ?4 ?´´ ? =1440? ?4 ?´´ ? =1440 ?3 11

12. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 10 Evaluar los puntos críticos en la segunda derivada. ?´´ 12 =1440 Punto mínimo 123> 0 El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor positivo, entonces en ese punto crítico se presenta un mínimo relativo. 320 −123< 0 Punto máximo ?´´ −12 = El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor negativo, entonces en ese punto crítico se presenta un máximo relativo. 12

13. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 11 Determinar el valor de las variables “?” y “?” ? = 12 De los puntos críticos que se obtuvieron, en ? = 12 es donde la función objetivo alcanza un mínimo. ? =90 ?=90 12=15 2= 7.5 Paso 12 Determinar las dimensiones del cartel ? + 8 = 12 + 8 = 20 ? + 5 = 7.5 + 5 = 12.5 13

14. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #1 Paso 13 Dar la respuesta Las dimensiones de la lámina del cartel que minimizan la cantidad de papel son: 20 ?? ? 12.5 ?? 14

15. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Resuelva el siguiente problema: Una Pymes fabrica cajas con tapa y base cuadrada de volumen 288 ??3. El precio del material utilizado para la base es de $5 por centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa es de $3 por centímetro cuadrado. Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lo más económica posible. 15

16. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Paso 1 Representar el problema ? ? ? Base ? = ?2 Lateral ? ? ? = ? ∙ ? ? ? Tapa lateral ? ? ? = ?2 ? = ? ∙ ? ? ? 16

17. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Paso 2 Generar la función objetivo ? = 5?2+ 3 2?? + 3?2+ 3(2??) ? = 8?2+ 12?? Para establecer la función objetivo, es necesario multiplicar el área de cada una de las caras de la figura por el costo correspondiente y posteriormente sumarlas. Paso 3 Formular la ecuación auxiliar ?2∙ ? = 288 Para determinar el volumen de una caja, se utiliza la fórmula ? = ??∙ ℎ 17

18. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Paso 4 Despejar la variable “?” de la ecuación auxiliar. ? =288 ?2 Paso 5 Sustituir “?” simplificar. en la función objetivo y ? = 8?2+ 12?? ?(?) = 8?2+ 12? ∙288 ?2 ?(?) = 8?2+3456 ? 18

19. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Paso 6 Calcular la derivada de la función objetivo ?(?) = 8?2+3456 ? ?´ ? = 16? +0 ∙ ? − 3456 ∙ 1 ?2 ?´ ? = 16? −3456 ?2 Paso 7 Resolver la suma de fracciones ?´ ? =16?3− 3456 ?2 19

20. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Paso 8 Determinar los puntos críticos 16?3− 3456 ?2 = 0 16(?3−216) ?2 = 0 16(? − 6)(?2+ 6? + 36) ?2 = 0 ?2= 0 ? − 6 = 0 ? = 0 ? = 6 De los puntos críticos que se obtuvieron, ? = 0 corresponde a una restricción, razón por la cual no se puede presentar un máximo ni un mínimo. 20

21. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Paso 9 Determinar la segunda derivada de la función objetivo. ?′′ ? = 16 +0.?2− −3456 2? ?4 ?′′ ? = 16 +0.?2− −3456 2? ?4 ?′′ ? = 16 +6912? ?4 ?′′ ? = 16 +6912 ?3 21

22. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Paso 10 Evaluar el punto crítico en la segunda derivada. ?′′ 6 = 16 +6912 (6)3> 0 El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor positivo, entonces en ese punto crítico se presenta un mínimo relativo. Paso 11 Determinar las dimensiones de la caja ? = 6 ? =288 ?2=288 62= 8 22

23. Tema: Optimización I Unidad IX Ejemplo #2 Paso 12 Dar la respuesta La caja debe tener dimensiones de 6?? ? 6?? ? 8?? para minimizar el costo 23

24. Tema: Optimización I Unidad IX A manera de cierre Espero que estos ejercicios le sean de utilidad para reforzar los conceptos necesarios para resolver problemas de optimización, y de esta manera pueda construir los nuevos conocimientos de Cálculo I. “El corazón de las matemáticas son sus propios problemas”. Paul Halmos 24

25. Tema: Optimización I Unidad IX Créditos Universidad Técnica Nacional Coordinación de Matemáticas y Estadística Contenido Autor: Evelyn Delgado Carvajal Producción del recurso didáctico: Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde Derecho de Autor Queda prohibida la reproducción, transformación, distribución y comunicación pública de multimedia [Optimización], por cualquier medio o procedimiento, conocido o por conocerse, sin el consentimiento previo de los titulares de los derechos, así como de las obras literarias, artísticas o científicas particulares que contiene. la obra 25