1 / 18

RUANG VEKTOR (1)

RUANG VEKTOR (1). RV. 1. PENDAHULUAN. Ruang vektor dengan dimensi terhingga Ruang Vektor V, yang elemennya disebut vektor , melibatkan sembarang bagian ( medan ) K , yang elemennya disebut skalar .

chiku
Download Presentation

RUANG VEKTOR (1)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. RUANG VEKTOR (1)

  2. RV. 1. PENDAHULUAN • Ruangvektordengandimensiterhingga • RuangVektorV, yang elemennyadisebutvektor , melibatkansembarangbagian (medan) K , yang elemennyadisebutskalar. • Notasi yang akandipergunakandalampembahasanberikutnyadalambabini (kecualidiberikanpetunjukkhusus) adalah ; • V : yang vektor yang diketahui • u,v,w: vektor-vektordidalamV • K : medanbilangan yang diketahui • a,b,cdan k : skalar-skalardidalamK • a A : Elemen a termasukdalamhimpunanA • a,b  A : elemen a dan b termasukdalamhimpunanA •  x  A :untuksetiap x didalam A • A  B :AadalahsubhimpunanbagiandariB • A  B : IrisanA danB • A  B : GabunganAdanB •  : Himpunankosong

  3. RV. 2RUANG VEKTOR • Definisi :misalkanVadalahsuatuhimpunanbukankosongdenganduaoperasi : • Penjumlahanvektor : untuksembarangu,v V, jumlah u + v didalamV (ii) PerkalianSkalar : untuksembarang u  V, k K, hasilkaliku  V Maka V disebutruangvektor (atasmedanK )jikaaksioma-aksiomaberikutinidipenuhiuntuksembarangvektoru,v,w  V [A1] (u+v) + w = u + (v + w) [A2] terdapatvektordidalamV , yang dilambangkandengan 0 dandisebutvektornol, sedemikainrupasehinggauntuksembarang V , u + 0 = 0 + u = 0 [A3] untuksetiap u  V,terdapatvektordidalamV , yang dilambangkandengan –u dandisebutnegatifdari u sedemikianrupasehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 [A4] u+v = v + u [M1] k (u+v) = ku +kv , untuksembarangskalar k  K [M2] (a + b)u = au + bu, untuksembarangskalara,b K [M3] (ab)u = a(bu), untuksembarangskalara,b K [M4] 1u = u, untukskalar 1 K

  4. Aksioma-aksiomadiatassecaraalamiterbagikedalamduahimpunan. Empataksiomabagianpertama [A1…A4] berhubunganhanyadenganstrukturpenjumlahanpadaV, dandapatdiringkasdenganmengatakanVadalahkelompokkomutatifdalampenjumlahan. Iniberarti : (a) Sembarangpenjumlahanvektor-vektorv1+ v2 + … + vmtidakmembutuhkantandakurungdantidakbergantungpadaurutanoperasipenjumlahan • Vektornol (0) adalahunikdanbentuknegatif (-u) darivektorU , adalahunik • Hukumpembatalan: jikau + w = v + w, makau = v Empataksiomasisanyaberkaitandengan “tindakan” medanskalarKpadaruangvektorV TEOREMA : RV.1 : MisalkanV adalahruangvektoratasmedanK . • untuksembarangskalarkKdan 0  V, k0 = 0. • Untuk0K dansembarangvektor u V, 0u = 0 • Jikaku = 0, dimanakKdan u  V, maka k = 0 atau u = 0. • UntuksembarangkKdansembaranguV, (-k)u = k(-u) = -ku

  5. Contoh-Contoh Ruang Vektor 1. Ruang Vektor K n • K adalah sembarang medan. Notasi K nmerupakan ruang vektor atas dengan menggunakan operasi-operasi berikut : • Penjumlahan vektor : (a1, a2,a3,...,an) + (b1,b2,b3,…,bn) = (a1+b1, a2 +b2, a3+b3, ….,an +bn) • Perkalian skalar : k(a1,a2,a3,…,an) = ka1,ka2,ka3,..,kan

  6. 2. Ruang Polinomial P(t) P(t) = a0 +a1t +a2t2 +a3t3 +….+ asts ; (s = 1,2,3,…) dimana as termasuk dalam suatu medan K. maka P(t) adalah ruang vektor atas K dengan menggunakan operasi berikut ; • Penjumlahan vektor : disini p(t) + q(t) dalam P(t) adalah operasi biasa untuk penjumlahan polinomial • Perkalian Skalar : disini kp(t) dalam P(t) adalah operasi perkalian biasa antara skalar k dan polinomial p(t). Polinomial nol 0 adalah vektor nol dalam P(t)

  7. 3. Ruang Matrik Mm,n Notasi Mm,n atau disingkat dengan M, akan digunakan untuk melambangkan himpunan semua matriks mxn dengan entri-entri dalam suatu medan K. Maka Mm,n adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan matriks dan operasi perkalian skalar matriks.

  8. 4. RuangFungsi F(x) misalkan X adalahhimpunanbukan-kosongdanmisalkanK adalahsebarangmedan. Misalkan F(x) melambangkanhimpunansemuafungsi X kedalamK . Maka F(x) adalahruangvektoratasK dalamkaitannyadenganoperasi-operasiberikut : • PenjumlahanVektor • PerkalianVektor :

  9. (i) Penjumlahan Vektor • Jumlah dari dua fungsi f dan g dalam F(X) adalah fungsi f + g dalam F(X) yang didefinisikan sebagai : • (f+g)(x) = f(x) + g(x) x  X

  10. (ii) Perkalian Skalar • Hasil kali dari skalar k K dan fungsi f dalam F(X) adalah fungsi kf dalam F(X) yang didefinisikan sebagai : (kf)(x) = kf(x) x  X • Vektor nol dalam F(X) adalah fungsi nol 0, yang memetakan setiap x  X ke dalam elemen nol 0  K, yaitu 0(x) = 0 x  X • Selain itu untuk sebarang fungsi f dalam F(X), fungsi –f dan F(X) yang didefinisikan sebagai : (-f)(x) = - f(x) x  X adalah negatif dari fungsi f.

  11. 5. Medan danSubmedan anggaplahmedanEadalahperluasanmedanK, dengankata lain anggaplahEadalahmedandenganKsebagaisubmedannya. MakaEdapatdilihatsebagairuangvektoratasKdenganmenggunakanoperasi-operasiberikutini : • PenjumlahanVektor : disini u + v dalamEadalahpenjumlahanbiasadidalamE • Perkalianvektor : disinikudalamE, dimana k  Kdan u  E, adalahhasilkalibiasaantara k dan u sebagaielemen-elemenE

  12. RV. 4Kombinasi Linier dan Himpunan Rentangan • Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas medan K. vektor v dalam Vadalah kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2, … , um dalam V jika terdapat skalar-skalar a1,a2,…, am dalam K sedemikian rupa sehingga : v = a1u1 +a2u2 + … + amum Atau , v adalah kombinasi linier dari u1,u2, …, um jika terdapat solusi bagi persamaan vektor v = x1u1 + x2u2 + … + xmum dimana x1,x2,..,xm adalah skalar-skalar diketahui.

  13. contoh • V = (3,7,-4) pada R3 sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor : U1 = (1,2,3); u2= (2,3,7); u3 = (3,5,6) • Kita tentukan skalar-skalar dari x,y,z sedemikian rupa sehingga v = xu1 + yu2 + zu3; yaitu : atau : x + 2y +3z = 3 2x + 3y + 5z = 7 3x + 7y + 6z = -4 Sehingga di dapat ; x = 2; y =-4; z = 3 Jadi v = 2 u1 – 4 u2 + 3 u3

  14. RV. 5SUB RUANG • Definisi : misalkan V adalah ruang vektor atas medan K dan misalkan W adalah subhimpunan dari V. maka W adalah subruang dari V, jika W itu sendiri adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan vektor dan operasi perkalian skalar pada V.

  15. TEOREMA Anggaplah W adalah subhimpunan dari ruang vektor V. maka W adalah subruang dari V jika dua syarat berikut ini terpenuhi : (i) vektor nol 0 termasuk dalam W (ii) untuk setiap u,v W, kK : (a) jumlah u + v  W (b) kelipatan ku W Sifat (i) pada (b) menyatakan bahwa W tertutup dalam penjumlahan vektor, dan sifat (ii) pada (b) menyatakan bahwa W tertutup dalam perkalian skalar. Kedua sifat ini dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan tunggal yang ekuivalen berikut : (b’) untuk setiap u,v W, a,b K, kombinasi linier au + bv W

  16. Contoh 2 • Kombinasi linier dalam polinomial P(t) adalah v = 3t2 + 5t – 5, sbg kombinasi linier dari polinomial : p1 = t2 + 2t + 1; p2= 2t2 + 5t + 4 ; p3= t2 + 3t +6 Tentukan x,y,z sedemikian rupa sehingga v = xp1 + yp2 + zp3

  17. PR • Nyatakan v = (2,-5,3) dalam R3 sbg kombinasi linier dari vektor u1= (1,-3,2); u2=(2,-4,-1); u3= (1,-5,7) • Nyatakan polinomial dari v = t2 + 4t – 3 dalam P(t) sebagai kombinasi linier dari polinomial dari : p1 = t2 – 2t +5 p2 = 2t2 - 3t p3 = t +1

  18. RV. 6Rentang Linier, Ruang Baris dari Matriks • Anggap u1,u2,…,um adalah sebarang vektor-vektor pada ruang vektor V. • Kumpulan dari semua kombinasi linier semacam ini, yang dinyatakan sebagai : Rentang (u1,u2,..,um) atau rentang (ui) Disebut rentang linier (linier span) dari u1,u2,u3,..,um. • Jelas bahwa vektor nol 0 termasuk dalam rentang (ui), karena 0 = 0u1 +0u1 + 0u3 + … + 0um Lebih lanjut anggaplah v dan v’ termasuk dalam rentang (ui), misal : v = a1u1 + a2u2 +…. + amum dan v’ = b1u1 + b2u2 +…+ bmum Maka untuk sembarang skalar k  K, kita memperoleh : V + v’ = (a1+b1) u1 + (a2+b2)u2 + … + (am+bm) um Dan kv = ka1u1 + ka2u2 + …..+ kamum

More Related