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PARÁBOLA

PARÁBOLA. Bloque II * Tema 076. LA PARÁBOLA. LA PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico del conjunto de puntos cuya distancia a una recta llamada DIRECTRIZ es igual a la distancia a un punto fijo llamado FOCO. PD = PF Elementos Eje de simetría: Eje OY

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Presentation Transcript

  1. PARÁBOLA Bloque II * Tema 076 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. LA PARÁBOLA • LA PARÁBOLA • La parábola es el lugar geométrico del conjunto de puntos cuya distancia a una recta llamada DIRECTRIZ es igual a la distancia a un punto fijo llamado FOCO. • PD = PF • Elementos • Eje de simetría: Eje OY • Parámetro: p = distancia entre el foco y la directriz. • Directriz: y = - p/2 • Foco: F(0, p/2) • Vértice: V(0, 0) • Radio vector: PF • Excentricidad: e = PF/d(P, d) = 1 Y P(x, y) F p/2 X V d p/2 Matemáticas Acceso a CFGS

  3. ECUACIÓN REDUCIDA • ECUACIÓN REDUCIDA • Aplicando la definición: • d(P, F) = d(P, d) Y P(x, y) F • Elevando todo al cuadrado: p/2 X V • Y simplificando, queda: d p/2 • Que es la ECUACIÓN REDUCIDA Matemáticas Acceso a CFGS

  4. Ejercicios • Hallar la ecuación de la parábola cuyos datos conocidos son: • 1º.- Foco: F(0, 4) ,, Directriz d: y = - 4 • Vértice: V(0, (4-4)/2) ,, V(0,0) • Parámetro: p = 4-(-4)=8 • Ecuación: x2 = 2py ,, x2 = 16y ,, y = x2 /16 Cóncava • 2º.- Foco: F(0, 0,25) ,, Directriz d: y = - 0,25 • Vértice: V(0, (0,25-0,25)/2) ,, V(0,0) • Parámetro: p = 0,25-(-0,25)= 0,5 • Ecuación: x2 = 2py ,, x2 = y ,, y = x2 Cóncava • 3º.- Foco: F(0, -3) ,, Directriz d: y = 3 • Vértice: V(0, (3-3)/2) ,, V(0,0) • Parámetro: p = 3-(-3)=6 • Ecuación: x2 = - 2py ,, x2 = - 12y ,, y = - x2 /12 Convexa Matemáticas Acceso a CFGS

  5. ECUACIÓN GENERAL • ECUACIÓN GENERAL • Lo general es que el vértice de la parábola no sea el V(0, 0) sino un punto cualquiera V(k, h) Y • La fórmula quedaría: P(x, y) F p/2 V(k, h) d p/2 X • Que es la llamada • ECUACIÓN GENERAL DESARROLLADA O Matemáticas Acceso a CFGS

  6. Ejercicios • Hallar la ecuación de la parábola cuyos datos conocidos son: • 4º.- Foco: F(-1, 3) ,, Directriz d: y = - 1 • Vértice: V(k, h) ,, V(-1, (3+1)/2) ,, V(-1, 2) • Parámetro: p = 3 -(-1)= 4 • Ecuación: (x – k)2 = 2p(y – h) ,, (x + 1)2 = 8(y – 2) • x2 + 2x + 1 = 8y – 16 ,, x2 + 2x – 8y + 17 = 0 • 5º.- Foco: F(3, 5) ,, Directriz d: y = 2 • Vértice: V(k, h) ,, V(3, (5-2)/2) ,, V(3, 1,5) • Parámetro: p = 5 – 2 = 3 • Ecuación: (x – k)2 = 2p(y – h) ,, (x – 3)2 = 6(y – 1,5) • x2 – 6x + 9 = 6y – 9 ,, x2 – 6x – 6y + 18 = 0 • 6º.- Foco: F(0, -3) ,, Directriz d: y = 5 • Vértice: V(k, h) ,, V(0, (5 – 3)/2) ,, V(0, 1) • Parámetro: p = 5-(-3)=8 • Ecuación: (x – k)2 = – 2p(y – h) ,, x2 = – 16.(y – 1) • x2 = – 16y + 16 ,, x2 + 16 y – 16 = 0 Convexa Matemáticas Acceso a CFGS

  7. Ejercicios • Hallar el foco, vértice y directriz de las parábolas siguientes: • Ecuación general cóncava: x2 – 2kx – 2py + k2 + 2ph = 0 • 7º.- P: x2 – x – 3y + 7 = 0 • Identificando términos, tenemos: • 2k=1  k=1/2 ,, 2p = 3  p = 3/2 = 1,5 • k2 + 2ph = 7  0,25 + 3 h = 7 ,, h = (7 – 0,25)/ 3 = 6,75/3 = 2,25 • V(0’5, 2’25) ,, p = 1’5 ,, d: y = h – p/2 = 2,25 – 0,75 = 1,5 ,, F(0’25, 3) • 8º.- P: x2 – 4x + 4y = 0 • Identificando términos, tenemos: • 2k=4  k=2 ,, 2p = – 4  p = – 2  p = 2, pero es convexa • El parámetro p es una distancia. Si da negativo, la parábola es convexa. • k2 + 2ph = 0  4 + 4h = 0 ,, h = – 1  V(2 , – 1) • d: y = h + p/2 = – 1 + 1 = 0 ,, d: y = 0 • F(2, h – p/2)  F(2, – 1 – 1 ),, F(2 , –2) Matemáticas Acceso a CFGS

  8. Otras ecuaciones Y Y d d p/2 p/2 F X X V p/2 V F Y d X V F Matemáticas Acceso a CFGS

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