1 / 103

FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika

FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika. http://stein.upce.cz/ ms f zs1 3. html http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsn_04.html. Doc. Milo š Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029. Hlavní body. Gravitace Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Download Presentation

FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. FFZS-04 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika http://stein.upce.cz/msfzs13.html http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsn_04.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

  2. Hlavní body • Gravitace • Gravitační pole v blízkosti Země • Planetární pohyby • Potenciál a potenciální energie • Nauka o pružnosti a pevnosti • Hydrostatika a hydrodynamika • Hydrodynamika krevního oběhu

  3. Gravitační pole v blízkosti Země I • Gravitační pole v těsné blízkosti Země lze charakterizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gravitačnímzrychlením. • Po korekcích gravitačního zrychlení ag = 9.83 ms-2 na různé vlivy, zvláště rotaci Země, dostáváme měřitelné tíhovézrychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms-2.

  4. Gravitační pole v blízkosti Země II • Ve vztahu vystupuje součin M. Gravitační konstanta  se musí určit z nezávislého měření v laboratoři. Například na torzních vahách. Díky tomu je možné v laboratoři ‘vážit‘ nebeská tělesa. • Tíhové zrychlení vykazuje drobné odchylky v důsledku nepřesně kulového tvaru Země a nehomogenit její hmotnosti a polohy na ní. Toho se využívá při geologickém průzkumu

  5. Gravitační pole v blízkosti Země III • Zemi je možné vážit z gravitačního zrychlení nebo z pohybu Měsíce. • Příklad : Určete M a M z  a g.

  6. Konzervativní pole • Gravitační pole se řadí mezi takzvaná pole konzervativní. • Celková práce potřebná na přenesení hmotnosti po libovolnéuzavřené dráze je nulová. • Práce potřebná na přenesení hmotnosti mz bodu A do bodu Bnezávisí na cestě, ale jenom na nějaké skalární vlastnosti polev těchto bodech = potenciálu . W(A->B) = m(B) - m(A)

  7. Potenciál I • Je třeba správně chápat rozdíl mezi potenciálem, což je vlastnostpole a potenciální energii, což je vlastnost určitého hmotného tělesa v tomto poli. • Výhody popisu pole pomocí potenciálu : • Skalární • Princip superpozice vede na aritmetické sčítání • Lépe konverguje

  8. Potenciál II • Potenciál v jistém bodě centrosymetrického pole získáme rozdělením potenciální energie na vlastnost pole a vlastnost částice: • Potenciál v kalibraci c=0 :

  9. Potenciál III • Obecně je pohodlnější popisovat gravitační pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu a sílu : • V centrosymetrickém případě :

  10. Gradient I • Gradient skalární funkce je vektor, který má • směrnejvětšíhorůstu funkce v daném bodě • velikost danou přírustku funkce v jednotkové vzdálenosti od daného bodu v tomtosměru :

  11. *Gradient II • Gradient je trojrozměrnou obdobou diferenciálu : • Význam gradientu vyplývá z faktu, že skalární součin bude maximální, když jsou jeho činitelé paralelní.

  12. Zákon zachování energie I • Prácedodaná do systému se rovná přírůstku jeho celkové energie, který je roven součtu přírůstku kinetické a přírůstku potenciální energie. • Jak se přírůstky konkrétně rozdělí závisí na dalších podmínkách problému. Je-li prácekladná může se kinetická energie i snížit, ale její pokles musí být vykompenzován odpovídajícím vzrůstemenergiepotenciální

  13. Zákon zachování energie II • Je-li práce dodaná do systému nulovázachovává se celková energie, tedy součet energie kinetické a potenciální. (Zatím uvažujeme jen tyto dva druhy energie). • Jeden druh energie se ale může měnit v druhý. • V těsné blízkosti Země :

  14. Pohyb satelitů I • Obecně se tělesa otáčejí kolem společnéhotěžiště. • Je-li satelit podstatnělehčí než centrální těleso lze společné těžiště ztotožnit s těžištěm centrálního tělesa. • Uvažujme pro jednoduchost kruhovou dráhu. V prvním přiblížení je dostředivá síla realizována silou gravitační a platí :

  15. Pohyb satelitů II • Můžeme například vyjádřit rychlost oběhu : • Nyní chápeme 3. Keplerův zákon pro satelity obíhající stejné centrální těleso:

  16. Pohyb satelitů III • Jsou-li hmotnosti těles srovnatelné, musí se uvažovat pohyb kolem jejich společného těžiště. Čili dochází i k pohybu centrálního tělesa. • Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit exoplanety u vzdálených hvězd. • Používá se přímého pozorování a moderněji spektroskopických metod (136).

  17. *1. Kosmická rychlost • 1. Kosmická rychlost je rychlost oběhu těsně u povrchu vesmírného tělesa. • Tedy zakřivení dráhy vodorovného vrhu akorát kopíruje povrch tělesa. • Takový pohyb je možný pouze, když těleso nemá atmosféru, jinak je zbržděno (a shoří). • V případě Země se jedná o hodnotu fiktivní :

  18. *2. Kosmická rychlost • 2. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo z dosahu Země do nekonečna • Opět nesmí dojít ke ztrátám průletem atmosférou • Rozdíl od rychlosti potřebné k dosažení např. Měsíce je ale nepatrný.

  19. *3. Kosmická rychlost • 3. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo ze Země z dosahu Slunce do nekonečna • Úniková rychlost z oběžné dráhy Země je • Ms je hmotnost Slunce, rsz je poloměr dráhy Země. • Při vypuštění sondy ve směru obíhání Země lze ale odečíst obvodovou rychlost Země, tedy cca30 km/s.

  20. *Proč shořela Columbie I • Celková energie satelitu : • Kde jsme použili dříve odvozený vztah pro rychlost satelitu:

  21. *Proč shořela Columbie II • Podle předchozího se celková energie satelitu musí zvětšit dodáme-li práci. Přitom : • se zvětší její vzdálenost • její rychlost se zmenší(!) • Když naopak satelit vstupuje do atmosféry a je bržděn atmosférou nebo svými motory, klesá jeho výška, ale rosterychlost. Musí tedy (v určité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bržděno padáky) vydržet obrovskéteploty.

  22. *Moderní teorie gravitace • Albert Einstein se zabýval ekvivalencí gravitační a setrvačnéhmotnosti na ní a na předpokladu, že fyzikální zákony musí v každé (i neinerciální) soustavě být stejné vybudoval obecnouteoriirelativity. • Podle ní hmotnostzakřivuječasoprostor ve svém okolí. • Experimentálními potvrzeními této teorie jsou například ohyb elektromagnetických vln v blízkosti velkých těles (Slunce, Jupiter) a stáčeníroviny oběhu Merkura.

  23. Atomová hypotéza I • Richard Feynman – jeden z největších fyziků 20. století a autor výborné a nadčasové učebnice “Feynmanovy kurzy fyziky“ – tvrdí, že pokud bychom směli zanechat budoucím generacím jedinou větu, měla by znít : Svět je složen zatomů, malých částic, které jsou v neustálém pohybu, když se přiblíží, přitahují se, ale když se přiblíží ještě více, naopak seodpuzují. • Rozměry atomů se měří v (SI) zakázaných, ale velice praktických jednotkách - angströmech 1Ǻ= 10-10 m

  24. Atomová hypotéza II • Kdybychom zvětšili jablko na rozměr Země (asi 108 krát), atomy by měly rozměr jablka. ~6 cm = 6 .10-2.108 m= 6 .106 m = 6 .103km ~6 Ǻ.108= 6.10-10 .108 m= 6.10-2m = 6 cm Je zajímavé, že i při tomto zvětšení : by atomové jádronebylo vidět pouhým okem. Mělo by totiž průměr jenřádově jednotky m ! poloměr Země by nedosáhl k nejbližší hvězdě. Musel by se ještě 60 krát vynásobit!

  25. Dalekodosahové síly ICherchez le puits (de potential) • Součástky hmoty - atomy nebo molekuly na sebe vzájemně působí dalekodosahovými silami, které mají následující vlastnosti: • na velkévzdálenosti jsou zanedbatelné • při menších vzdálenostech jsou přitažlivé • při ještě menších vzdálenostech jsou odpudivé • existuje alespoň jedna rovnovážná vzdálenost, v níž se přitažlivé a odpudivé síly kompenzují

  26. Dalekodosahové síly II • Dalekodosahové síly lze zjednodušeně vystihnout průběhem potenciální energie částice, která se blíží k částici, umístěné do počátku – tzv. potenciálovou jámou. • v blízkosti minima ji lze aproximovat parabolou • lze pomocí ní kvalitativně vysvětlit například: • existenci a pravidelnost kondenzovaného stavu • elastické chování látek • teplotní roztažnost • mechanické vlastnosti sedlin

  27. Pružnost I • Z vzájemného působení součástek hmoty, které jsme si přiblížili pomocí potenciálové jámy, je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá. Jejich tvar v každé situaci odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil. • Změnou působení vnějších sil se mění síly uvnitř. Snaží se vyrovnatúčinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti.

  28. Pružnost II • Vzájemné působení může být velmi složité a existují látky s bizardními vlastnostmi. • Naše potenciálová jáma je zjednodušení, zhruba fungující pro velké množství látek. • Zatím přijměme tvrzení, že při velmi malých deformacích se při vymizení vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy. • Zaveďme si vhodně veličiny, které jsou ve hře:

  29. Napětí I • Experiment ukazuje, že pro deformačníúčinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí tzv. mechanické napětí • Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2

  30. Napětí II • Odezva látek může být komplikovaná, ale i unejjednodušších látek (homogenních aizotropních) je rozdílná nejméně v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládatnapětí alespoň na normálové a tečné:

  31. Deformace • Odezva látek je vždy úměrná rozměru předdeformací, proto je užitečné ji k tomuto původním rozměru vztáhnout. Podle typu deformace používáme například relativní • prodloužení • Střih dx dy • stlačení v

  32. Závislost napětí na deformaci • Průběh namáhání látek se obvykle (ale ne vždy) zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze: • úměrnosti ... zde platí Hookův zákon • elasticity ... návrat do původního tvaru • plasticity ... zůstává trvalá deformace • kluzu ... velká změna chování • pevnosti ... porušení materiálu

  33. Závislost napětí na deformaci oblast tečení mez pevnosti elastická oblast plastická oblast  p r oblast proporcionality – zde platí Hookův zákon 

  34. Hookův zákon I • Pro velmi malé(přesně nekonečně malé) deformace potom například platí : Veličiny E, G a K jsou tzv. moduly, vyjadřují odpor vůči deformaci a u pevných látek mají značně velké hodnoty ~1010 Pa. v

  35. Hookův zákon II • Moduly se nazývají : • E …Youngův modul pružnosti v podélném prodloužení • G … Youngův modul pružnosti ve smyku • K … modul objemové pružnosti • Často se používají i reciproké hodnoty modulů. Vyjadřují samozřejmě poddajnost(compliance) materiálů a jsou typicky velmi malé.

  36. *Hookův zákon III • Meziději ve směru namáhání a ve směru kolmém existuje souvislost. Například protahujeme-li drát, dochází v kolmém směru ke zužování. Popisujeme jej relativním příčným zkrácením, které je úměrné normálovému napětí : • Míru změny v příčném směru popisujeme novým materiálovýmparametremPoissonovým číslem(ný) nebo (jeho reciprokou)Poissonovou konstantoum :

  37. *Hookův zákon IV • Podélný a příčný rozměr po deformaci lze vyjádřit : • Budeme-li krychli V = aaa namáhat hydrostatickým tlakem p = n, projeví se ve změně k každého rozměru i příčné vlivy a objem po deformaci bude :

  38. *Hookův zákon V • Čili po zanedbání kvadratických a vyšších členů můžeme vyjádřit relativní změnu objemu: • a srovnáním dostáváme součinitel objemové stlačitelnosti γnebo modul objemové pružnosti K :

  39. *Hookův zákon VI • Poissonova konstanta nebo Poissonovo číslo se také uplatní ve vztahu mezi modulem ve smyku a v tahu, takže jednoduché materiály lze charakterizovat jen dvěma materiálovými parametry :

  40. *Deformace neizotropních látek I • V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu  a . • ij je j-tá složka napětí působící na plošku kolmou k ose i. • pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q.

  41. *Deformace neizotropních látek II • Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako: ij = Cijpq pq • Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů. • Každá symetrie materiálu znamená i symetrií v C, tedy nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů. • Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě. • Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich jen dva parametry E a G.

  42. Úvod do mechanikytekutin I • Tekutiny je společný název pro kapaliny a plyny. Přitažlivé síly v nich jsou kohézního charakteru. • Mají společný téměř nulovýmodul ve smyku. Díky tomu snadno mění tvar. • Relativně lehce se rozdělují. • Na rozdíl od plynů jsou kapaliny téměř nestlačitelné. • V případě, že se neprojevují efekty, které souvisí s existencí atomové struktury, lze tekutiny, podobně jako pevné látky považovat za tak zvané kontinuum – spojité prostředí.

  43. Tekutiny II • Z hlediska elastických vlastností lze tekutiny definovat následovně: • kapaliny ... K velmi veliké, G malé • plyny ... K konečné dané EOS, G malé

  44. Tekutiny III • Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideálníkapaliny a později zavádět korekce, popisující reálnější chování například viskozitu a stlačitelnost. • Ideální kapalina má Knekonečné a Gnulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smykovánapětí ani deformace.

  45. Hydrostatika ideální kapaliny I • Hydrostatika se zabývá kapalinami nebo plyny v rovnováze, bez ohledu na to, jak a za jak dlouho k ní dojde (např. smůla na stromě není v rovnováze). • Budeme nejprve uvažovat ideální a tedy dokonale nestlačitelnou kapalinu, navíc homogenní a izotropní. • Je pohodlné charakterizovat kapalinu fyzikálními veličinami vztaženými na jednotkuobjemu, tedy hustotamifyzikálníchveličin.

  46. Hydrostatika ideální kapaliny II • Nejběžnější jsou : • hustota je hmotnost na jednotku objemu :  = m/V, []=kg m-3 • hustota působících sil, tedy síla na jednotku objemu : , [f]= N m-3 • tlakp lze chápat jako hustotu tlakové energie : [p] = N/m2 = J/m3

  47. *Základní rovnice hydrostatiky I • Pro tenzor napětí u ideální kapaliny platí jednoduše Pascalův zákon : ij=-pij. ij je tzv. Croneckerovo delta. Nabývá dvou hodnot: ij=1 pro i=j nebo ij=0 pro ij. • p =F/S[Pa]je tlak - normálové napětí. • Budeme upravovat základnívztah pro rovnováhukontinua :

  48. *Základní rovnice hydrostatiky II • Po dosazení za tenzor napětí platí : • Síla působí ve směru největšízměny tlaku nebo naopak největšízměna tlaku je ve směru působící síly. • Jde-li speciálně o sílu vytvořenou polem majícím potenciál

  49. Základní rovnice hydrostatiky III • Tedy: • A konečně po integraci obdržíme : • Tuto rovnici lze iterpretovat tak, že místa stejného tlaku leží na ekvipotenciálních plochách a s poklesempotenciálu = růstem hloubky se tlakzvětšuje.

  50. Základní rovnice hydrostatiky IV • Všechna rozhraní kapalin, samozřejmě včetně hladiny, která je rozhraním kapaliny a plynu, jsou tedy ekvipotenciální plochy. • Hladiny nejsou ve skutečnosti zcela vodorovné : • kopírují například zemský povrch a sledují i jemnější změny potenciálu v důsledku rotace Země, její nehomogenity i společné působení Měsíce a Slunce. • také se zakřivují v blízkosti okrajů nádoby.

More Related