Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D. Email: bivanov@bas.bg Institute of Chemical Engineering-BAS

1. Приложно математично програмиране ЛЕКЦИЯ 2 Оптимизация при целеви функции с един управляващ параметър Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D. Email: bivanov@bas.bg Institute of Chemical Engineering-BAS

2. Лекции Лекция 1 Въведение в математичното програмиране Лекция 2Оптимизация при целеви функции с един управляващ параметър Лекция 3 Нелинейно програмиране – Градиентни методиЛекция 4 Нелинейно програмиране – Директни методи Лекция 5 Нелинейно програмиране – Методи с ограничения Лекция 6 Линейно програмиране Лекция 7 Методи за булева и дискретна оптимизация Лекция 8 Методи за глобална оптимизация Лекция 9 Методи за многоцелева оптимизация

3. План на лекцията 1. Постановка на задачата 2. Методи на сканирането 2.1. Сканиране с постоянна стъпка 2.2. Сканиране с променлива стъпка 3. Метод на “дихотомията” 3.1. Постановка на задачата-графическа интерпретация 3.2. Алгоритъм на метода 4. Метод на “златното сечение” 4.1. Постановка на задачата-графическа интерпретация 4.2. Алгоритъм на метода 5. Интерполационни методи 5.1. Метод на Дейвис, Суен и Кемпи

4. Постановка на задачата ИЛИ Maximum Maximum

5. Постановка на задачата - графическа интерпретация X*min X*max X*min x а b

6. Методи на сканирането X*min X*max X*min x а b

7. Сканиране с постоянна стъпка а X*min b x

8. Сканиране с променлива стъпка Алгоритъм на метода: 1. Приема се начален интервал на сканиране 2. Прави се сканиране в целия първоначален интервал и се определят координатите на max или min 3. Избира се нов интервал на сканиране 4. Проверява се критерият за спиране на търсенето 5. Намалява се стъпката за сканиране 6. Процедурата се повтаря в т.3 до достигане на зададената точност

9. Сканиране с променлива стъпка а а X*min b b x

10. Метод на “дихотомията” 2. Изчислява се целевата функция на средата на интервала 3. Изчислява се делта 4 6. Ако търсенето се прекратява, иначе продължаваме в т.7 Алгоритъм на метода: 1. Изчислява се целевата функция на границите 4. Изчислява се Ц.Ф. За стойностите на аргумента 5. От получените 5 стойност се избира най-добрата и се запомня 7. Отхвърля се половината от изследваната област и се определят новите граници за търсене на екстремума 8. Ако екстремума съвпада с една от граничните точки, съответната граница се запазва и алгоритъма продължава в т. 2 9. Ако екстремума е вътре в допустимите граници, алгоритъма продължава в т. 3

11. Метод на “дихотомията”-Графическа интерпретация 1 2 4 5 3 а а X*min b x X(1) b

12. Метод на “златното сечение” Принципът на метода на “златно сечение” се състои в разделяне на търсената област на две части в отношение което удовлетворява т. нат “златно сечение”

13. Метод на “златното сечение” 1 2 0.62(b-a) 0.38(b-a) а x1 X*min x2 b x

14. Метод на “златното сечение” 2 1 0.62(b-a) 0.38(b-a) а X*min x1 b x

15. Метод на “златното сечение” 2 1 0.62(b-a) 0.38(b-a) b а а X*min b x

16. Метод на “златното сечение” 1. Изчислява се величините 2. Определят се границите по формулите 4. Ако променят се границите на допустимата област 5. Ако 5.3. Проверява се критерият за спиране на търсенето 5.4. Определя се 6. Ако (случай 2) 6.3. Проверява се критерият за спиране на търсенето 6.4. Определя се Алгоритъм на метода: 3. Изчисляват се Ц.Ф. За стойностите на границите 5.1. Границата а се променяна а1 5.2. Запомня се най-добрият резултат до момента 5.5. Изчислява се Ц.Ф. и алгоритъма се повтаря в т.4 6.1. Границата b се променя b1 6.2. Запомня се най-добрият резултат до момента 6.5. Изчислява се Ц.Ф. и алгоритъма се повтаря в т.4 7. При изпълнение на условието за спиране на търсенето се оптечатва най-добрият резултат

17. Метод на “златното сечение” 0.62(b-a1) 0.38(b-a1) 1 2 0.62(b-a) 0.38(b-a) а а1 X*min b b x

18. Метод на Дейвис, Суен и Кемпи 1 2 3 а m b x Интерполационни методи

19. Метод на Дейвис, Суен и Кемпи 3. Извършва се квадратична апроксимация съгласно уравнението 4. Изчислява се минимума на апроксимираната целева функция Алгоритъм на метода: 1. Задават се 3 точки в допустимия интервал (обикновено това са двете гранични точки и една точка в средата на интервала) 2. Изчисляват се стойностите за целевата функция за тези точки 5. За стойността на условния минимум се изчислява оригиналната целева функция 6. От получените 4 точки се отхвърля тази с най-лош резултат 7. Проверява се критерия за спиране на търсенето 8. Ако критерия за спиране не е изпълнен, то процедурата се повтаря в т. 3

20. Метод на Дейвис, Суен и Кемпи Квадратична апроксимация 1 Квадратичнаапроксимация 3 2 5 4 X2min а X1min X*min b x