Sündmuse t õenäosus

1. Sündmuse tõenäosus

2. Sündmuse mõiste Tõenäosusteooria üheks põhimõisteks on „sündmus“. Seda ei saa defineerida veelgi lihtsamate mõistete abil, vaid võime ainult kirjeldada. Sündmusena mõistetakse kõike seda, mille kohta saab rääkida toimumisest või mittetoimumisest. Sündmuste näited: • Arvuti tõrgeteta töö ühe ööpäeva jooksul. • Loteriil peavõidu saamine. • Naatriumkloriidi tekkimine soolhappe ja naatriumhüdroksiidi vahelisel keemilisel reaktsioonil. • Päikese loojumine idas.

3. Katse. Võimatu ja kindel sündmus. Sündmus saab toimuda teatud tingimustes: sündmuse toimumiseks peab olema täidetud teatud tingimuste kompleks. Tingimuste kompleksi täitmist nimetatakse katseks. Katse kordamisel räägitakse katseseeriast, mis koosneb üksikkatsetest. Vastava tingimuste kompleksi olemasolul e. katsel toimub mõni sündmus alati, mõni sündmus ei toimu kunagi. Leidub sündmusi, mis katsel mõnikord toimuvad, mõnikord mitte. Sündmust, mis antud katsel ei saa kunagi toimuda, nimetatakse võimatuks. Võimatut sündmust tähistame sümboliga . Sündmust, mis antud katsel alati toimub, nimetatakse kindlaks. Kindla sündmuse tähiseks on  (kreeka täht “omega”).

4. Juhuslik sündmus. Sündmust, mis antud tingimustes võib toimuda või ka mitte toimuda, nimetatakse juhuslikuks sündmuseks. Näiteks: 1) Kahe täringu samaaegsel viskamisel kummalgi “kuue” saamine; 2) Kaardipakist punase masti tõmbamine; 3) Sündmus “Eesti koondis võidab järgmise EM-valikmängu”.

5. Juhuslik sündmus. Tõenäosusteooria aine. Sündmusi tähistatakse tavaliselt suurte tähtedega: sündmused A, K, ... või A1, A2, ... , kuid ka pikemalt, näiteks sündmus „risti kuninga saamine kaarditõmbamisel kaardipakist“, „5 < X < 10“ jne. Tõenäosusteooria on matemaatika haru, mis uurib massiliselt toimuvates juhuslikes sündmustes esinevaid seaduspärasusi, sõltumata konkreetse sündmuse tähendusest. NB! Tõenäosusteooria ei tegele konkreetse sündmuse etteennustamisega. Tõenäosusteooria on matemaatika haru, mis uurib sündmusi, mille esinemine ühel katsel on etteennustamatu, kuid mille keskmine esinemissagedus küllalt arvukas katseseerias on ennustatav.

6. Sündmuste liigitamisest. Sündmusi A ja B nimetatakse teineteist välistavateks, kui nad ei saa koos toimuda. Kui ühe sündmuse toimumisega saab kaasneda teise toimumine, siis neid nimetatakse teineteist mittevälistavateks. Katsel võimalikke sündmusi nimetatakse võrdvõimalikeks, kui on alust arvata, et ükskõik millise sündmuse toimumine on ühevõrra oodatav.Eitaval juhul on tegemist mittevõrdvõimalike sündmustega. Olgu ühel katsel n mõeldavat erinevat katsetulemust A1, ..., An. Üks nendest kindlasti toimub. Juhul kui neist ühe toimumine välistab teiste samaaegse toimumise, räägitakse täielikust sündmuste süsteemist.

7. Sündmuse A vastandsündmust tähistatakse tavaliselt sümboliga . Vastandsündmused. Elementaarsündmused. Kahest sündmusest koosneva täieliku sündmuste süsteemi korral nimetatakse neid vastandsündmusteks (sündmused A ja “mitte A”). Võrdvõimalike sündmuste täielikku süsteemi nimetatakse elementaarsündmuste süsteemiks ja sellesse süsteemi kuuluvaid üksiksündmusi elementaarsündmusteks.

8. Kahe sündmuse A ja Bsummaks ( ka ühendiks) nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb kas A või B (või mõlema) toimumises. Kahe sündmuse A ja Bkorrutiseks ( ka ühisosaks) ehk AB nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb mõlema sündmuse A ja B toimumises. Sündmuste summa ja korrutise mõiste laiendatakse ka enama kui kahe sündmuse juhule. Sündmuste A1, A2 , ... , Ak summa toimub parajasti siis, kui toimub ükskõik milline osasündmustest ja korrutis(ehk ) siis, kui toimuvad kõik osasündmused. Sündmuste summa ja korrutis. Summat või korrutist moodustavaid sündmusi nimetatakse osasündmusteks.

9. Sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmuse toimumiseks soodsate juhuste arvu m suhet kõigi võimalike juhuste arvusse n, kus juhused moodustavad elementaarsündmuste süsteemi: . Sündmuse klassikaline tõenäosus. Sündmuse A toimumise võimalikkuse määra nimetatakse sündmuse tõenäosuseksP(A). Sündmuse tõenäosuse klassikaline definitsioon: Tõenäosuse klassikalisest definitsioonist järeldub, et kindla sündmuse tõenäosus P() = 1 ja võimatul sündmusel P() = 0.

10. Märklaud pindalaga S. s S Sündmus A: mingi märgitud piirkonna (pindalaga s) tabamine. Geomeetriline tõenäosus on soodsa pindala suhe kogupindalasse: Geomeetriline tõenäosus. Elementaarsündmus: märklaua mingi punkti tabamine terava noolega. Etteantud punkti tabamise tõenäosus: P(A) = 0 / S = 0, kuigi punkti võidakse tabada. Geomeetrilise tõenäosuse definitsiooni kohaselt on nulltõenäosusega sündmus võimalik.

11. Sündmuse tõenäosus leitakse sel korral katseliselt. Kordugu sündmus A n katsest koosnevas seerias m korda. Sündmuse sageduse ja katsete üldarvu n jagatist nimetatakse sündmuse suhteliseks (relatiivseks) sageduseks: Suhteline sagedus w sõltub katseseeria pikkusest n. Katsete arvu kasvades on suhtelisel sagedusel tendents stabiliseeruda, s.t. küllalt pikkades katseseeriates kõigub w teatud kindla arvu läheduses, mis võetaksegi statistiliseks tõenäosuseks: Statistiline tõenäosus. Alati ei ole võimalik elementaarsündmuste süsteemi määrata (näiteks ebasümmeetrilise täringu viskel saadav silmade arv).

12. Näide Aastatel 1990 – 1998 Eestis sündinud poisslaste sagedused Kogu maailmas: P(poisslaps)  0,514 P(tütarlaps)  0,486

13. Järeldusi statistilisest tõenäosusest. Kui statistiline tõenäosus võrdub ühega, siis ei tarvitse sündmus veel olla kindel. Kui aga sündmus on kindel, siis see toimub igal üksikkatsel ja kindlasti statistiline tõenäosus tuleb 1. Kui statistiline tõenäosus võrdub nulliga, siis ei tarvitse sündmus veel olla võimatu. Kui aga sündmus on võimatu, siis see ei toimu ühelgi üksikkatsel ja statistiline tõenäosus tuleb 0.

14. Sündmuse tõenäosus P(A) asub piirides Sündmuse tõenäosuse omadusi. 2) Kindla sündmuse tõenäosus P() on alati 1 ja võimatu sündmuse tõenäosus P() = 0. Kui sündmuse tõenäosus on 1, siis sündmus ei tarvitse olla veel kindel. Tulemust tuleb mõista nii, et kui tõenäosus on 1 või sellele väga lähedal, siis sündmus toimub peaaegu alati. Öeldakse, et ühele lähedase tõenäosusega sündmus on praktiliselt kindel. Kui sündmuse tõenäosus on 0, siis sündmus ei tarvitse olla veel võimatu. Öeldakse, et nullile lähedase tõenäosusega sündmus on praktiliselt võimatu. Ainult juhtude loendamise teel leitud tõenäosuse korral tuleneb võrdustest P(A) = 1 (vastavalt P(A) = 0), et A =  (A = ) .

15. Kahe sündmuse summa tõenäosus on võrdne osasündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud osasündmuste koosesinemise tõenäosus: A : s1 tabamine B : s2 tabamine s1 S s3 : s3 tabamine s2 Tõenäosuste liitmislause Geomeetrilise tõenäosuse korral:

16. Kahe teineteist välistava sündmuse summa tõenäosus on võrdne osasündmuste tõenäosuste summaga: s1 A : s1 tabamine s2 S B : s2 tabamine Tõenäosuste liitmislause teineteist välistavate sündmuste korral Geomeetrilise tõenäosuse korral:

17. Kui A1, A2, ... , Akon üksteist välistavad sündmused, siis Kolme üksteist mittevälistava sündmuse korral Kui A1, A2, ... , Akmoodustavad täieliku sündmuste süsteemi, siis ja ning Täieliku sündmuste süsteemi moodustavate sündmuste tõenäosuste summa on üks. Järeldus: Tõenäosuste liitmislause