Problèmes d'optimisation combinatoire et autocommutateurs utilisés en téléphonie mobile

1. Problèmes d'optimisation combinatoire et autocommutateurs utilisés en téléphonie mobile Renaud SirdeyArchitecte système, Nortel R&DSéminaire Limos/18 mars 2005

2. Coordonnées R. Sirdey Service d'architecture BSC/TCU, Nortel R&D Parc des activités de Magny-les-Hameaux Point Courrier 12A7 78928 Châteaufort Cedex 09, France Tél. : +33 (0)1 69 55 41 18 (ESN : 574-4118) Fax : +33 (0)1 69 55 31 25 (ESN : 574-3125) E-mail : renauds@nortel.com

3. Table des matières • Quelques exemples de problèmes concrets. • Sur l'omniprésence des problèmes d'optimisation. • Un problème d'affectation. • Extensible bin-packing. • Problème du sac à dos max-min. • Reconfiguration dynamique de systèmes distribués. • Problématique et complexité. • Cas particuliers polynomiaux. • Construction d'instances. • Résolution approchée. • Recherche arborescente. • Polyèdres.

4. Quelques exemples de problèmes concrets

5. Architecture simplifiée d'un réseau GSM(Lagrange et al, 2002)

6. Sur l'omniprésence des problèmes d'optimisation • Un autocommutateur est un système qui offre un nombre limité de ressources interdépendantes qu'il convient d'utiliser le plus efficacement possible. • Dans un tel contexte des problèmes d'optimisation complexes se présentent naturellement. • Néanmoins les contraintes liées au temps réel et à l'embarqué limitent les méthodes de résolution utilisables. • Ceci est particulièrement vrai lorsque les problèmes sont NP-difficiles.

7. Hiérarchisation des problèmes d'optimisation • Une fois l'exercice de modélisation effectué. • Par ordre de préférence « industrielle »: • Les problèmes que l'on peut ramener à un problème polynomial. • Les problèmes que l'on peut ramener à un problème NP-difficile possédant de bons algorithmes de résolutions approchés pour lesquels on connaît des garanties de performances. • Les problèmes que l'on peut ramener à un problème NP-difficile au sens faible. • Les problèmes peu voire pas étudiés.

8. Un problème d'affectation • Soit T un ensemble de groupes de canaux radio et X un ensemble d'émetteurs-récepteurs, on cherche une affectation des groupes sur les émetteurs-récepteurs qui maximise le service rendu sachant que : • Un groupe n'est pas forcément compatible avec tous les émetteurs-récepteurs. • Affecter un groupe à certains émetteurs-récepteurs peut conduire à une dégradation plus ou moins importante du service. • Affecter un groupe à certains émetteurs-récepteurs peut induire une sous utilisation. • Un groupe peut n'être affecté à aucun émetteur-récepteur. • Composante dynamique du problème : • Lors de la défaillance d'un émetteur-récepteur il convient de construire une affectation proche de celle qui précédait la défaillance afin d'éviter de réaliser des déconfigurations abusives d'émetteurs-récepteurs.

9. Résolution à l'aide d'un algorithme de flot

10. Extensible bin-packing (EBP) • Étant donnés un ensemble I d'items et un ensemble B de boîtes on cherche une affectation f des items dans les boîtes qui minimise ∑bBmax(cb,∑iI:f(i)=bpi) où cb et pi dénotent respectivement la capacité de la boîte b et le poids de l'item i. • Application : affecter un ensemble de consommateurs de circuits à des liens MIC.

11. Résolution approchée du problème EBP • LPT : • Trier les items par ordre de poids décroissant. • Mettre l'item i dans dans la boîte qui possède la plus grande capacité résiduelle (potentiellement négative). • Garanties de performances : • LPT/OPT≤1.0833 si les boîtes sont identiques (Dell'Olmo et al, 1998). • LPT/OPT<1.1756 si maxiIpi≤minbBcb (Dell'Olmo et al, 1999). • Cas en ligne : LS/OPT≤1.25 (Dell'Olmo et al, 1999). • Affectation des ressources par lien à l'aide de l'algorithme de Sainte-Laguë (Balinski, 2002) utilisé en mathématiques électorales.

12. Problème du sac à dos max-min • Énoncé (Yu, 1996) : Maximiser mink=1,…,t∑j=1,…,npkjxj s. l. c. ∑j=1,…,nwjxj≤c xj{0,1} • Application : sélection des modules à garder sous-tension après une défaillance du réseau électrique dans un équipement composé de t cabinets. L'objectif étant de maximiser la durée de fonctionnement de l'équipement sur batterie (mode dégradé) tout en respectant une contrainte sur le service.

13. Résolution du problème du sac à dos max-min • Résoluble en temps pseudopolynomial pour t fixé : • Complexité en O(ncPt) avec P=maxk=1,…,t∑j=1,…,npkj (Yu, 1996). • Notre variante du problème est multidimensionnelle (e.g. Kellerer, 2004 ou Minoux, 1983) mais possède une particularité qui rend l'algorithme polynomial : O(|R||C|+|K|+1). • L'algorithme permet de résoudre les plus grosses instances en moins de 3 secondes. • NP-difficile au sens fort sinon.

14. Reconfiguration dynamique de systèmes distribués

15. Contexte • Travail de thèse de doctorat effectué, depuis mai 2004, dans le cadre d'une convention Cifre entre l'ANRT, l'Université de Technologie de Compiègne (Gradient) et Nortel R&D. • Sous la direction de • J.-O. Bouvier, chef du service d'architecture BSC/TCU, Nortel R&D. • J. Carlier, professeur des universités, laboratoire Heudiasyc, UTC. • D. Nace, maître de conférences, laboratoire Heudiasyc, UTC. • En collaboration avec • H. Kerivin, maître de conférences, laboratoire Limos, Université de Clermont-Ferrand II.

16. Préliminaires • On considère un autocommutateur composé de processeurs sur lesquels tournent des processus. • Notations : • U : l'ensemble des processeurs. • R : l'ensemble des ressources offertes par les processeurs. • Cur : la quantité de la ressource r offerte par le processeur u. • P : l'ensemble des processus. • wpr : la quantité de la ressource r consommée par le processus p. • Ni Cur ni wpr ne dépendent du temps.

17. État du système • Un état du système consiste en une distribution d'un sous-ensemble des processus sur les processeurs qui respecte les contraintes de capacité. • Lorsque tous les processus ne sont pas distribués le système est en mode dégradé. • Un processus peut être déplacé (migré) d'un processeur vers un autre sans impact sur le service rendu. • Durant un tel déplacement, le processus consomme des ressources sur les processeurs source et cible du déplacement.

18. Exemple (Sirdey et al, 2003)

19. Problématique • Il convient de faire passer le système d'un état arbitraire, l'état initial, à un autre état, l'état terminal, en tenant compte des contraintes de capacité. • Notations : • M : l'ensemble des déplacements. • wmr : la quantité de la ressource r consommée par le processus déplacé. • sm : le processeur source du déplacement. • tm : le processeur cible du déplacement. • S(u) : l'ensemble des déplacements qui ont u pour source. • T(u) : l'ensemble des déplacements qui ont u pour cible. • K(u) : capacité résiduelle initiale de u.

20. Exemple

21. Motivations • La qualité (équirépartition de la charge) de la distribution des processus se dégrade au fur et à mesure des défaillances des processeurs et des modifications dynamiques des caractéristiques des processus. • Lors d'une mise en service dans un réseau existant le système peut démarrer à vide, la distribution des processus est alors réalisée en ligne. • Les procédures de mise à jour logicielle sans interruption de service requièrent des distributions de processus particulières.

22. Minimisation de l'impact sur le service • Les contraintes de capacités doivent être respectées. • Des situations de blocage peuvent donc être inévitables. • On les résout en arrêtant temporairement des processus. • Problème : • Trouver un sous-ensemble I de M et un ordonnancement réalisable σ des déplacements de M\I tel que ∑mIc(m) soit minimal. • Où c(m) mesure l'impact de l'arrêt du processus associé à m. • Les processus associés au déplacements de I sont arrêtés au début de la reconfiguration et redémarrés à la fin.

23. Minimisation de la surcharge temporaire • Les contraintes de capacité peuvent être violées. • Il n'y a donc pas de situations de blocage mais des situations de surcharge temporaire (qui ont aussi un impact sur le service). • Problème : • Trouver un ordonnancement σ des déplacements de M tel que maxmM[-Q(m;σ)]+ soit minimal. • Où Q(m;σ) est la capacité résiduelle de l'unité ciblée par m après la réalisation de ce déplacement.

24. Complexité • Problème de décision : • Existe t'il un ordonnancement σ des déplacements de M qui respecte les contraintes de capacité ? • NP-complet au sens fort par restriction du cas à deux processeurs au problème 3-partition. • Minimiser l'impact sur le service ou la surcharge temporaire est donc NP-difficile au sens fort.

25. Travaux antérieurs • Coffman et al,1983 et 1985 : • Ordonnancement sans préemption de transferts de fichiers avec une contrainte sur le nombre de transferts qu'un processeur peut effectuer en parallèle. • L'objectif est de minimiser la durée totale. • Pas de contraintes de capacité. • Carlier,1984 : • Ordonnancement des paiements de dettes morcelables. • Hall et al, 2001, Saia, 2001 et Anderson et al, 2001 : • Ordonnancement de déplacements d'objets morcelables sous des contraintes de capacité lâches. • L'objectif est de minimiser la durée totale.

26. Prétraitement • Pour des raisons opérationnelles il convient de minimiser le nombre de déplacements. • Les propriétés d'un état du système sont invariantes par une permutation qui associe des processeurs de même capacité. • Simplification des déplacements de processus de même taille. • Il s'agit alors de résoudre un problème d'affectation.

27. K-meilleures affectations • Le problème qui consiste à trouver les K-meilleures solutions d'un problème d'affectation peut être résolu efficacement (Chegireddy et Hamacher, 1987). • Cet algorithme peut être associé à une heuristique de résolution du problème de minimisation de l'impact sur le service de manière à : • Essayer plusieurs permutations des processeurs qui minimisent le nombre de déplacements. • Voire à autoriser un peu plus de déplacements en cas d'effet positif sur la fonction objectif (moins d'impact).

28. Multigraphe et graphe de transfert • À une instance du problème on associe un multigraphe, appelé multigraphe de transfert, dont les sommets sont les processeurs et les arcs les déplacements. • Les arcs sont valués par les consommations des processus déplacés. • Le graphe de transfert s'obtient à partir du multigraphe de transfert en contractant les arcs parallèles.

29. Graphe de transfert sans circuit • Peut être résolu en temps linéaire : • Il suffit de procéder dans l'ordre inverse d'une bonne numérotation. • En conséquence de l'admissibilité de l'état terminal.

30. Décomposition • Les composantes fortement connexes du graphe de transfert doivent être traitées dans l'ordre inverse d'une bonne numérotation et ce indépendamment. • Exemple : 1, 10, A, B, 3, C.

31. Le cas homogène • La consommation des processus est égale à 1 (sans perte de généralité). • Proposition d'un algorithme polynomial : Tant que l'ensemble des sommets de G n'est pas vide faire Soit C l'ensemble des sommets de la dernière composante fortement connexe de G. Si C ne contient qu'un seul sommet alors réaliser (*) dans un ordre arbitraire tous les déplacements qui ont ce sommet pour cible puis l'enlever de l'ensemble des sommets de G. Sinon choisir un sommet, v0, de C de capacité résiduelle non nulle et un sous-graphe eulérien maximal passant par v0 puis réaliser (*) les déplacements associés aux arcs du sous-graphe dans l'ordre inverse d'un tour eulérien de sommet initial v0. (*) L'arc correspondant est enlevé de G.

32. Exemple

33. Caractérisation des solutions • On suppose le graphe de transfert connexe. • Si le multigraphe de transfert est eulérien alors • Soit il existe un sommet de capacité résiduelle non nulle auquel cas un tour eulérien fournit un ordonnancement réalisable. • Soit un tel sommet n'existe pas auquel cas il suffit d'interrompre un et un seul processus. • Si le multigraphe de transfert n'est pas eulérien alors l'algorithme trouve toujours un ordonnancement réalisable.

34. Construction d'instances réalistes • Il convient de tenir compte de la présence de processus passifs. • γ est le rapport entre la consommation d'un processus passif et celle du processus actif qu'il assure : • γwp : consommation du processus passif. • (1- γ)wp : provision en cas de défaillance isolée d'un processeur. • Les provisions se superposent si les actifs tournent sur des processeurs distincts.

35. Construction d'instances réalistes (suite) • Le taux de remplissage permet de définir la charge active maximale du système. • Procédé de construction : • Générer des processus jusqu'à ce que la charge active maximale du système soit atteinte. • Construire l'état initial en distribuant aléatoirement ces processus sur les processeurs. • Construire l'état terminal à l'aide de l'algorithme LPT. • En pratique il est extrêmement rare qu'un système soit à pleine charge.

36. Recuit simulé • Soit Ω={ω1,…, ωN} un ensemble d'objets et c:Ω→{e1,eP} une fonction économique que l'on cherche à minimiser. • Une solution ω est dite (α,β)-acceptable en différentiel (Monnot et al, 2003) si Prob[c(ω)>e1+(1-β)(eP-e1)]≤α • À l'aide d'un résultat de Lundy et Mees, 1986 on peut calculer une température finale Tf tel que les solutions issue de la loi stationnaire de l'algorithme de Metropolis à la température Tf soient (α,β)-acceptables : Tf=(1-β)eP/(logN-logα)

37. Recuit simulé (suite) • On cherche à converger de proche en proche vers cette loi stationnaire à l'aide d'une loi de décroissance de la température qui vérifie (Lundy et Mees, 1896 et Aarts et van Laarhoven, 1985) |πωi(Tk)-πωi(Tk+1)|≤δ • Le nombre de paliers pour atteindre Tf est polynomial. • Paramètres : α, β, δ et le nombre d'itérations à chaque pallier de température. • Pas de garanties théoriques d'obtention d'une solution (α,β)-acceptable (arguments heuristiques).

38. Quelques résultats empiriques(minimisation de l'impact sur le service) • Voisinage : permutation de deux déplacements dans un ordonnancement total. • Calcul de la fonction objectif : • Lorsqu'un déplacement ne peut être réalisé on l'interrompt ou on interrompt les processus associés à des déplacements antérieurs qui ont la même cible. • Les solutions optimales appartiennent bien à l'ensemble des solutions. • Paramètres : α=0.05, β=0.95, δ=0.1 et |M| itérations par palier.

39. Autres méthodes de résolution approchée(minimisation de l'impact sur le service) • Heuristiques à l'étude : • L'heuristique du sous-graphe eulérien, inspirée de l'algorithme de résolution du cas homogène. • Une heuristique gloutonne basée sur l'insertion non invalidante des déplacements dans un ordonnancement réalisable. • Une méthode de composition d'ordonnancements partiels restreints, qui sont des structures extrêmement lâches. • En l'état les performances sont moins bonnes que celles obtenues à l'aide l'algorithme du recuit simulé, principalement en termes de stabilité.

40. Recherche arborescente et problème de décision • Un sommet de l'arborescence correspond à un sous-ensemble S de M et à un ordonnancement réalisable σ des déplacements de S. • Règle de dominance : soit deux sommets (S,σ) et (S',σ'), si S=S' alors (S',σ') peut être éliminé. • L'arborescence est élaguée en mémorisant les sous-ensembles déjà considérés dans une structure de données appropriée. • Branchement sur les composantes fortement connexes du graphe de transfert résiduel.

41. Quelques résultats empiriques(sans analyse de connexité)

42. Quelques résultats empiriques(avec analyse de connexité)

43. Recherche arborescente et minimisation de la surcharge • Un sommet de l'arborescence est définit par un triplet (S,σ,μ) où S est un sous-ensemble de M, σ est un ordonnancement des déplacements de M et μ est la surcharge maximale induite par la réalisation des déplacements de M dans l'ordre σ. • Règle de dominance : soit deux sommets (S,σ,μ) et (S',σ',μ') si S=S' et si μ≤μ' alors (S',σ',μ') peut être éliminé. • L'arborescence est élaguée en mémorisant les sous-ensembles déjà considérés dans une structure de données appropriée. • D'autres règles sont à l'étude.

44. Quelques résultats empiriques

45. Recherche arborescente et minimisation de l'impact sur le service • Aujourd'hui nous procédons par énumération des sous-ensembles de déplacements pour lesquels on interrompt les processus associés. • On résout ensuite un problème de décision pour chacun de ces sous-ensembles. • En l'état les performances laissent à désirer sur les instances précédentes (plusieurs heures de calcul pour certaines). • Ces instances sont à la frontière entre celles qui admettent au moins une solution qui ne requiert pas d'interruption et celles qui n'en admettent aucune.

46. Évaluation par défaut(minimisation de l'impact sur le service) • Mise du problème sous la forme d'un PLNE dont les colonnes sont associées aux ordonnancements réalisables restreints à chacun des processeurs. • La relaxation linéaire de ce programme fournit des évaluations par défaut d'assez bonne qualité. • Le nombre extrêmement élevé de colonnes requiert l'utilisation de la technique de génération de colonnes : • Le problème de séparation sur le dual est NP-difficile au sens fort. • Néanmoins, l'énumération peut être restreinte, par processeur, aux ordonnancements des seuls déplacements qui la concernent ce qui est intéressant pour des instances telles que chaque processeur n'est concerné que par peu de déplacements.

47. Quelques résultats empiriques

48. Programme linéaire en nombres entiers(minimisation de la surcharge) • xmm'=1 si et seulement si m précède m'. • Énoncé : Minimiser ε s. l. c. (1) xmm'+xm'm=1, m≠m' (2) xmm'+xm'm"-xmm"≤1, m≠m', m≠m", m'≠m" ∑m'C(tm)\{m}wm'xm'm-∑m'S(tm)wm'xm'm-ε≤K(tm)-wm xmm'{0,1}, ε≥0 • Les contraintes (1) et (2) définissent une structure d'ordonnancement linéaire (e.g. Grötschel et al, 1985, Fishburn, 1992, Bolotashvili et al, 1999 et Leung et Lee, 1992).

49. Programme linéaire en nombres entiers(minimisation de l'impact sur le service) • xmm=1 si le processus associé à m est interrompu. • Énoncé : Minimiser ∑mMwmxmm s. l. c. xmm'+xm'm+xmm+xm'm'≥1, m≠m' xmm'+xm'm+xmm≤1, m≠m' xmm'+xm'm"-xmm"≤1, m≠m', m≠m", m'≠m" ∑m'C(tm)\{m}wm'xm'm-∑m'S(tm)wm'(xm'm'+xm'm)-wmxmm≤K(tm)-wm xmm{0,1} • Polytope de pleine dimension sous des conditions assez peu restrictives.

50. Le polytope des sous-tournois sans circuit(partial linear ordering polytope) • Enveloppe entière, notée PPLO, de (1) xmm'+xm'm+xmm+xm'm'≥1, m≠m' (facette) xmm'+xm'm+xmm≤1, m≠m' (facette) xmm'+xm'm"-xmm"≤1, m≠m', m≠m", m'≠m" xmm{0,1} • Polytope de pleine dimension. • Classes de facettes déjà identifiées : • xmm+xmm'+xm'm"-xmm"≤1. • Soit IM alors ∑mI∑m'Ixmm'≥|I|-1 est une facette de PPLO (généralise (1)). • D'autres classes sont pressenties. Un sommet de PPLO.