MECÂNICA - ESTÁTICA

1. MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10

2. Objetivos • Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área. • Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área. • Discutir o momento de inércia de massa.

3. 10.1 Produto de Inércia de uma Área Para um elemento de área dA é definido como dIxy = xydA, assim para toda a área A, o produto de inércia é: Pode ter valores positivos ou negativos. Será nulo quando os eixos x e y forem de simetria.

4. 10.2 Teorema dos Eixos Paralelos Considerando os valores de x e y da fórmula pelo valores do sistema de eixos qualquer:

5. Problema 10.C – Triângulo direito Determine o produto de inércia da área triangular da figura.

6. Problema 10.C – Triângulo direito - Solução dx y x

7. Problema 10.C – Triângulo esquerdo Determine o produto de inércia da área triangular da figura.

8. Problema 10.C – Triângulo esquerdo - Solução dx y x

9. 10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados Usandoequações de transformação entre as coordenadasx, y e u, v:

10. 10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados As fórmulasfinaissão:

11. 10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados

12. Momentos Principais de Inércia Existe um ângulo de inclinaçãotalqueosmomentos de inérciau e vsãomáximos e mínimos. Derivando-se as expressões de Iue Iv em relação ao ângulo encontra-se:

13. Momentos Principais de Inércia Verifica-se queparaoseixosprincipais o produto de inércia é nulo. Como o produto de inércia é nulopara um eixo de simetria, pode-se concluirquequalquereixode simetriatambém é um eixoprincipal daárea. Obviamenteque o outroeixo principal seráortogonalaoprimeiro.

14. 10.8 Círculo de Mohr para Momentos de Inércia DenominandoR a expressãodaraizdaequação anterior: A equação dos momentosprincipais de inérciapode ser reescritacomo:

15. 10.8 Círculo de Mohr para Momentos de Inércia Ouseja, podemosdesenhar o seguintecírculo: 1 2 q2 q1 q2

16. Exemplo 10.10 Usando o círculo de Mohr, determine os momentos principais de inércia da área mostrada com relação ao centro de gravidade.

17. Exemplo 10.10 - Solução Usandovaloresjácalculadosnosexemplos 10.6 e 10.8: Ix = 2.90e+9 mm4, Iy = 5.60e+9 mm4 e Ixy = -3e+9 mm4. O raio do círculo é:

18. Exemplo 10.10 - Solução 1. Construir o círculo (R = 3.2898e+9) emqualquerposição e desenhar o eixoIx:

19. Exemplo 10.10 - Solução 2. Marcar o ponto A usando (Ix – Iy) / 2 (-1.35e+9 mm4) e Ixy (-3e+9 mm4).

20. Exemplo 10.10 - Solução 3. Traçar a reta que passa por A, cruza o círculo em diagonal passando pelo centro.

21. Exemplo 10.10 - Solução 4. Definiroseixosprincipaisquepassampeloponto C e pelospontos A e B.

22. Exemplo 10.10 - Solução 5. Marcar a posição do eixoIxyusandoIx (2.90e+9 mm4) .

23. Exemplo 10.10 - Solução 6. Calcularosvalores dos momentosprincipais a partirdaorigem dos eixosIxy e Ix. Observe queesteposicionamento dos eixosprincipaisestáfeitoemrelaçãoaoseixos Ix e Ixy e nãoemrelaçãoaoseixosdaseção x e y!

24. Exemplo 10.10 - Solução 7. Marcaroseixosprincipaisnaseção. Começarmarcando o eixou de Imaxcontando57.10no sentido anti-horário a partir do eixopositivoxjáqueesteânguloestá no sentido anti-horário a partir do eixo 1 do círculo de Mohr. O eixov é ortogonalaoprimeiro.

25. 10.9 Momento de Inércia de Massa Propriedade que mede a resistência do corpo a acelerações angulares. O volante (roda grande e pesada) da figura esta conectada a um cortador de metal. Ele é usado para providenciar um movimento uniforme na lâmina de corte. Qual é propriedade mais importante do volante para o seu uso? Como calcular o valor desta propriedade? Por que a maior parte da massa do volante esta localizado afastado do centro?

26. T G · 10.9 Momento de Inércia de Massa Conceito do MIM Considere um corpo rígido com centro de massa em G. Ele pode girar livremente em torno do eixo z, que passa por G. Se for aplicado um torque T em torno do eixo z no corpo, ele começa a girar com aceleração angular . T e  sãorelacionadospelaequaçãoT = I  . Nestaequação, I é o momento de inércia de massa (MIM) emtorno do eixo z. O MIM de um corpo é uma propriedade que mede a resistência do corpo a aceleração angular. Isto é similar a função da massa na equação F = m a. O MIM é utilizado na analise de movimentos rotacionais (em Dinâmica).

27. p 10.9 Momento de Inércia de Massa Definição do MIM Considere um corpo rígido e eixo arbitrário p mostrado na figura. O MIM em torno do eixo p é definido como I = m r2 dm, onde r, o braço de momento, é a distância perpendicular do elemento dm até o eixo. O MIM é um valor semprepositivo e possuiunidade de kg ·m2 or slug · ft2.

28. p d p’ G · m 10.9 Momento de Inércia de Massa Conceitos correlatos Teorema dos eixosparalelos: De forma semelhantejá vista esteteoremapode ser usadoparaencontrar o MIM emtorno de um eixo p’ situado a umadistância d do eixoquepassapelocentro de massa G. A fórmula é: Ip’ = IG+ (m) (d)2 (onde m é a massa do corpo) O raio de giração é similarmente definido como: k = (I / m) Finalmente, o MIM pode ser obtido por integração ou pelo método dos corpos compostos.

29. q r p Problema 10.D Dados: O volante consiste de um fino anel com massa de 10 kg e de quatro raios com massa de 2 kg cada. Encontrar: O MIM do volante em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto A. Dica: Seguir os passos similares ao do Momento de Inércia de áreas compostas.

30. q r p Problema 10.D 1. O volante pode ser dividido em um anel (p) e duas cruzetas (q e r). Podem as cruzetas serem tratadas como iguais?

31. q r p Problema 10.D - Solução 2. O centro de massa de cada uma das três peças é o mesmo ponto O, situado a 0.5 m do ponto A. 3. Usando os dados das peças e o teorema dos eixos paralelos calcular o que segue. IA = IO+ (m) (d) 2 IAp = 10 (0.5)2 + 10 (0.5)2 = 5.0000 kg·m2 IAq = IAr = (1/12) (4) (1)2 + 4 (0.5)2 = 1.3333 kg·m2 4. Agora adicioneostrêsvalores no pontoA. IA = IAp + IAq+ IArIA = 7.67 kg·m2