Le Funzioni Iparte

1. LE FUNZIONI

2. RELAZIONE Dati due insiemi A e B, tra di essi è definita una relazione  quando è indicata una legge che associa a qualche elemento di A uno o più elementi di B A  B = { (a,x) (a,y) (c,z)} B A   x y t z a b c      Una relazione è:  un sottoinsieme del prodotto cartesiano A  B,  individuata dalle coppie di elementi che si corrispondono ESEMPIO A = { Roma, Milano, Torino, Bari} B = { Sicilia, Piemonte, Lombardia, Lazio} : “x è nella regione y” con x  A , y  B B A Roma  Milano  Bari  Torino   Lazio  Sicilia  Lombardia  Piemonte

3. FUNZIONE • Se la relazione soddisfa a due condizioni: •  x A  y  Bad esso associato •  non c’è elemnto di A che non sia associato • tale elemento y  B è unico •   è una FUNZIONE A B Roma  Milano  Varese  Bari  Torino   Lazio  Sicilia  Lombardia  Puglia  Piemonte  x A   ! y  B

4. FUNZIONE Una relazione  tra due insiemi A e B è una FUNZIONE f: A → B oppure f(x): x → y se a ogni elemnto di A associa 1 e 1 solo elemento di B y=f (x) :  x  A, ! y  B : y = f (x) A insieme di partenza o DOMINIO [ A  E ] E CAMPO DI ESISTENZA della funzione f B insieme di arrivo C CODOMINIO: è il sottoinsieme formato dai soli elementi di B cui corrisponde un elemento di A: C = im(A) e C  B C=y | y  , y=f(x) A B   x h k y t m z w a b c E     C

5. x  f  y

6. FUNZIONI NUMERICHE Dati due insiemi numerici, A e B e una funzione f : A → B ESEMPI f: N → R le successioni f: R → R funzioni reali di variabile reale f: A → R funzioni reali di variabile reale con A  R DEFINIZIONI:  Una funzione f si dice a variabile reale se A R f : A  R→ B  Una funzione fsi dice reale se B  R f: A→ B R

7. È UNA FUNZIONE?   NO, ci sono elementi di A che non hanno alcun corrispondente in B         A B   NO, ad un elemento di A corrispondono ben due elementi di B       A B

8. È UNA FUNZIONE? Sì, ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B anche se qualche elemento di B non è immagine di alcun elemento di A             A B Sì, ad ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B anche se qualche elemento di B è immagine di più elementi di A        A B

9. GRAFICO DI UNA FUNZIONE Il grafico di una funzione numerica y = f (x) è l’insieme dei punti P(x, y) ossia delle coppie ordinate del piano cartesiano tali che: x è un numero nel dominio D di f y è immagine di x tramite f→ y= f (x) La curva G è “il luogo dei punti del piano che soddisfano l’equazione y = f (x)” f(x) G P (x, f(x))  CODOMINIO x DOMINIO

10. GRAFICO DI UNA FUNZIONE Se f è una funzione   x DOMINIO corrisponde UNO e UN SOLO punto: y = f (x) Geometricamente : ogni retta parallela all’asse delle ordinate, x=x0 che taglia l’asse delle ascisse in un punto x0 del dominio, x0D interseca il grafico di f (x) in uno e un solo punto: f(x0) x2, f(x2)  x1 x2 x3  x3, f(x3)  x1, f(x1) È UNA FUNZIONE

11. GRAFICO DI UNA FUNZIONE . . y3 . . . . y2 y . y1 x0 x x0 NON può essere il grafico di una funzione Nel grafico di una funzione non può mai accadere che due punti abbiano la stessa ascissa poiché per definizione di funzione l’immagine di ogni elemento x del dominio deve essere unica G(f ) = {(x, y)| x ∈ dom(f ), e y = f (x) ∈ im(f )} ⊂ X × Y Può essere il grafico di una funzione NON può essere il grafico di una funzione

12. RAPPRESENTA UNA FUNZIONE di R in R?  yo  yo  xo xo  y’o È UNA FUNZIONE NON È UNA FUNZIONE

13. RAPPRESENTA UNA FUNZIONE di R in R? Nulla vieta che una retta PARALLELA all’asse delle ASCISSE intersechi il grafico della funzione in più punti o nessuno

14. RAPPRESENTA UNA FUNZIONE di R in R? x0=1 No, non esiste alcun valore di x0=1 che abbia immagine in R

15. RAPPRESENTA UNA FUNZIONE di R in R? FUNZIONE A TRATTI

16. RAPPRESENTA UNA FUNZIONE di R in R?   NO

17. È UNA FUNZIONE? solo se restringo il dominio a R \ ]-1, 1[

18. FUNZIONE f: A → B con A,B  R   x  A, ! x  B : y = f (x) In generale non è detto che : y B sia il corrispondente di un xA per cui valga y = f (x) y sia unico  xA Si possono presentare le seguenti situazioni:  a qualche y B non corrisponde alcunxA  a qualche y B corrispondano diversixA A B    A B                    

19. FUNZIONE INIETTIVA f : A → B ogni elemento di B è immagine di AL PIÙ(UNO o NESSUNO) UNelemento di A x1 x2  f (x1)  f (x2) A B            b4 rappresentazione insiemistica b3 f : A → B - b1 e b4  B non sono immagine di alcun elemento di A - b2e b3 B sono immagine di uno e un solo elemento di A → f è INIETTIVA: a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B  a, a A con a  a  f (a)  f (a) B b2 b1 A a2 a1

20. FUNZIONE INIETTIVA f : D → C è INIETTIVA ogni retta orizzontale non può avere più di un punto di intersezione con il grafico d1 C c2 D c1 NON È INIETTIVA

21. FUNZIONE INIETTIVA f : R → R f (x) = 3x+1 il grafico di una RETTA è una funzione iniettiva x  R

22. FUNZIONE INIETTIVA f : R → R f(x) = x2 2x + 2 • il grafico di una PARABOLA • NON è una funzione iniettiva • y  C  x1 e x2  D , x1  x2 • invece in questo caso f(x1)= f(x2) y V x2 x1

23. FUNZIONE INIETTIVA?

24. FUNZIONE SURIETTIVA • f : A → B • ogni elemento di B è immagine di ALMENO(UNO o PIÙ) un elemnto di A • b B  a  A : f(a) = b • B coincide con il codominio A B        rappresentazione insiemistica b4 b3 B b2 • f : A → B • b1 = f (a1) • b2 = f (a2) • b3 = f (a3) = f (a4) = f (a5) • è immagine di 3 elementi di A • non c’è alcun elemento di B che • non sia associato ad almeno un • elemento di A b1 A a1 a2 a5 a3 a4 a6

25. FUNZIONE SURIETTIVA?

26. FUNZIONE INIETTIVA O SURIETTIVA? g: S → T NON è SURIETTIVA: ci sono elementi di T che non sono immagine di alcun elemento di S ad esempio b4 b4 b3 NON è INIETTIVA: ci sono elemnti di T che sonoimmagine di più di un elemento di S ad esmpio b3 T b2 a3 a4 a5 b1 S a2 a1

27. FUNZIONE BIUNIVOCA O BIETTIVA g : S → T è biettiva se è sia Iniettiva sia Suriettiva: c’è una corrispondenza uno a uno tra gli elementi di A e quelli di B: - ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A - a ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B B A   x y z a b c     OSSERVAZIONE Sia D = dom(f ) ⊆ R Se invece di considerare f : D → R, si considera f : D → im(f ), automaticamente si ha che f è suriettiva (si fa coincidere il codominio con im(f )) Per definizione di im(f ), ad ogni elemento y ∈ im(f ) corrisponde almeno un elemento x ∈ D : y = f (x)

28. f(x)= x2+2x-3 f: R → R non è iniettiva non è suriettiva f: [-1, ) → R è iniettiva non è suriettiva f: R → [-4, ) non è iniettiva è suriettiva f: [-1, ) → [-4, ) è iniettiva è suriettiva  biettiva im(f ) = [-4, )

29. FUNZIONE BIUNIVOCA O BIETTIVA f : A → B g: A → B B B A A FUNZIONI STRETTAMENTE MONOTONE

30. GRAFICO DI UNA FUNZIONE f(x) =  x2  4 è suriettiva se si considera come insieme B quello degli y tali che y < 4, ma non è iniettiva perché scelto nel codominio un y diverso da 4, esso è immagine di due valori distinti di x. f(x) = 2x-1 è sia iniettiva che suriettiva in R: a ogni valore scelto sull’asse y corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull’asse x. La funzione è BIETTIVA

31. FUNZIONE INVERSA f : R → C C=imf (A) f(x) = x2 R C R  -5  +5  f  +25  • È possibile definire la funzione inversa? • All’elemnento del codominio +25 si devono far corrispondere due elementi: • l’inversa di f non è più una funzione, poiché non soddisfa alla condizione • “...ad ogni elemento dell’insieme di partenza può corridpondere • al più un elemento dell’insieme di arrivo” • se due elementi diversi dell’insieme di definizione (-5 e +5) • hanno la stessa immagine (+25) • non esiste la funzione inversa • AFFINCHÉ LA FUNZIONE INVERSA ESISTA • AD ELEMENTI DIVERSI DELL’INSIEME DI DEFINIZIONE • DEVONO CORRISPONDERE IMMAGINI DIVERSE  f è INIETTIVA

32. FUNZIONE INVERSA DEFINIZIONE Se una funzione fè iniettiva sul suo dominio, la FUNZIONE INVERSA f -1ad ogni elemento y f (D)=im( f ) associa l’unico elemento x  D dell’insieme controimmagine

33. FUNZIONE INVERSA • Si consideri la funzione f : D → im( f ) , con D  R • f è INVERTIBILE se vale una delle seguenti condizioni (equivalenti): •  x1, x2  D, x1  x2  f (x1)  f (x2) •  x1, x2  D, f (x1) = f (x2)  x1 = x2 •  y f(D), ! x  D tale che f (x) = y f è una funzione INIETTIVA f R R im f  y x  f -1

34. FUNZIONE INVERSA • Sia f : A → R una funzione biettiva:  x A, ! y  R con y = f(x) • la funzione inversa di f è la funzione f -1: R → A : •  y B ha per immagine x = f -1 (y) R A f x y=f(x)   R A f -1 x=f -1(y)  y  Quindi: f : D → Rè invertibile se e solo se è suriettiva e iniettiva, cioè biettiva f : D → im(f )è invertibile se e solo se è iniettiva (è giàsuriettiva su im(f) ) NOTA: quando analizzeremo l’invertibilità, considereremo sempre f : D → im(f )

35. GRAFICO DELLA FUNZIONE INVERSA • se il punto (x0, y0) è sul grafico di f • il punto (y0, x0) sta sul grafico di f -1 • Esendo i punti (x0, y0) e (y0, x0) simmetrici rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, y=x • che il grafico di f -1 si ricava da quello di f • per simmetria rispetto alla bisettrice y=x y = x

36. FUNZIONE INVERSA f : R → R f(x) = 2x – 1 l’inversa si ottiene x dalla funzione di y: y=x f f -1

37. curva simmetrica rispetto alla retta y = x

39. FUNZIONE INVERSA ESEMPIO f : R → R f(x) = x2 – 1 l’inversa si ottiene x dalla funzione di y: non ha punti di ordinata <-1  non è suriettiva se l’insieme di arrivo è R b)  y > -1 corrispondono due punti della pbr  non è iniettiva

40. FUNZIONE INVERSA restringendo il dominio e il codominio → f risulta iniettiva: f : A → B, con A, B  R f(x) = x2 – 1 A=x : x  R  x  0 B=y : y  R  y  -1 con questa restrizione esiste la funzione inversa f -1 è accettabile solo f+ perché il valore di x dato da f-1(y) corrispondente deve appartenere ad A

41. FUNZIONE INVERSA

42. FUNZIONE INVERSA • La condizione di invertibilità equivale a richiedere che il grafico della f(x) sia intersecato da ogni retta parallela all’asse x al più in un punto • Classi di funzioni non invertibili: • le funzioni periodichef (x + T ) = f (x) • le funzioni simmetricheparif ( x) = f (x)

43. FUNZIONE INVERSA TEOREMA Una f : D → R , D  R strettamente monotona in D è invertibile in D. La sua inversa, f -1 , è ancora strettamente monotona. funzione invertibile funzione non invertibile

44. FUNZIONE COMPOSTA f: A → B e g: B* → C con B  B* si definisce la funzione composta hdi f e g h: A → C C B* A B=f(A) x g(f(x))    f g Il codominio f (A) della funzione f deve essere contenuto nell’insieme di definizione della funzione g: f(A) = B  B*

45. FUNZIONE COMPOSTA • In genere  il prodotto di composizione NON è COMMUTATIVO • fgg f • L’operazione di composizione può essere estesa anche a tre o più funzioni • Si verifica che se la composizione (fg) resiste , allora esiste anche • f (gr) e sono uguali (proprietà associativa): • (f g) r= f (gr) • Dalla definizione segue che, se f è invertibile, • la funzione composta da f e da f-1è la funzione identità, • cioè la funzione che a ogni elemento associa se stesso: •  x  A : f -1[ f (x)]= f -1[y] = x •  y f(A) : f [ f -1(y)] = f (x) = y

46. FUNZIONE COMPOSTA Esempio f: R → R f(x)= x2 g: R → R g(x) = cos x h(x) = gf = cos (x2) non periodica e con segno oscillante k(x) = f g = (cos x)2 periodica e sempre non negativa k(x)= (cos x) 2 h(x)= cos (x2) cos (x2) cos x g(x)= cos x h(x) e g(x) sono molto diverse tra loro!

47. ALICE IN WONDERLAND FUNZIONE LIMITATA SUPERIORMENTE

48. FUNZIONE LIMITATA SUPERIORMENTE f : D → R D  R La funzione si dice limitata SUPERIORMENTE se: f(x)  M  xD cioè quando il codominio della funzione è un sottoinsieme di R limitato superiormente Geometricamente : il grafico della fuznione è contenuto nel semipiano inferiore delimitato da una retta parallela all’asse delle ascisse di equazione y = M y = M

49. FUNZIONE LIMITATA INFERIORMENTE

50. FUNZIONE LIMITATA INFERIORMENTE f : D → R D  R La funzione si dice limitata INFERIORMENTE se: f(x)  m  xD cioè quando il codominio della funzione è un sottoinsieme di R limitato inferiormente Geometricamente: il grafico della fuznione è contenuto nel semipiano superiore delimitato dalla retta y = m y = m