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Hands on Mathematik Lines and their Slopes

Hands on Mathematik Lines and their Slopes. Björn Gehl & Hideo Sato. Polya’s Framework(1). Understand the Problem * What is given? * What is to find? * What are the conditions? * Make (if possible) a sketch of the proof? * Introduce the notations?

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Hands on Mathematik Lines and their Slopes

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Presentation Transcript

  1. Hands on MathematikLines and their Slopes Björn Gehl & Hideo Sato

  2. Polya’s Framework(1) Understand the Problem * What is given? * What is to find? * What are the conditions? * Make (if possible) a sketch of the proof? * Introduce the notations? * Identify known and unknown parameters) Make a plan of a proof * Do you know any related problem? * Do you know any theorem or formula that can help? * Can you reformulate the problem, e.g. by retrieving the Definition? * Can you solve a relative problem or some more specific one? * Can you solve a part of a problem?

  3. Polya’s Framework(2) Execute the plan * Control every step of the transformation. * Check with which goal you are perfoming the transformation and why is this step correct. Look back * Verify the solution. * Make sure the succession of the solution steps is clear. * Could you possibly reach your goal in a better way? * Could you possibly solve further problems in the same way?

  4. Punktsteigungsform der Geradengleichung Geg.: Punkt P =(xP ,yP) und Steigung m einer Geraden Punktsteigungsform: y = yP + m (x - xP)

  5. Funktionsgleichung(1) Geg.: Funktion f: f(x) = x3-5x2-2x-1, P(-0.5, -1,375) Ges.: Punktsteigungsform von f(x) = yP + m (x - xP) Lösung: gem. Polya’s Problem Solving Scheme (PPSS)

  6. Funktionsgleichung(1) PPSS: Understand the problem 1) geg. Funktion f, Wert xP von Punkt P 2) Steigung m von f in P(xP, yP), Punktsteigungsformel fP mit m und P 3) geg. Parameter: f, xP gesuchte Parameter m

  7. Funktionsgleichung(1) PPSS: Make a plan of a proof 1) Ähnliches Problem? 2) Ableitungsregeln (z.B. Kettenregel, Quotientenregel) 3) Umformulierung: a) Berechne die Ableitung von der Funktion f(xP), b) setze sie für die Steigung m in die allg. PSF ein 4) Spezifischeres Problem: ??? 5) Teile des Problems lösen: s. 3)

  8. Funktionsgleichung(1) PPSS: Execute the plan Schritt a) f(x) = x3-5x2-2x-1 => f’(x) = 3x2-10x-2 (= m) | Ableitung von f Schritt b) PSF: f PSF(x) = yP + m (x - xP) | Eins. von m f PSF(x) = yP + (3xP2-10xP-2 ) (x - xP) | Eins. von P(-0.5,-1.375) f PSF(x) = 3.75x + 0.5 1) Kontrolle der Berechnung der Punktsteigungsform(teilweise): Setze xP in die Funktion f ein und berechne yP Setze xP in die PSF ein und berechne yP

  9. Funktionsgleichung(1) PPSS: Execute the plan

  10. Funktionsgleichung(1) PPSS: Look back 1) Verifizieren der Lösung: nur durch Beweis der angewandten Regeln 2) Gehe sicher, dass der Erfolg jedes Lösungsschrittes klar erkenntlich ist: 3) Ziel auf einem besseren Weg erreichen. => In trivialen Fällen ist die Steigung direkt erkennbar: Beispiel: f(x)= mx + c oder f(x)=c 4) Kann man weitere Probleme auf die selbe Weise lösen?

  11. Funktionsgleichung(2) Geg.: Funktion f: f(x) = -x2-3x, P(-1, ?) Ges.: Punktsteigungsform von f (x) = yP + m (x - xP) Lösung: gem. Polya’s Problem Solving Scheme (PPSS)

  12. Funktionsgleichung(2) PPSS: Understand the problem 1) geg. Funktion f, Wert xP von Punkt P 2) ges. yP -Wert von P, Steigung m von f in P(xP, yP), Punktsteigungsformel fP mit m und P 3) geg. Parameter: f, xP gesuchte Parameter yP , m

  13. Funktionsgleichung(2) PPSS: Make a plan of a proof 1) Ähnliches Problem? 2) Ableitungsregeln (z.B. Kettenregel, Quotientenregel) 3) Umformulierung: a) Berechne yP durch Einsetzen von X b) Berechne die Ableitung von der Funktion f(xP) c) setze sie für die Steigung m in die allg. PSF ein 4) Spezifischeres Problem: ??? 5) Teile des Problems lösen: s. 3)

  14. Funktionsgleichung(2) PPSS: Execute the plan Schritt a) y = f(x) = -x2-3x => y = f(-1) = -(-1)2 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 | Eins. von x = -1 Schritt b) => f’(x) = -2x-3 (= m) | Ableitung von f Schritt c) PSF: f PSF(x) = yP + m (x - xP) | Eins. von m f PSF(x) = yP + (-2 xP -3 ) (x - xP) | Eins. von P(-1,2) f PSF(x) = -x + 1 1) Kontrolle der Berechnung der Punktsteigungsform(nicht ausreichend): Setze xP in die Funktion f ein und berechne yP Setze xP in die PSF ein und berechne yP

  15. Funktionsgleichung(2) PPSS: Execute the plan

  16. Funktionsgleichung(2) PPSS: Look back 1) Verifizieren der Lösung: nur durch Beweis der angewandten Regeln 2) Gehe sicher, dass der Erfolg jedes Lösungsschrittes klar erkenntlich ist: 3) Ziel auf einem besseren Weg erreichen. => In trivialen Fällen ist die Steigung direkt erkennbar: Beispiel: f(x)= mx + c oder f(x)=c 4) Kann man weitere Probleme auf die selbe Weise lösen?

  17. PSF und Ableitung einer Funktion • Ableitung beschreibt Steigung ma in jedem Punkt P der Funktion f • PSF beschreibt die Gerade mit der speziellen Steigung mafür jeden Punkt P der Funktion f

  18. Eigenes Beispiel • f(x) = x3+1, P(0,?) • Welche Steigung hat die Gerade der PSF an der Stelle P? • triviales Beispiel zum Testen des Verständnis von PSF, Wendepunkt, Sattelpunkt

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