Objetivos y competencias en la evaluación de los aprendizajes matemáticos

1. Objetivos y competencias en la evaluación de los aprendizajes matemáticos François Pluvinage, Depto. Matemática Educativa, CINVESTAV-IPN México & France, pluvin@math.unistra.fr

2. NLSMA: UNA EVALUACIÓN CENTRADA EN LOS OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA En el libro de Bloom, Hastings & Madaus (1971) un capitulo de Wilson, titulado “Secondary School Mathematics”, presenta la clasificación NLSMA (National Longitudinal Study of Mathematical Abilities) orientada hacia la educación matemática. [Para elaborar la clasificación, uno principio] que se ha utilizado hasta cierto punto en una variedad de contextos, consiste en estratificar los resultados de la enseñanza de las matemáticas de dos maneras: en primer lugar, por tipos de contenido de matemáticas, y en segundo lugar, por los niveles de comportamientos. El grupo y los consultores desarrollaron tal doble clasificación. (Traducido de la p. 648) A pesar de la presencia de la A de Abilities (habilidades) en NLSMA, la clasificación NLSMA se establece en base a los objetivos de la educación matemática, objetivos tanto cognitivos como afectivos. La noción cognitiva de base de la clasificación es el hecho específico. Un hecho específico se caracteriza por expresarse en un enunciado simple (un solo verbo, de la lengua usual o simbólica).

3. Análisis en términos de hechos específicos • Ejemplos de hechos específicos: • El producto de números naturales es distributivo con respecto a la suma. O: a(b + c) = ab + ac Este enunciado es un teorema en el conjunto N de los números naturales, y un axioma de estructura en los demás conjuntos numéricos (Z, Q, R). Este estatuto no se considera cuando se hace un análisis de hechos específicos, sólo importa el resultado. • Un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría: sus diagonales y las mediatrices de sus lados. • Análisis de un teorema (Varignon): En cualquier cuadrilátero ABCD, los puntos medios I, J, K, L de los lados son los vértices de un paralelogramo. A pesar de su complejidad, este enunciado sólo contiene un verbo, entonces corresponde a un solo hecho específico. • Hechos específicos en la prueba del teorema: Caracterización de un paralelogramo y paralelogramos determinados en un triángulo por los puntos medios de sus lados. • A pesar de su dificultad, la idea clave heurística de trazar la diagonal BD (o la diagonal AC) no aparece en el análisis de los hechos específicos.

4. Dos posturas extremas en la evaluación matemática ATOMISTA – Una evaluación basada en meros conocimientos y métodos rutinarios: - Alienta una actitud de estímulo-respuesta en lugar de una reflexiva . - Se dirige hacia la eficiencia rápida. - A veces se fortalece por la manera en la que los programas se formulan (véanse por ejemplo los conocimientos técnicos que figuraban en el epígrafe "competencias solicitadas" en programas scolares franceses anteriores) GLOBAL – Una evaluación basada en una competencia general: mathematical literacy “Mathematical literacy is an individual’s capacity to identify and understand the role that mathematics play in the world, to make well-founded judgments and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual’s life as a constructive, concerned and reflexive citizen (OECD, 2006, p. 12). The notion of mathematical literacy is “the counterpart in mathematics of mastering a language” (Niss, 2003, p.6).

5. Competencia En lingüística Noam Chomsky introdujo en el marco de su gramatica de trasformaciones una dicotomía entre “performance“ y “competence". Esta dicotomía sucede a la distinción que Ferdinand de Saussure (1857-1913) hacia entre “langue” (lengua) y “parole” (palabra). A pesar de que el uso de la palabra competencia por varios autores tenga sentidos muy diversos, parece estar relacionado con un cambio bastante coherente en la concepción de la naturaleza misma de la educación. Que lo queramos o no, este cambio representa en particular un desafío para la idea clásica, de que la formación de un individuo consta por lo esencial en adquirir cierto conjunto de conocimientos. (…) Se trata de insistir en el hecho de que lo que cuenta en la practica – y que se puede efectivamente evaluar – son los potenciales de acción propios del individuo (…) Hay entonces una extensión de la noción de formación, tan en el tiempo que en relación con las instituciones: La formación no se ve como un asunto vinculado por lo esencial a las instituciones escolares o al “tiempo de la escolaridad” que precede el tiempo laboral. Así los objetivos de formación que alcanzar en las organizaciones escolares se consideran dentro de un sistema más amplio del desarrollo del individuo y de las organizaciones en las que está insertado. (Traducido de Winslow, 2005)

6. Tendencias actuales Evaluaciones dirigidas hacia : - Habilidades - Competencias PISA (Programme for International Student Assessment) http://www.oecd.org/pages/0,3417,en_32252351_32235731_1_1_1_1_1,00.html La evaluación abarca las áreas de competencia lectora, científica, matemática, enfocándose en los conocimientos y habilidades más necesarias e importantes para la vida adulta y no tanto en el dominio del contenido curricular. ENLACE http://enlace.sep.gob.mx/gr/ A nivel medio superior, 50 preguntas están dedicadas a la habilidad lectora y 90 a la habilidad matemática. “Se evalúan los procesos de reproducción, conexión y reflexión en los siguientes contenidos matemáticos: cantidad, espacio y forma, cambios y relaciones, y matemáticas básicas.”

7. Criticas Investigadores en educación matemática no reaccionan necesariamente de manera positiva: “Un punto de vista emergente consiste en ver en una Escuela fuertemente diluida en la sociedad civil, un red de lugares de difusión y de validación de competencias diversas, que se pueden redefinir constantemente y localmente, y que se adquieren y se validan sin referencia ni reverencia obligada a los saberes “monumentales”… En tal problemática, la Escuela puede tomar la apariencia de un salón bursátil en el que, lejos de los demasiado largos recodos del conocimiento “teórico”, se administra con fiebre una “cartera de competencias”, misma que se debe actualizar pronto para satisfacer las pedidas de los varios mercados en los que el individuo realce supuestamente su valor.” (Traducido de Chevallard, 2002, p. 54-55) Eso es un riesgo si se debilita el significado de la palabra “competencia”. Es algo que se observa en la realidad: En los actuales programas curriculares para la secundaria en Francia se encuentra una columna de “competencias esperadas”. Por ejemplo podemos citar algo como “calcular el área de un triángulo a partir del conocimiento de la longitud de un lado y de la altura correspondiente”. Es obvio que ideas de autonomía y de responsabilidad no se perciben en esta formulación. Al contrario alguien que, para medir un área, recurre de manera espontánea a una triangulación y toma los datos necesarios, tiene una competencia. ¿Enseñar para la adquisición de una cultura matemática o de competencias matemáticas? Además casi cada quien tiene hoy acceso a cualquier tipo de conocimiento, pero la diferencia se sitúa entre acceder y utilizar (por ejemplo un formulario de trigonometría no servirá de nada a alguien que no tenga cierta cultura). Siguen validos los modos tradicionales de evaluación, pero se deben complementar, enriquecer. Proyectos, trabajos personales dirigidos tienen un lugar.

8. Competencias y deficiencias en matemáticas • Una noción general de competencia no puede ser pertinente en matemáticas, incluso elementales, porque: • Hay diferentes niveles de aprehensión de las matemáticas, • Una persona puede ser realmente competente a un nivel y deficiente al nivel que sigue. • Dos elementos pueden generar un obstáculo entre dos niveles: • Una ruptura en los modos de pensamiento, • La necesidad de adquirir nuevos medios de expresión con nuevas reglas

9. Aproximándonos de la noción de competencia en matemáticas • Las competencias involucradas en mathematicalliteracydeben de ser especificadas • En general se deben considerar, para la enseñanza y la evaluación, diferentes niveles de competencia, separados unos de otros por saltos • Salto entre aritmética y algebra: universalmente reconocido • Nivel intermedio después de la aritmética elemental (las cuatro operaciones) y antes del álgebra • Un salto después de álgebra: dificultades observadas en el aprendizaje del cálculo a nivel superior lo señalan • Sin prejuicio de las competencias del razonamiento geométrico, aparecen cuatro niveles de competencia o, mejor dicho, cuatro estratos de competencia

10. Los cuatro estratos • Estrato numérico: dominio de los enteros naturales y de los decimales, y saber usar las cuatros operaciones aritméticas elementales • Lenguaje específico: escribir “palabras” numéricas (2010) y formar “frases” (150 + 86) y “enunciados simples” (sentencias gramaticales de una sola frase, por ejemplo 150 + 86 = 236), usar la notación de posición decimal, llevar a cabo operaciones aritméticas… • Estrato racional: dominio de las razones y proporciones, y productos y cocientes de números racionales positivos y negativos • Lenguaje específico: quebrar el renglón de escritura al introducir dos niveles encima y debajo de una raya horizontal (numerador y denominador de una fracción, por ejemplo ) • Estrato algebraico: Uso del sistema matemático de signos del álgebra • Lenguaje específico: Tratamientos de enunciados completos (por ejemplo reemplazar un enunciado por un enunciado equivalente, por ejemplo reemplazar x2 – 1 = 3 por (x – 2)(x + 2) = 0) • Estrato funcional: Uso de las relaciones funcionales y dominio del cálculo (funcional) • Lenguaje específico: Uso de nuevas reglas de formación y tratamiento de palabras y enunciados, como se presentan para los cambios de variable, la composición de funciones, etcétera

11. Evoluciones y rupturas (I) • Para enseñar como para evaluar, consideremos y hacemos explicitas las rupturas en la forma de pensamiento entre dos estratos, por ejemplo del estrato numérico al algebraico • Considerar hipótesis en vez de combinar directamente los datos. • En el caso ilustrado, el razonamiento usual de los estudiantes exitosos es: “Si la receta A produciría el mismo sabor que tiene la receta B, tendrían que estar 4 vasos de jugo de naranja en A.” • Dos hipotesisestan subyacentes en este razonamiento: • Se autoriza considerar como variables los números dados de vasos • No se cambia el sabor al duplicar todos los componentes. Receta A Receta B

12. Evoluciones y rupturas (II) • Para la enseñanza y la evaluación, considerar las matemátics como una disciplina de expresión, particularmente prestar atención a las evoluciones y rupturas en el diccionario y en operaciones semejantes a operaciones lingüísticas: • Formarpalabras, formarfrases y sentencias (syntaxis), operar con palabras, frases y enunciados • e.g. de lo numéricoa lo racional: (necesitaformarpalabras, unafrase y un enunciado) • e.g. de lo racional a lo algebraico: En vez de formarenunciados simples comocombinardatosparaproducir un resultado: • re-designar con letras lo queya se ha designadoporpalabras • reducir el léxico: expresarunasincognitas en función de otras • manejarenunciadoscompletos y diferir el cálculo de soluciones 3x – 2 = x + 1, entonces 3x – x = 2 + 1

13. ¿Es álgebra el merouso de letras? • Ejemplo de “álgebra sin letras” “Dos números tienen una suma igual a 300. Si se suma 7 a cada uno, ¿de cuanto se aumentará su producto?” • Una solución meramente numérica: • Elegimos un número, sea 68. El segundo es 300 – 68 = 232 • Desarrollamos (68 + 7)(232 + 7) antés de calcular cualquier producto: (68 + 7)(232 + 7) = 68232 + (68 + 232)7 + 77 = 68232 + 2149 • A final observamos que el término sumado 2149 does no depende del número elegido • La solución verdaderamenbte algebraica es: Sean a y b los números, se desarrolla el producto (a + 7)(b + 7). • ¿Es la primera solución “más fácil” que la segunda?

14. Ejemplo de caso difícil en los aprendizajes: la ampliación

15. Perspectivas de desarrollo • Diseñarevaluacionesformativas “top-down” • Reducir el número de reactivosquepermitandescribir el nivel de rendimientodentro de un estrato • Usoposible de gráficas de implicación • Dentro de un entornocomputacional, presentarunaselección de reactivos entre: • Referencia a experienciafísica (village) • modelación (fotocopiadora) • Problemas de matemática “pura” querequierenunaexpresiónespecífica • Sesiones con computadoraspermiten: • Caminarpor los reactivosseleccionadossiguiendosuruta personal • Tenerexito a un nivelpuedepermitirevitar los reactivos de nivel inferior • Hacer un diagnósticopreciso del rendimiento de un estudiante en un estrato

16. Conclusiones • Hay estratos en el mundo matemático • Se enriquece la información didáctica al considerarlos más bien que un concepto general de “mathematicalliteracy”. • Particularmente importante es que la enseñanza tome en cuenta los saltos entre estratos en el proceso de enseñanza-aprendizaje • Cada estrato se apoya sobre dos pilares principales: • Contextos físicos específicos • Medios de expresión. • Considerar estos dos elementos es determinante para: • diseñar curriculum que facilita los saltos entre estratos • diseñar una evaluación orientada hacia los alcances dentro de estratos (evaluación intra-estrato) y entre estratos (evaluación inter-estratos) ambos reflejan una forma de pensamiento particular

17. Referencias • Adjiage R. & Pluvinage F. (2008), A numerical landscape (chapter). In Calvin L. Petroselli (Eds), Science Education Issues and Developments (pp. 5-57), New-York: Nova Publishers. • Bloom, Hastings & Madaus (Eds.), 1971, Handbook for formative and summative evaluation of students learning, Mc Graw Hill • Chevallard Y., 2002, Organiser l’étude 3. Écologie & régulation. In: Dorier, J. L. et al. (éds.), Actes de la 11e école de didactique des mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage. • Duval, R., 2000,Basic Issues for Research in Mathematics Education. Proceedings of the 24th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME). (July 23-27 2000, Vol. 1, pp. 55-69). Hiroshima, Japan • OECD, 2003, Sample test questions from PISA 2003 on line (zip file) http://www.pisa.oecd.org/document/38/0,3343,en_32252351_32236173_34993126_1_1_1_1,00.html • OECD, 2006, Assessing Scientific, Reading, and Mathematical Literacy, A Framework for PISA 2006, http://213.253.134.43/oecd/pdfs/browseit/9806031E.PDF. • OECD, 2010, Mejorar las escuelas: Estrategias para la acción en México Consultado en http://www.oecd-ilibrary.org/education/mejorar-las-escuelas_9789264087682-es (gracias a la suscripción realizada por el Cinvestav-IPN) • Radford, L. & Puig, L. (2007) Syntax and meaning as sensuous, visual, historical forms of algebraic thinking, Educational Studies in Mathematics, 66, p. 145–164 • Winsløw, C. (2005) Définir les objectifs de l’enseignement mathématique : la dialectique matières – compétences, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, vol. 10, IREM de Strasbourg Consultado en línea en http://irem.u-strasbg.fr/php/index.php?frame=.%2Fpubli%2Fannales%2Fsommaire.php&m0=pub&m1=dispo&m2=ann&