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ME623A Planejamento e Pesquisa. 4. Experimentos em Blocos. Blocos Completos Aleatorizados Definição Análise Estatística Decomposição da Soma de Quadrados Tabela Anova Estimação dos Parâmetros Quadrados Latinos Quadrados Greco-Latinos Delineamento Cruzados
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4. ExperimentosemBlocos • BlocosCompletosAleatorizados • Definição • AnáliseEstatística • Decomposiçãoda Soma de Quadrados • TabelaAnova • Estimação dos Parâmetros • Quadrados Latinos • Quadrados Greco-Latinos • DelineamentoCruzados • BlocosBalanceadosIncompletos
Delineamentos Cruzados (Crossover) • Cada unidade experimental (UE) recebe todos os tratamentos sendo estudados • Períodos de tempo são um fator no experimento • De forma geral, existem a tratamentos a serem testados em a períodos de tempo usando naUEs • Delineamento comumente usado em ensaios clínicos para testar medicamentos washout Tempo Trat 1 Obs Trat 2 Obs
Delineamentos Cruzados (Crossover) • Caso mais simples: temos dois tratamentos (A e B) e cada indivíduo deve receber ambos • Exemplo: uma indústria farmacêutica deseja testar o efeitos de dois medicamentos (A e B) em 10 pacientes • Metade dos pacientes será submetida à sequência AB, enquanto a outra metade fará a sequência BA • Entre uma medicação e outra, deve-se haver um intervalo, chamado de washout, para que o efeito residual do primeiro medicamento seja eliminado
Delineamentos Cruzados (Crossover) • No 1º período, metade dos pacientes (escolhidos aleatoriamente) recebem medicamento A, enquanto a outra metade recebe medicamento B • Depois do período de washout, quem recebeu o medicamento A no 1º período agora recebe medicamento B e vice-versa • O experimento será analisado como um conjunto de 5 quadrados latinos 2x2
Delineamentos Cruzados (Crossover) • As linhas representam os períodos de tempo • As colunas representam os indivíduos (2 indivíduos por quadrado latino) • Os indivíduos podem ser numerados de 1 a 10, como na figura, ou então como 1 e 2 dentro de cada quadrado. Nesse caso, dizemos que os indivíduos estão nestednos quadrados
Tabela ANOVA – Delineamento Cruzado • Mesma tabela que o Caso 2 dos QL com replicação
Delineamentos com Efeito Residual • Utilizar quadrados latinos também em experimentos com efeito residual (carryover) • No exemplo dos medicamentos A e B, suponha que a observação no 2º período para o medicamento B ainda reflita algum efeito do medicamento A tomado no 1º período
Blocos Incompletos Balanceados • Em alguns experimentos com blocos aleatorizados, pode não ser possível rodar todas as combinações de tratamentos em cada bloco • Lembrem do exemplo das ponteiras: quatro ponteiras furam uma placa de metal (bloco) e a profundidade do furo determina a dureza da peça
Blocos Incompletos Balanceados • Suponha agora que seja possível furar cada placa de metal apenas em três lugares • Então não podemos testar todas as ponteiras em cada placa • Como analisar esse tipo de experimento?
Blocos Incompletos Balanceados • Quando nem todo tratamento está presente dentro de um bloco, temos Experimentos com Blocos Aleatorizados Incompletos • Se além disso, quaisquer dois tratamentos aparecem juntos um mesmo número de vezes, temos Experimentos com Blocos Incompletos Balanceados (BIB) • De forma geral, temos a tratamentos e b blocos. Além disso, cada bloco contém k tratamentos e cada tratamento ocorre r vezes no experimento (ou é replicado r vezes). • O número total de observações é N = ar = bk
Blocos Incompletos Balanceados • Então temos, • O número de vezes que cada par de tratamentos aparece no mesmo bloco é • O parâmetroλ deve ser um inteiro para que o experimento seja balanceado
Exemplo das Ponteiras • As observações estão na tabela abaixo • Temos um experimento com BIB, sendo a=4, b=4, k=3,r=3, λ=2 e N=12
Modelo Estatístico – Efeitos Fixos • As observações são descritas da mesma forma que no modelo com blocos completos: • Restrições:
Blocos Incompletos Balanceados • A variabilidade total é particionada como: onde a SS dos tratamentos é ajustada para separar os efeitos dos blocos e tratamento • Esse ajuste é necessário já que cada tratamento é representado num conjunto diferente de r blocos • Então, a diferença entre os tratamentos é também afetada pelas diferenças entre os blocos
Cálculos das Somas de Quadrados • A SSBlocos, com b – 1 graus de liberdade é: em que y.j é o total do j-ésimo bloco • A SSA(ajust) é dada por: em que Qi é o total ajustado para o i-ésimo tratamento, calculado como:
Cálculos das Somas de Quadrados com • Note que • Como antes, a SSE é calculada por subtração com N – a – b + 1 graus de liberdade • A estatística do teste para testar igualdade das médias dos tratamentos é:
Tabela ANOVABlocos Incompletos Balanceados Exercício: Use o exemplo das ponteiras com blocos incompletos balanceados e construa a tabela ANOVA
Exemplo das Ponteiras • As observações estão na tabela abaixo • Temos um experimento com BIB, sendo a=4, b=4, k=3,r=3, λ=2 e N=12
Análise Estatística - BIBExemplo das Ponteiras • A SST e SSBlocossão calculadas da seguinte forma:
Exemplo das Ponteiras • Para calcular a SSA(ajustado), precisamos primeiro determinar os totais dos tratamentos ajustados: • Daí podemos calcular a SSA(ajustado)
Tabela ANOVA - Blocos Incompletos BalanceadosExemplo Ponteiras • Por fim, calculamos a SSE • Tabela ANOVA • Como o p-valor é pequeno (0.019), concluímos que a ponteira tem um efeito significativo na dureza do material
Desenho de Quadrado de Youden • Willian J. Youden • Propôs o modelopara um estudo de plantas de tabaco • Tratamentosforamaplicadosàfolhas no topo, meio e parte baixa de 7 plantas de tabaco (blocos).
Desenho de Quadrado de Youden • Tratamentosficamfaltandoemblocos • Emgeral, estemodelopodeserconstruído de um desenho de blocosincompletosbalanceadoreorganizandoostratamentos de tal forma quecadatratamentoéassinaladoparacadaposição o mesmonúmero de vezes.
Desenho de Quadrado de Youden • Usar o ajustadoquando for de interessetestar o bloco. Eleéobtidoabrindo a soma dos quadradostotais de forma diferente.
