MATH 111

1. MATH 111 Lección 13 Capitulo 1 Sec. 1.6 Ecuaciones de Valor Absoluto y Desigualdades

2. Propiedades de Valor Absoluto • El valor absoluto de un número es su distancia de cero en la recta numérica. • El valor absoluto de x, denotado , es definida como sigue:

3. Propiedades de Valor Absoluto (El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.) (El valor absoluto de un cociente es el cociente de valores absolutos.) • Para cualquier número a y b,

4. Propiedades de Valor Absoluto (El valor absoluto del opuesto de un número es lo mismo que el valor absoluto del número.)

5. Propiedades de Valor Absoluto 1. 2. Debido a que x2 nunca es negativo para cualquier número x. 3. 4. Ejemplos:

6. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Distancia en la Recta Numérica 5 unidades (La distancia entre -3 y 2 es 5.) • Otra manera de encontrar la distancia entre dos números en la recta numérica es tomar el valor absoluto de la diferencia, como sigue:

7. Distancia en la Recta Numérica Para cualquier número real a y b, la distancia entre ellos es . Debemos notar que la distancia es también , porque a – b y b – a son opuestos y por lo tanto tienen el mismo valor absoluto.

8. Distancia en la Recta Numérica • Encuentre la distancia entre -8 y -92 en una recta numérica. • Encuentre la distancia entre x y 0 en una recta numérica.

9. Ecuaciones con Valor Absoluto -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Vemos que la distancia a 0 es 4; por lo tanto en la recta numérica hay dos números que su distancia a 0 es 4, estos son -4 y 4. Por lo tanto la solución es: 4 unidades 4 unidades • Resuelva: . Luego trace la grafica usando la recta numérica.

10. Ecuaciones con Valor Absoluto El único numero que su valor absoluto es 0 es 0 mismo. No tiene solución. El valor absoluto de un numero es siempre positivo. • Resuelva: • Resuelva:

11. El Principio de Valor Absoluto Para cualquier número positivo p y cualquier expresión algebraica X: • Las soluciones de son aquellos números que satisfacen • La ecuación es equivalente a la ecuación . • La ecuación no tiene solución.

12. Ecuaciones con Valor Absoluto Restando 5 Dividiendo por 2 Usando el principio de valor absoluto Conjunto de Solución • Resuelva: .

13. Ecuaciones con Valor Absoluto Principio de valor absoluto • Resuelva:

14. Ecuaciones con Valor Absoluto Principio de valor absoluto • Resuelva:

15. Ecuaciones con Valor Absoluto Nunca el valor absoluto es negativo, por lo tanto esta ecuación no tiene solución. El conjunto de solución es: • Resuelva:

16. Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -a a Considere Esto significa que a y b tienen la misma distancia de 0. Si a y b tienen la misma distancia de 0; entonces, o son el mismo número o son opuestos uno del otro.

17. Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto • Resuelva:

18. Ecuaciones con dos Expresiones de Valor Absoluto La primera ecuación no tiene solución. Por lo tanto la solución es la segunda ecuación. • Resuelva:

19. Desigualdades con Valor Absoluto • Para cualquier número positivo p y cualquier expresión algebraica X: • La solución de son aquellos números que satisfacen • La solución de son aquellos números que satisfacen

20. Desigualdades con Valor Absoluto -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Aplicamos la regla y resolvemos. ( ) • Resuelva y trace la gráfica:

21. Desigualdades con Valor Absoluto -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Aplicamos la regla y resolvemos. ] [ • Resuelva y trace la gráfica:

22. Desigualdades con Valor Absoluto -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Usamos esta regla Sustituimos ( ) • Resuelva y trace:

23. Desigualdades con Valor Absoluto Usamos esta regla. Sustituimos Dividimos por -4 e invertimos los símbolos de desigualdad • Resuelva:

24. Desigualdades con Valor Absoluto Utilizamos esta regla Sustituimos • Resuelva: