Relações

1. Relações

2. Relações Ao estudarmos conjuntos, estamos interessados em certas propriedades de seus elementos ou em relações entre conjuntos. Ou seja, queremos analisar sua estrutura.

3. Relações Binárias • Na vida real, quando dizemos que duas pessoas, Maria e José, se relacionam, entendemos que Maria e José se distinguem dos demais pares de pessoas por haver uma relação que eles satisfazem ou verificam. • Ex.Maria e José são casados. • Maria e José são colegas de trabalho. • Maria e José não se entendem. • Maria manda em José • Em matemática é análogo: distinguimos determinados pares de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os elementos dos demais pares, em geral, não satisfazem.

4. Relações Binárias Dados dois conjuntos S e T Uma relação R entre S e T é dada por R  SxT Uma relação binária R em S é dada por R  SxS = S2

5. Relações Binárias Ex.: Sejam S= {1,2} e T = {2,3} Temos que SxT = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} • Relação de igualdade: os elementos do par são iguais. • O único par do “universo” (SxT) que satisfaz essa relação é (2,2), • Relação menor do que: isto é, primeiro elemento do par é menor do que o segundo. • Três pares se distinguem: (1,2), (1,3), (2,3).

6. Relações Binárias Definição de uma relação  ST: • com palavras • pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem. • Por uma fórmula relacional • Pela definição do conjunto  . Usaremos a notação xy ou (x,y) para indicar que o par ordenado (x,y) satisfaz ou pertence à relação : x y  (x,y) . Uma relação  ST também é denotada por (ST)

7. Relações Binárias Exemplos. Sejam S = {1,2} e T = {2,3,4} : • descrição: x  y  x+y é ímpar. • x  y  x+y = 2n+1, com n N • x  y = {(1,2), (1,4), (2,3)} • = {(x,y) | x  S e y T e x+y é ímpar} Seja PESSOA um conjunto de pessoas, podemos ter: casado-com(PESSOA, PESSOA)

8. Relações Binárias • Para cada uma das seguintes relações binárias  em NN, determine quais dos pares ordenados apresentados pertencem à : • x  y  x = y+1 ((2,2), (2,3), (3,3), (3,2) • x  y  x divide y (2,4), (2,5), (2,6) • x  y  x é ímpar (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) • x  y  x > y2 (1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3))

9. Relações n-árias • Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária em S1S2...Sn é um subconjunto de S1S2...Sn. Neste caso para uma relação  em S1S2...Sn escrevemos (s1, s2, ...,sn) se s1, s2, ...,sn pertence à relação. • Exemplo: A= {1,2}, B = {2}, C = {2,3}. • ABC = {(1,2,2), (1,2,3), (2,2,2), (2,2,3)} • (x,y,z)  x=y=z  = {(2,2,2)} • (x,y,z)  x>y  = ??

10. Relações unárias • Uma relação unária em um conjunto S é um subconjunto particular de S. • Um elemento x de S satisfaz ou pertence à  se, e somente se, x pertence ao subconjunto que define a relação. • Exemplo 1: O conjunto dos números pares P (subconjunto de N) é definido pela relação: x  x é par. • Exemplo 2: Para o conjunto pessoa podemos ter a relação unária maior-de-idade(PESSOA).

11. Relações em um conjunto S • Uma relação binária em um conjunto S é um subconjunto de S2 = (SxS). • Ex.: x  y  xy em N • Analogamente, uma relação n-ária em um conjunto S é um subconjunto de Sn. • Ex.: (x,y,z)  x+y=z em N.

12. Definições Seja  uma relação binária em SxT. Então,  consiste de um conjunto de pares ordenados da forma (s,t). •  é uma relação um-para-um se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem exatamente uma vez na relação. • Formalmente: se (s,t)  e (s,t’)  então t=t’ e se (s,t)  e (s’,t)  então s=s’ • Ex.: Sejam S = {2,5,7,9} e T = {1,3,4,5} •  = {(2,4), (5,5), (7,3), (9,1}

13. Definições •  é uma relação um-para-muitos se algum primeiro elemento s aparece mais de uma vez. • Ex.:  = {(7,4), (2,5), (2,3)} •  é uma relação muitos-para-um se algum segundo elemento t fizer par com mais de um primeiro elemento s.. • Ex.:  = {(2,4), (3,4), (5,2)} •  é uma relação muitos-para-muitos se pelo menos um s fizer par com mais de um t e pelo menos um t fizer par com mais de um s.. • Ex.:  = {(7,4), (2,5), (9,4), (2,3)}

14. Operações sobre relações • Seja B o conjunto de todas as relações binárias em um dado conjunto S: B = P(SxS) = {:  é uma relação binária em S} • Isto é, se  B, então  S2 . • Assim, se  e  B, então podemos aplicar as operações de conjuntos à  e  resultando em novos subconjuntos de S2, isto é, em novas relações binárias: • x () y  x  y ou x y • x () y  x  y e x y • x ’ y  não x  y.

15. Exercícios 1. Sejam  e  duas relações binárias em S={1,2,3,4,5} definidas por: x  y  x = y e x  y  x < y. Encontre: •  • ’ • ’ •  • ’ 2. Analise as relações pai-de(PESSOA,PESSOA), casado-com(PESSOA, PESSOA) e trabalha-em(PESSOA,EMPRESA) Quanto às características um-para-um, um-para-muitos, etc.)

16. Propriedades das relações Seja  uma relação binária em S. •  é reflexiva quando xx para todo x  S. •  é simétrica quando xy se, e somente se yx para todo x e y  S. •  é transitiva quando, xy e yz implica xz para todo x, y e z  S. •  é anti-simétrica quando xy e yx implica x = y para todo x e y  S.

17. Exemplo Seja S = N os naturais, e x  y  x+y é par. •  é reflexiva. •  é transitiva. •  é simétrica

18. Fecho de uma relação Se uma relação  em um conjunto S não tem uma certa propriedade, podemos tentar estender  a fim de obter uma relação * em S que tenha a propriedade. • Uma relação binária * em um conjunto S é dita ser o fecho de uma relação  em S relativo à propriedade P se: • * tem a propriedade P; • * ; • * é a ‘menor’ relação contendo  com a propriedade P

19. Fecho de uma relação Obs.: a nova relação * conterá todos os pares ordenados que  contém mais os pares ordenados adicionais necessários para que a propriedade desejada se verifique. Portanto, *. • Exemplo: • Seja S = {1,2,3} e  = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} • Então, • o fecho reflexivo de  em S é: • * = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)} • o fecho simétrico de  em S é: • * = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}

20. Exercício Seja S = {a,b,c,d} e  = {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)} • Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de .