1 / 29

Inleiding Adaptieve Systemen

Inleiding Adaptieve Systemen. De Mandelbrot Fractal. Youtube movie: zoom Mandelbrot. eenheidscirkel. cardio ï de. Mandelbrot verzameling. In zoomen op een rond uitsteeksel en schuiven naar links. Het display centrum uitpannen van (-1, 0) naar (-1.31, 0).

aqua
Download Presentation

Inleiding Adaptieve Systemen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Inleiding Adaptieve Systemen De Mandelbrot Fractal Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  2. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  3. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  4. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  5. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  6. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  7. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  8. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  9. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  10. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  11. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  12. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  13. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  14. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  15. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  16. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Youtube movie: zoom Mandelbrot

  17. eenheidscirkel cardioïde Mandelbrot verzameling Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  18. Inzoomen op een rond uitsteeksel en schuiven naar links. Het display centrum uitpannen van (-1, 0) naar (-1.31, 0). Onderwijl (volgens Feigenbaum verhouding δ) vergroten van 0,5 × 0,5 naar 0.12 × 0.12. Mandelbrot en zelf-gelijkvormigheid De constatering van gelijkvormigheid is (vooralsnog en voor ons) empirisch! Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  19. Quasi-zelfgelijkvormigheid • In het algemeen niet strikt zelf-gelijkvormig, maar quasi zelf-gelijkvormig. Kleinere varianten kunnen gevonden worden op willekeurig kleine schalen. • Waarom niet strikt zelf-gelijkvormig? (Denk aan samenhang.) Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Mandelbrot zoom avi

  20. Spoedcursus complexe getallen • i = √-1. Dus i2 = -1. • (a + bi) + (c + di) = (a+b) + (c+d)i • (a + bi) ∙ (c + di) = a∙c + a∙di + bi∙c + bi ∙ di = (ac – bd) + (ad + bc)i • Complexe getallen kunnen we zien (en behandelen) als vectoren in R2. • Alternatieve notatie: z = r ∙ ( cos(φ) + cos(φ) i ) Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  21. Bekijk de functie fop de complexe getallen f : z → z2 + c Deze functie kun je itereren, met als startwaarde nul. Zo krijg je een rij: 0, c, c2 + c, (c2+c)2 + c, … Voor c = 0: 0, 0, 0, … constante rij, dus convergeert, dus begrenst. Voor c = 1: 1, 2, 5, 26, … : niet begrenst. Voor c = -1: 0, -1, 0, -1, 0, … alterneert, dus begrenst. Voor c = i: i, -1+i, -i, -1+i alterneert, dus begrenst Definitie Mandelbrot verzameling Voor welke waarden van c blijft deze rij begrenst? Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  22. Feiten over de Mandelbrot verzameling • Is volledig bevat in de 2-schijf. • Oppervlakte 1.50659177 (zowel analytisch als door pixel count.) • Is samenhangend (of Mandelbrot set weg-samenhangend is, is een open probleem). Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  23. Hoe maak je de Mandelbrot verzameling? Engels: The Escape Time Algorithm Voor elke pixel (p1, p2) doe: • Vertaal (p1, p2) naar corresponderend punt c = (c1, c2) in complexe vlak. • Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen. • Lig je er op de Ne iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Kleur het pixel wit. • Ben je na 50 iteraties nog steeds binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  24. Escape Time Algoritme Voorbereiding: definieer een spectrum van 50 kleuren: K[1] = wit, K[2] = geel, …, k[50] = donkerblauw. • Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen: • Lig je er op de Ne iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Geef het pixel de kleur K[N]. • Blijf je 50 iteraties binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  25. Escape Time Algoritme Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  26. Genormaliseerd aantal iteraties Idee: betrek de modulus van zN in de kleurindex, om stappen tussen discrete kleurindices te egaliseren. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  27. De Julia Set • Bij de Mandelbrot fractal: • Je varieert de constantec • Vast startpunt voor iteratie (0, 0) • Bij de Julia fractal: • Je varieert het startpunt voor iteratie • Vaste constante c Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  28. Samenvatting fractals • Turtles klonen: elke gekloonde turtle tekent dezelfde structuur, maar dan kleiner. • Eén turtle een recursieve tekenopdracht geven: je krijgt een fractal bestaande uit één lijn. • MRCM / IFS: pas twee of meer lineaire contracties toe. • “Adaptieve” fractals. • Mandelbrot: bekijk één familie van complexe functies. Teken gebied waarvoor iteratie begrensd is. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

  29. Tot ziens! Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

More Related